В математической области комплексного анализа , теория Неванлинны является частью теории мероморфных функций . Он был изобретен в 1925 году Рольфом Неванлинной . Герман Вейль назвал это «одним из немногих великих математических событий (двадцатого) века». [1] Теория описывает асимптотическое распределение решений уравнения f ( z ) = a при изменении a . Основным инструментом является характеристика Неванлинны T ( r , f ), которая измеряет скорость роста мероморфной функции.
Другими основными участниками в первой половине 20-го века были Ларс Альфорс , Андре Блох , Анри Картан , Эдвард Коллингвуд , Отто Фростман , Фритиоф Неванлинна , Хенрик Сельберг , Тацуджиро Шимицу, Освальд Тейхмюллер и Жорж Валирон . В своей первоначальной форме теория Неванлинны имеет дело с мероморфными функциями одной комплексной переменной, определенной в круге | z | ≤ R или во всей комплексной плоскости ( R = ∞). Последующие обобщения распространили теорию Неванлинны на алгеброидные функции, голоморфные кривые , голоморфные отображения между комплексными многообразиями произвольной размерности, квазирегулярные отображения и минимальные поверхности .
В этой статье описывается в основном классический вариант для мероморфных функций одной переменной, с акцентом на функции, мероморфные в комплексной плоскости. Общие ссылки на эту теорию - это Goldberg & Ostrovskii, [2], Hayman [3] и Lang (1987) .
Неванлинна характеристика
Исходное определение Неванлинны
Пусть f - мероморфная функция. Для любого r ≥ 0 пусть n ( r , f ) будет числом полюсов с учетом кратности мероморфной функции f в круге | z | ≤ r . Затем определим счетную функцию Неванлинны как
Эта величина измеряет рост числа полюсов в дисках | z | ≤ r при увеличении r . Явное, пусть 1 , 2 , ..., п полюсы ƒ в проколотый диск 0 <| z | ≤ r повторяется по кратности. Тогда n = n ( r , f ) - n (0, f ) и
Пусть log + x = max (log x , 0). Тогда функция близости определяется выражением
Наконец, определим характеристику Неванлинны (см . Формулу Йенсена для мероморфных функций)
Версия Альфорса – Симидзу
Второй метод определения характеристики Неванлинны основан на формуле
где dm - элемент площади на плоскости. Выражение в левой части называется характеристикой Альфорса – Симидзу. Ограниченный член O (1) не важен в большинстве вопросов.
Геометрический смысл характеристики Альфорса-Симидзу заключается в следующем. Внутренний интеграл dm - сферическая область изображения диска | z | ≤ t с учетом кратности (то есть, k раз пересчитываются части сферы Римана, покрытые k раз). Эта площадь делится на π - площадь всей сферы Римана. Результат можно интерпретировать как среднее количество листов в покрытии сферы Римана диском | z | ≤ т . Затем это среднее число покрытия интегрируется по t с весом 1 / t .
Характеристики
Роль характеристической функции в теории мероморфных функций на плоскости аналогична роли
в теории целых функций . Фактически, можно напрямую сравнить T ( r , f ) и M ( r , f ) для целой функции:
а также
для любого R > r .
Если f - рациональная функция степени d , то T ( r , f ) ~ d log r ; на самом деле T ( r , f ) = O (log r ) тогда и только тогда, когда f - рациональная функция.
Порядок мероморфной функции определяется
Функции конечного порядка составляют важный подкласс, который много изучался.
Когда радиус R диска | z | ≤ R , в котором определена мероморфная функция, конечно, характеристика Неванлинны может быть ограниченной. Функции в круге с ограниченной характеристикой, также известные как функции ограниченного типа , - это в точности те функции, которые являются отношениями ограниченных аналитических функций. Функции ограниченного типа также могут быть определены для другой области, такой как верхняя полуплоскость .
Первая фундаментальная теорема
Пусть a ∈ C , и определим
Для a = ∞ положим N ( r , ∞, f ) = N ( r , f ), m ( r , ∞, f ) = m ( r , f ).
Первая фундаментальная теорема состояний теории неванлинновских , что для каждого а в сфере Римана ,
где ограниченный член O (1) может зависеть от f и a . [4] Для непостоянных мероморфных функций на плоскости T ( r , f ) стремится к бесконечности, когда r стремится к бесконечности, поэтому Первая основная теорема утверждает, что сумма N ( r , a , f ) + m ( r , a , f ) стремится к бесконечности со скоростью, не зависящей от a . Первая основная теорема - простое следствие формулы Йенсена .
