Обобщенная гипергеометрическая функция

В математике , А обобщенный гипергеометрический ряд является степенным рядом , в котором отношение последовательных коэффициентов , индексированного п является рациональной функцией от п . Ряд, если он сходится, определяет обобщенную гипергеометрическую функцию , которая затем может быть определена в более широкой области аргумента путем аналитического продолжения . Обобщенный гипергеометрический ряд иногда называют просто гипергеометрическим рядом, хотя иногда этот термин просто относится к гауссовскому гипергеометрическому ряду . Обобщенные гипергеометрические функции включают (гауссову)гипергеометрическая функция и конфлюэнтная гипергеометрическая функция как частные случаи, которые, в свою очередь, имеют много конкретных специальных функций как частные случаи, такие как элементарные функции , функции Бесселя и классические ортогональные многочлены .

Обозначение [ править ]

Гипергеометрический ряд формально определяется как степенной ряд

${\ displaystyle \ beta _ {0} + \ beta _ {1} z + \ beta _ {2} z ^ {2} + \ dots = \ sum _ {n \ geqslant 0} \ beta _ {n} z ^ { n}}$

в котором отношение последовательных коэффициентов является рациональной функцией от п . Это,

${\ displaystyle {\ frac {\ beta _ {n + 1}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {A (n)} {B (n)}}}$

где ( п ) и В ( п ) являются многочлены в п .

Например, в случае ряда для экспоненциальной функции ,

${\ displaystyle 1 + {\ frac {z} {1!}} + {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + {\ frac {z ^ {3}} {3!}} + \ cdots,}$

у нас есть:

${\ displaystyle \ beta _ {n} = {\ frac {1} {n!}}, \ qquad {\ frac {\ beta _ {n + 1}} {\ beta _ {n}}} = {\ frac {1} {n + 1}}.}$

Таким образом, это удовлетворяет определению с A ( n ) = 1 и B ( n ) = n + 1 .

Принято вычитать главный член, поэтому предполагается , что β ₀ равно 1. Многочлены могут быть разложены на линейные множители вида ( a _j  +  n ) и ( b _k  +  n ) соответственно, где a _j и b _k - комплексные числа .

По историческим причинам, предполагается , что (1 +  п ) является фактором B . Если это еще не так, то оба A и B могут быть умножены на этот коэффициент; фактор отменяется, поэтому термины остаются неизменными и без потери общности.

Соотношение между последовательными коэффициентами теперь имеет вид

${\ displaystyle {\ frac {c (a_ {1} + n) \ cdots (a_ {p} + n)} {d (b_ {1} + n) \ cdots (b_ {q} + n) (1+ n)}}}$,

где с и d являются ведущими коэффициенты A и B . Тогда серия имеет вид

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {cz}{d}}+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}\cdot 1}}{\frac {(a_{1}+1)\cdots (a_{p}+1)}{(b_{1}+1)\cdots (b_{q}+1)\cdot 2}}\left({\frac {cz}{d}}\right)^{2}+\cdots }$,

или, масштабируя z соответствующим коэффициентом и переставляя,

${\displaystyle 1+{\frac {a_{1}\cdots a_{p}}{b_{1}\cdots b_{q}}}{\frac {z}{1!}}+{\frac {a_{1}(a_{1}+1)\cdots a_{p}(a_{p}+1)}{b_{1}(b_{1}+1)\cdots b_{q}(b_{q}+1)}}{\frac {z^{2}}{2!}}+\cdots }$.

Это имеет форму экспоненциальной производящей функции . Этот ряд обычно обозначают

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)}$

или же

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}\left[{\begin{matrix}a_{1}&a_{2}&\cdots &a_{p}\\b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{q}\end{matrix}};z\right].}$

Использование восходящего факториала или символа Поххаммера

${\displaystyle {\begin{aligned}(a)_{0}&=1,\\(a)_{n}&=a(a+1)(a+2)\cdots (a+n-1),&&n\geq 1\end{aligned}}}$

это можно написать

${\displaystyle \,{}_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(a_{1})_{n}\cdots (a_{p})_{n}}{(b_{1})_{n}\cdots (b_{q})_{n}}}\,{\frac {z^{n}}{n!}}.}$

(Обратите внимание, что такое использование символа Поххаммера не является стандартным; однако это стандартное использование в данном контексте.)

Терминология [ править ]

Когда все члены ряда определены и он имеет ненулевой радиус сходимости , тогда ряд определяет аналитическую функцию . Такая функция и ее аналитические продолжения называются гипергеометрической функцией .

Случай, когда радиус сходимости равен 0, дает много интересных рядов в математике, например, неполная гамма-функция имеет асимптотическое разложение

${\displaystyle \Gamma (a,z)\sim z^{a-1}e^{-z}\left(1+{\frac {a-1}{z}}+{\frac {(a-1)(a-2)}{z^{2}}}+\cdots \right)}$

что можно было бы записать z ^{a −1} e ^−z  ₂ F ₀ (1− a , 1 ;; - z ⁻¹ ). Однако использование термина гипергеометрический ряд обычно ограничивается случаем, когда ряд определяет фактическую аналитическую функцию.

