Мероморфная функция

В математической области комплексного анализа , А мероморфны функция на открытом подмножестве D на комплексной плоскости является функцией , которая голоморфна на всех D за исключением того, для множества изолированных точек , которые являются полюсами функции. ^[1] Термин происходит от древнегреческого слова meros ( μέρος ), что означает «часть». ^[а]

Любая мероморфная функция на D может быть выражена как отношение между двумя голоморфными функциями (со знаменателем, отличным от константы 0), определенными на D : любой полюс должен совпадать с нулем знаменателя.

Гамма - функция мероморфна во всей комплексной плоскости.

Эвристическое описание [ править ]

Интуитивно мероморфная функция - это соотношение двух (голоморфных) функций с хорошим поведением. Такая функция по-прежнему будет вести себя хорошо, за исключением, возможно, точек, где знаменатель дроби равен нулю. Если знаменатель имеет ноль в точке z, а числитель - нет, то значение функции будет стремиться к бесконечности; если обе части имеют нуль в точке z , то нужно сравнить кратность этих нулей.

С алгебраической точки зрения, если область определения функции связна , то набор мероморфных функций является полем частных области целостности набора голоморфных функций. Это аналогично соотношению между рациональными числами и целыми числами .

Предыдущее, альтернативное использование [ править ]

И область исследования, в которой используется этот термин, и точное значение термина изменились в 20 веке. В 1930 - е годы, в теории групп , мероморфны функция (или meromorph ) является функцией из группы G в себя, сохранивший продукт на группы. Образ этой функции был называется автоморфизм из G . ^[2] Аналогично, гомоморфная функция (или гомоморф ) была функцией между группами, которая сохранила продукт, в то время как гомоморфизм был образом гомоморфа. Эта форма термина теперь устарела, и связанный с ней термин мероморф больше не используется в теории групп.

Термин эндоморфизм теперь используется для самой функции, без особого имени, присвоенного изображению функции.

Свойства [ править ]

Поскольку полюса мероморфной функции изолированы, их не более, чем счетно . ^[3] Набор полюсов может быть бесконечным, как показано на примере функции

${\ displaystyle f (z) = \ csc z = {\ frac {1} {\ sin z}}.}$

С помощью аналитического продолжения для устранения устранимых особенностей , мероморфные функции могут быть добавлены, вычитание, умножение, а фактор не может быть сформирован , если на компоненте связности в D . Таким образом, если D связан, мероморфные функции образуют поле , фактически расширение поля комплексных чисел .${\ displaystyle f / g}$${\ displaystyle g (z) = 0}$

Высшие измерения [ править ]

В нескольких комплексных переменных мероморфная функция определяется как локальное частное двух голоморфных функций. Например, является мероморфной функцией на двумерном комплексном аффинном пространстве. Здесь уже неверно, что всякую мероморфную функцию можно рассматривать как голоморфную функцию со значениями в сфере Римана : существует множество «неопределенностей» коразмерности два (в данном примере это множество состоит из начала координат ).${\ Displaystyle f (z_ {1}, z_ {2}) = z_ {1} / z_ {2}}$${\ displaystyle (0,0)}$

В отличие от размерности один, в более высоких измерениях действительно существуют компактные комплексные многообразия, на которых нет непостоянных мероморфных функций, например, наиболее сложные торы .

Примеры [ править ]

• Все рациональные функции , ^[3] , например ,

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {z ^ {3} -2z + 10} {z ^ {5} + 3z-1}},}$

мероморфны на всей комплексной плоскости.

• Функции

${\ displaystyle f (z) = {\ frac {e ^ {z}} {z}} \ quad {\ text {and}} \ quad f (z) = {\ frac {\ sin {z}} {( г-1) ^ {2}}}}$

а также гамма-функция и дзета-функция Римана мероморфны на всей комплексной плоскости. ^[3]

• Функция

${\ displaystyle f (z) = e ^ {\ frac {1} {z}}}$

определена во всей комплексной плоскости, за исключением начала координат, 0. Однако 0 не является полюсом этой функции, а является существенной особенностью . Таким образом, эта функция не является мероморфной во всей комплексной плоскости. Однако он мероморфен (даже голоморфен) на .${\displaystyle \mathbb {C} \setminus \{0\}}$

• Комплекс логарифм функции

${\displaystyle f(z)=\ln(z)}$

не является мероморфным на всей комплексной плоскости, так как его нельзя определить на всей комплексной плоскости, исключая только набор изолированных точек. ^[3]

• Функция

${\displaystyle f(z)=\csc {\frac {1}{z}}={\frac {1}{\sin \left({\frac {1}{z}}\right)}}}$

не является мероморфным на всей плоскости, поскольку точка является точкой скопления полюсов и, следовательно, не является изолированной особенностью. ^[3]${\displaystyle z=0}$

• Функция

${\displaystyle f(z)=\sin {\frac {1}{z}}}$

также не является мероморфным, так как имеет существенную особенность в 0.

На римановых поверхностях [ править ]

На римановой поверхности каждая точка имеет открытую окрестность, биголоморфную открытому подмножеству комплексной плоскости. Таким образом, понятие мероморфной функции может быть определено для любой римановой поверхности.

Когда D - вся сфера Римана , поле мероморфных функций - это просто поле рациональных функций от одной переменной над комплексным полем, поскольку можно доказать, что любая мероморфная функция на сфере рациональна. (Это частный случай так называемого принципа GAGA .)

Для любой римановой поверхности мероморфная функция - это то же самое, что и голоморфная функция, которая отображается в сферу Римана и не является постоянной ∞. Полюса соответствуют тем комплексным числам, которые отображаются в ∞.

На некомпактной римановой поверхности любая мероморфная функция может быть реализована как фактор двух (глобально определенных) голоморфных функций. Напротив, на компактной римановой поверхности каждая голоморфная функция постоянна, в то время как всегда существуют непостоянные мероморфные функции.

Мероморфные функции на эллиптической кривой также известны как эллиптические функции .

Сноски [ править ]

Ссылки [ править ]