Характеристическая функция обладает следующими свойствами степени:
где m - натуральное число. Ограниченным членом O (1) можно пренебречь, когда T ( r , f ) стремится к бесконечности. Эти алгебраические свойства легко получаются из определения Неванлинны и формулы Йенсена.
Вторая основная теорема
Мы определяем N ( r , f ) так же, как N ( r , f ), но без учета кратности (т.е. мы подсчитываем только количество различных полюсов). Тогда N 1 ( r , f ) определяется как считающая функция Неванлинны критических точек f , т. Е.
Вторая основная теорема гласит, что для любых k различных значений a j на сфере Римана имеем
Из этого следует
где S ( r , f ) - «член с малой ошибкой».
Для функций, мероморфных на плоскости, S ( r , f ) = o ( T ( r , f )), вне набора конечной длины, т.е. член ошибки мал по сравнению с характеристикой для «большинства» значений r . Известны гораздо лучшие оценки члена ошибки, но Андре Блох предположил, а Хейман доказал, что нельзя избавиться от исключительного множества.
Вторая основная теорема позволяет дать оценку сверху характеристической функции через N ( r , a ). Например, если f - трансцендентная целая функция, используя вторую основную теорему с k = 3 и a 3 = ∞, мы получаем, что f принимает каждое значение бесконечно часто, не более чем с двумя исключениями, что доказывает теорему Пикара .
Первоначальное доказательство Неванлинны второй основной теоремы было основано на так называемой лемме о логарифмической производной , которая гласит, что m ( r , f ' / f ) = S ( r , f ). Аналогичное доказательство применимо и ко многим многомерным обобщениям. Существуют также дифференциально-геометрические доказательства, связывающие его с теоремой Гаусса – Бонне . Вторая основная теорема также может быть получена из метрико-топологической теории Альфорса , которую можно рассматривать как расширение формулы Римана – Гурвица на покрытия бесконечной степени.
Доказательства Неванлинны и Альфорса показывают, что константа 2 во Второй основной теореме связана с эйлеровой характеристикой сферы Римана. Однако есть совсем другие объяснения этого 2, основанные на глубокой аналогии с теорией чисел, открытой Чарльзом Осгудом и Полом Войтой . Согласно этой аналогии, 2 является показателем в теореме Туэ – Зигеля – Рота . По аналогии с теорией чисел мы ссылаемся на обзор Ланга (1987) и книгу Ру (2001) .
Связь с дефектом
Отношение дефекта - одно из основных следствий Второй фундаментальной теоремы. Дефект мероморфной функции в точке а определяется формулой
По Первой основной теореме 0 ≤ δ ( a , f ) ≤ 1, если T ( r , f ) стремится к бесконечности (что всегда имеет место для непостоянных функций, мероморфных на плоскости). Точки a, для которых δ ( a , f )> 0, называются дефектными значениями . Из второй фундаментальной теоремы следует, что множество дефектных значений функции, мероморфной на плоскости, не более чем счетно и выполняется следующее соотношение:
где суммирование ведется по всем недостающим значениям. [5] Это можно рассматривать как обобщение теоремы Пикара . Многие другие теоремы типа Пикара могут быть выведены из Второй фундаментальной теоремы.
В качестве еще одного следствия из Второй основной теоремы можно получить, что
что обобщает тот факт, что рациональная функция степени d имеет 2 d - 2 <2 d критических точки.
Приложения
Теория Неванлинны полезна во всех вопросах, где возникают трансцендентные мероморфные функции, таких как аналитическая теория дифференциальных и функциональных уравнений [6] [7], голоморфная динамика , минимальные поверхности и комплексная гиперболическая геометрия, которая имеет дело с обобщениями теоремы Пикара на более высокие измерения. [8]
Дальнейшее развитие
Существенная часть исследований функций одного комплексного переменного в 20 веке была сосредоточена на теории Неванлинны. Одним из направлений этого исследования было выяснить, являются ли основные выводы теории Неванлинны наилучшими из возможных. Например, обратная задача теории Неванлинны состоит в построении мероморфных функций с заранее заданными недостатками в заданных точках. Это было решено Дэвидом Драсином в 1976 г. [9]. Другое направление было сосредоточено на изучении различных подклассов класса всех мероморфных функций на плоскости. Самый важный подкласс состоит из функций конечного порядка. Оказывается, для этого класса недостатки подчиняются нескольким ограничениям, помимо отношения дефектов (Норайр Аракелян, Дэвид Драсин , Альберт Эдрей, Александр Еременко , Вольфганг Фукс , Анатолий Гольдберг , Уолтер Хейман , Джозеф Майлз, Дэниел Ши, Освальд Тейхмюллер , Алан Вайцман и другие).