Обычный гипергеометрический ряд не следует путать с основным гипергеометрическим рядом , который, несмотря на свое название, является более сложным и непонятным рядом. «Базовый» ряд является q-аналогом обычного гипергеометрического ряда. Существует несколько таких обобщений обычных гипергеометрических рядов, в том числе те, которые происходят от зональных сферических функций на римановых симметрических пространствах .

Серия без множителя n ! в знаменателе (суммированном по всем целым числам n , включая отрицательные) называется двусторонним гипергеометрическим рядом .

Условия конвергенции [ править ]

Существуют определенные значения a _j и b _k, для которых числитель или знаменатель коэффициентов равен 0.

• Если любое a _j является целым неположительным числом (0, −1, −2 и т. Д.), То ряд имеет только конечное число членов и фактически является многочленом степени - a _j .
• Если любое b _k является неположительным целым числом (за исключением предыдущего случая с - b _k < a _j ), то знаменатели становятся 0, и ряд не определен.

За исключением этих случаев, для определения радиуса сходимости можно применить тест отношения .

• Если p < q + 1, то отношение коэффициентов стремится к нулю. Это означает, что ряд сходится для любого конечного значения z и, таким образом, определяет целую функцию от z . Примером может служить степенной ряд для экспоненциальной функции.
• Если p = q + 1, то отношение коэффициентов стремится к единице. Отсюда следует, что ряд сходится при | z | <1 и расходится при | z | > 1. Сходится ли он для | z | = 1 определить труднее. Аналитическое продолжение можно использовать для больших значений z .
• Если p > q + 1, то отношение коэффициентов неограниченно растет. Отсюда следует, что кроме z  = 0 ряд расходится. Тогда это расходящийся или асимптотический ряд, или его можно интерпретировать как символическое сокращение для дифференциального уравнения, которому сумма формально удовлетворяет.

Вопрос о сходимости при p = q +1, когда z находится на единичной окружности, более сложен. Можно показать, что ряд абсолютно сходится при z = 1, если

${\displaystyle \Re \left(\sum b_{k}-\sum a_{j}\right)>0}$.

Кроме того, если p = q +1 и z вещественно, то имеет место следующий результат сходимости Quigley et al. (2013) :${\displaystyle \sum _{i=1}^{p}a_{i}\geq \sum _{j=1}^{q}b_{j}}$

${\displaystyle \lim _{z\rightarrow 1}(1-z){\frac {d\log(_{p}F_{q}(a_{1},\ldots ,a_{p};b_{1},\ldots ,b_{q};z^{p}))}{dz}}=\sum _{i=1}^{p}a_{i}-\sum _{j=1}^{q}b_{j}}$.

Основные свойства [ править ]

Непосредственно из определения следует, что порядок параметров a _j или порядок параметров b _k можно изменить без изменения значения функции. Кроме того, если какой-либо из параметров a _j равен любому из параметров b _k , тогда соответствующие параметры могут быть «аннулированы», с некоторыми исключениями, когда параметры являются неположительными целыми числами. Например,

${\displaystyle \,{}_{2}F_{1}(3,1;1;z)=\,{}_{2}F_{1}(1,3;1;z)=\,{}_{1}F_{0}(3;;z)}$.

Эта отмена является частным случаем формулы сокращения, которая может применяться всякий раз, когда параметр в верхней строке отличается от параметра в нижней строке неотрицательным целым числом. ^[1]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c+n\\b_{1},\ldots ,b_{B},c\end{array}};z\right]=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}{\frac {1}{(c)_{j}}}{\frac {\prod _{i=1}^{A}(a_{i})_{j}}{\prod _{i=1}^{B}(b_{i})_{j}}}{}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+j,\ldots ,a_{A}+j\\b_{1}+j,\ldots ,b_{B}+j\end{array}};z\right]}$

Интегральное преобразование Эйлера [ править ]

Следующее основное тождество очень полезно, поскольку оно связывает гипергеометрические функции высшего порядка в терминах интегралов над функциями низшего порядка ^[2]

${\displaystyle {}_{A+1}F_{B+1}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A},c\\b_{1},\ldots ,b_{B},d\end{array}};z\right]={\frac {\Gamma (d)}{\Gamma (c)\Gamma (d-c)}}\int _{0}^{1}t^{c-1}(1-t)_{}^{d-c-1}\ {}_{A}F_{B}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\ldots ,a_{A}\\b_{1},\ldots ,b_{B}\end{array}};tz\right]dt}$

Дифференциация [ править ]

Обобщенная гипергеометрическая функция удовлетворяет

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{j}\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=a_{j}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]\\\end{aligned}}}$

а также

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{k}-1\right){}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&=(b_{k}-1)\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]{\text{ for }}b_{k}\neq 1\end{aligned}}}$

Кроме того,

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1},\dots ,a_{p}\\b_{1},\dots ,b_{q}\end{array}};z\right]&={\frac {\prod _{i=1}^{p}a_{i}}{\prod _{j=1}^{q}b_{j}}}\;{}_{p}F_{q}\left[{\begin{array}{c}a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1\\b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1\end{array}};z\right]\end{aligned}}}$

Их объединение дает дифференциальное уравнение, которому удовлетворяет w = _p F _q :

${\displaystyle z\prod _{n=1}^{p}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+a_{n}\right)w=z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}\prod _{n=1}^{q}\left(z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}+b_{n}-1\right)w}$.

