Метод Фробениуса

В математике , то метод Фробениусом , названный в честь Фробениус , это способ , чтобы найти бесконечную серию решение для второго порядка обыкновенного дифференциального уравнения вида

${\ displaystyle z ^ {2} u '' + p (z) zu '+ q (z) u = 0}$

с участием

${\ Displaystyle и '\ экв {{ду} \ над {дз}}}$   а также   ${\displaystyle u''\equiv {{d^{2}u} \over {dz^{2}}}}$

в окрестности регулярной особой точки . Можно разделить на, чтобы получить дифференциальное уравнение вида${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z^{2}}$

${\displaystyle u''+{p(z) \over z}u'+{q(z) \over z^{2}}u=0}$

который не будет разрешим с помощью обычных методов степенных рядов, если либо p ( z ) / z, либо q ( z ) / z ² не являются аналитическими при  z  = 0. Метод Фробениуса позволяет построить решение такого дифференциального уравнения в виде степенного ряда. при условии, что p ( z ) и q ( z ) сами являются аналитическими в 0 или, будучи аналитическими в другом месте, оба их предела в 0 существуют (и конечны).

Объяснение [ править ]

Метод Фробениуса заключается в поиске решения в виде степенного ряда вида

${\displaystyle u(z)=z^{r}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k},\qquad (A_{0}\neq 0)}$

Дифференциация:

${\displaystyle u'(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}}$

${\displaystyle u''(z)=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}}$

Подставляя указанное выше дифференцирование в наше исходное ODE:

${\displaystyle {\begin{aligned}&z^{2}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+zp(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }[(k+r-1)(k+r)A_{k}z^{k+r}+p(z)(k+r)A_{k}z^{k+r}+q(z)A_{k}z^{k+r}]\\&=\sum _{k=0}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}\\&=\left[r(r-1)+p(z)r+q(z)\right]A_{0}z^{r}+\sum _{k=1}^{\infty }\left[(k+r-1)(k+r)+p(z)(k+r)+q(z)\right]A_{k}z^{k+r}=0\end{aligned}}}$

Выражение

${\displaystyle r\left(r-1\right)+p\left(0\right)r+q\left(0\right)=I(r)}$

известен как индикаторный многочлен , квадратичный по  r . Общее определение указательного полинома - это коэффициент при наименьшей степени z в бесконечном ряду. В этом случае оказывается, что это r- й коэффициент, но возможно, что наименьший возможный показатель будет равен r  - 2, r  - 1 или чему-то еще в зависимости от данного дифференциального уравнения. Об этом важно помнить. В процессе синхронизации все серии дифференциального уравнения должны начинаться с одного и того же значения индекса (которое в приведенном выше выражении равно  k = 1), можно получить сложные выражения. Однако при решении для указательных корней внимание сосредотачивается только на коэффициенте наименьшей степени  z .

Используя это, общее выражение коэффициента при z ^{k  +  r} имеет вид

${\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j},}$

Эти коэффициенты должны быть равны нулю, поскольку они должны быть решениями дифференциального уравнения, поэтому

${\displaystyle I(k+r)A_{k}+\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}=0}$

${\displaystyle \sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}=-I(k+r)A_{k}}$

${\displaystyle {1 \over -I(k+r)}\sum _{j=0}^{k-1}{(j+r)p^{(k-j)}(0)+q^{(k-j)}(0) \over (k-j)!}A_{j}=A_{k}}$

Решение серии с A _k выше,

${\displaystyle U_{r}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}}$

удовлетворяет

${\displaystyle z^{2}U_{r}(z)''+p(z)zU_{r}(z)'+q(z)U_{r}(z)=I(r)z^{r}}$

Если мы выберем один из корней указательного многочлена для r в U _r ( z ), мы получим решение дифференциального уравнения. Если разность между корнями не является целым числом, мы получаем другое, линейно независимое решение в другом корне.

Пример [ править ]

Давайте решать

${\displaystyle z^{2}f''-zf'+(1-z)f=0\,}$

Разделите всюду на z ^2, чтобы получить

${\displaystyle f''-{1 \over z}f'+{1-z \over z^{2}}f=f''-{1 \over z}f'+\left({1 \over z^{2}}-{1 \over z}\right)f=0}$

которое имеет необходимую особенность при  z  = 0.