Анри Картан , Иоахим и Герман Вейль [1] и Ларс Альфорс распространили теорию Неванлинны на голоморфные кривые . Это расширение является основным инструментом сложной гиперболической геометрии. [10] Хенрик Сельберг и Джордж Валирон распространили теорию Неванлинны на алгеброидные функции . [11] Интенсивные исследования в области классической одномерной теории все еще продолжаются. [12]
Смотрите также
- Гипотеза Войты
Рекомендации
- ^ а б Х. Вейль (1943). Мероморфные функции и аналитические кривые . Издательство Принстонского университета . п. 8.
- ^ Гольдберг, А .; Островский, И. (2008). Распределение значений мероморфных функций . Американское математическое общество .
- ^ Хейман, В. (1964). Мероморфные функции . Издательство Оксфордского университета .
- ^ Ru (2001) стр.5
- ^ Ru (2001) стр.61
- ^ Илпо Лайне (1993). Теория Неванлинны и комплексные дифференциальные уравнения . Берлин: Вальтер де Грюйтер .
- ^ Еременко, А. (1982). «Мероморфные решения алгебраических дифференциальных уравнений». Российские математические обзоры . 37 (4): 61–95. Bibcode : 1982RuMaS..37 ... 61E . CiteSeerX 10.1.1.139.8499 . DOI : 10.1070 / RM1982v037n04ABEH003967 .
- ^ Lang (1987) с.39
- ^ Драсин, Дэвид (1976). «Обратная задача теории Неванлинны» . Acta Math. 138 (1): 83–151. DOI : 10.1007 / BF02392314 . Руководство по ремонту 0585644 .
- ^ Lang (1987) ch.VII
- ^ Валирон, Г. (1931). "Sur la dérivée des fonctions algébroïdes". Бык. Soc. Математика. Франция . 59 . С. 17–39.
- ↑ А. Еременко и Дж. Лэнгли (2008). Мероморфные функции одного комплексного переменного. Обзор , появившийся в приложении к Гольдберг, А .; Островский, И. (2008). Распределение значений мероморфных функций . Американское математическое общество .
- Ланг, Серж (1987). Введение в сложные гиперболические пространства . Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-96447-8. Zbl 0628.32001 .
- Ланг, Серж (1997). Обзор диофантовой геометрии . Springer-Verlag . С. 192–204. ISBN 978-3-540-61223-0. Zbl 0869.11051 .
- Неванлинна Рольф (1925), "Zur Теорье дер Meromorphen Funktionen", Acta Mathematica , 46 (1-2): 1-99, DOI : 10.1007 / BF02543858 , ISSN 0001-5962
- Неванлинна, Рольф (1970) [1936], Аналитические функции , Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 162 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR 0279280
- Ру, Мин (2001). Теория Неванлинны и ее связь с диофантовым приближением . Мировое научное издательство. ISBN 978-981-02-4402-6.
дальнейшее чтение
- Бомбьери, Энрико ; Габлер, Вальтер (2006). «13. Теория Неванлинны». Высоты в диофантовой геометрии . Новые математические монографии. 4 . Издательство Кембриджского университета . С. 444–478. ISBN 978-0-521-71229-3. Zbl 1115.11034 .
- Войта, Пол (1987). Диофантовы приближения и теория распределения ценностей . Конспект лекций по математике. 1239 . Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-17551-3. Zbl 0609.14011 .
- Войта, Пол (2011). «Диофантовы приближения и теория Неванлинны». В Корвахе, Пьетро; Гасбарри, Карло (ред.). Арифметическая геометрия. Лекции в CIME летней школе, Cetraro, Италия, сентябрь 10--15, 2007 . Конспект лекций по математике. 2009 . Берлин: Springer-Verlag . С. 111–224. ISBN 978-3-642-15944-2. Zbl 1258.11076 .
Внешние ссылки
- Петренко, В.П. (2001) [1994], "Теория распределения ценностей" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Петренко, В.П. (2001) [1994], "Теоремы Неванлинны" , Энциклопедия математики , EMS Press