Используйте серийное решение

${\displaystyle {\begin{aligned}f&=\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\f'&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}\\f''&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}\end{aligned}}}$

Теперь, подставив

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=0}^{\infty }&(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+\left({\frac {1}{z^{2}}}-{\frac {1}{z}}\right)\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-1}+{\frac {1}{z^{2}}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}-{\frac {1}{z}}\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k-1=0}^{\infty }A_{k-1}z^{k-1+r-1}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)(k+r-1)A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=0}^{\infty }(k+r)A_{k}z^{k+r-2}+\sum _{k=0}^{\infty }A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\sum _{k=0}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=\left\{\left(r(r-1)-r+1\right)A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r)(k+r-1)-(k+r)+1\right)A_{k}z^{k+r-2}\right\}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\left\{\sum _{k=1}^{\infty }(k+r-1)^{2}A_{k}z^{k+r-2}-\sum _{k=1}^{\infty }A_{k-1}z^{k+r-2}\right\}\\&=(r-1)^{2}A_{0}z^{r-2}+\sum _{k=1}^{\infty }\left((k+r-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}\right)z^{k+r-2}\end{aligned}}}$

Из ( r  - 1) ²  = 0 мы получаем двойной корень из 1. Используя этот корень, мы устанавливаем коэффициент при z ^{k  +  r  - 2} равным нулю (чтобы он был решением), что дает нам:

${\displaystyle (k+1-1)^{2}A_{k}-A_{k-1}=k^{2}A_{k}-A_{k-1}=0}$

следовательно, мы имеем рекуррентное соотношение:

${\displaystyle A_{k}={\frac {A_{k-1}}{k^{2}}}}$

При некоторых начальных условиях мы можем либо решить рекуррент полностью, либо получить решение в форме степенного ряда.

Поскольку отношение коэффициентов является рациональной функцией , степенной ряд можно записать как обобщенный гипергеометрический ряд .${\displaystyle A_{k}/A_{k-1}}$

Корни разделены целым числом [ править ]

В предыдущем примере использовался индикаторный многочлен с повторяющимся корнем, который дает только одно решение данного дифференциального уравнения. В общем, метод Фробениуса дает два независимых решения при условии, что корни указательного уравнения не разделены целым числом (включая ноль).

Если корень повторяется или корни отличаются на целое число, то второе решение можно найти, используя:

${\displaystyle y_{2}=Cy_{1}\ln x+\sum _{k=0}^{\infty }B_{k}x^{k+r_{2}}}$

где - первое решение (основанное на большем корне в случае неравных корней), - меньший корень, а константа C и коэффициенты должны быть определены. Один раз выбран (например, установив его в 1), тогда C и определяются до, но не включая , что может быть установлено произвольно. Затем это определяет остальную часть. В некоторых случаях константа C должна быть равна нулю. Например, рассмотрим следующее дифференциальное уравнение (уравнение Куммера с a = 1 и b = 2 ):${\displaystyle y_{1}(x)}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle B_{0}}$${\displaystyle B_{k}}$${\displaystyle B_{r_{1}-r_{2}}}$${\displaystyle B_{k}.}$

${\displaystyle zu''+(2-z)u'-u=0}$

Корни Определяющих уравнений -1 и 0. Два независимого решение и таким образом , мы видим , что логарифм не появляется в любом растворе. Решение имеет степенной ряд, начинающийся с нуля. В степенном ряду, начинающемся с рекуррентного соотношения, нет ограничений на коэффициент для члена, который может быть установлен произвольно. Если его установить равным нулю, то с этим дифференциальным уравнением все остальные коэффициенты будут равны нулю, и мы получим решение 1 / z .${\displaystyle 1/z}$${\displaystyle (e^{z})/z,}$${\displaystyle (e^{z}-1)/z}$${\displaystyle z^{-1}}$${\displaystyle z^{0},}$

См. Также [ править ]

• Теорема Фукса
• Регулярная особая точка
• Комплексное дифференциальное уравнение
• Серия Laurent

Внешние ссылки [ править ]

• Вайсштейн, Эрик В. «Метод Фробениуса» . MathWorld .
• Тешл, Джеральд (2012). Обыкновенные дифференциальные уравнения и динамические системы . Провиденс : Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-8328-0.(Черновая версия доступна на сайте https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-ode/ ). Глава 4 содержит полный метод, включая доказательства.