Непрерывная функция и связанные идентификаторы [ править ]

Возьмем следующий оператор:

${\displaystyle \vartheta =z{\frac {\rm {d}}{{\rm {d}}z}}.}$

Из приведенных выше формул дифференцирования линейное пространство, натянутое на

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),\vartheta \;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

содержит каждый из

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{j}+1,\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{k}-1,\dots ,b_{q};z),}$

${\displaystyle z\;{}_{p}F_{q}(a_{1}+1,\dots ,a_{p}+1;b_{1}+1,\dots ,b_{q}+1;z),}$

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Поскольку пространство имеет размерность 2, любые три из этих p + q +2 функций линейно зависимы. Эти зависимости могут быть записаны для генерации большого количества задействованных идентификаторов .${\displaystyle {}_{p}F_{q}}$

Например, в простейшем нетривиальном случае

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a;z)=(1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)=({\frac {\vartheta }{a-1}}+1)\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

${\displaystyle z\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)=(a\vartheta )\;{}_{0}F_{1}(;a;z)}$,

Так

${\displaystyle \;{}_{0}F_{1}(;a-1;z)-\;{}_{0}F_{1}(;a;z)={\frac {z}{a(a-1)}}\;{}_{0}F_{1}(;a+1;z)}$.

Этот и другие важные примеры,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {z}{b}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a;b;z)={\frac {az}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{1}F_{1}(a;b-1;z)-\,{}_{1}F_{1}(a+1;b;z)={\frac {(a-b+1)z}{b(b-1)}}\;{}_{1}F_{1}(a+1;b+1;z)}$

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {bz}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)-\,{}_{2}F_{1}(a,b+1;c;z)={\frac {(b-a)z}{c}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

${\displaystyle \;{}_{2}F_{1}(a,b;c-1;z)-\,{}_{2}F_{1}(a+1,b;c;z)={\frac {(a-c+1)bz}{c(c-1)}}\;{}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$,

может использоваться для генерации выражений непрерывной дроби, известной как непрерывная дробь Гаусса .

Аналогично, если дважды применить формулы дифференцирования, найдутся такие функции, содержащиеся в ${\displaystyle {\binom {p+q+3}{2}}}$

${\displaystyle \{1,\vartheta ,\vartheta ^{2}\}\;{}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z),}$

который имеет размерность три, поэтому любые четыре линейно зависимы. Это генерирует больше идентичностей, и процесс может быть продолжен. Созданные таким образом идентичности можно комбинировать друг с другом для создания новых по-разному.

Функция, полученная добавлением ± 1 ровно к одному из параметров a _j , b _k в

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z)}$

называется смежным с

${\displaystyle {}_{p}F_{q}(a_{1},\dots ,a_{p};b_{1},\dots ,b_{q};z).}$

Используя описанную выше технику, можно задать взаимосвязь идентичности и две ее смежные функции, найти шесть взаимосвязанных идентичностей и любые две из четырех смежных функций, а также пятнадцать взаимосвязанных идентичностей и любые две из шести смежных функций. (Первый вывод был получен в предыдущем абзаце. Последние пятнадцать были даны Гауссом в его статье 1812 года.)${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Личности [ править ]

Ряд других гипергеометрических функциональных тождеств был открыт в девятнадцатом и двадцатом веках. Вклад ХХ века в методологию доказательства этих идентичностей - метод Егорычева .

Теорема Заальшюца [ править ]

Теорема Заальшютца ^[3] ( Saalschütz 1890 ) является

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,-n;c,1+a+b-c-n;1)={\frac {(c-a)_{n}(c-b)_{n}}{(c)_{n}(c-a-b)_{n}}}.}$

Для расширения этой теоремы см. Исследовательскую статью Ракхи и Рати.

Личность Диксон [ править ]

Тождество Диксона ^[4], впервые доказанное Диксоном (1902 г.) , дает сумму хорошо сбалансированных ₃ F ₂ в 1:

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(a,b,c;1+a-b,1+a-c;1)={\frac {\Gamma (1+{\frac {a}{2}})\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b-c)\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+a-c)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+a-b-c)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-b)\Gamma (1+{\frac {a}{2}}-c)}}.}$

Обобщение личности Диксона см. В статье Lavoie et al.

Формула Дугалла [ править ]

Формула Дугалла  ( Dougall 1907 ) дает сумму очень хорошо уравновешенного ряда, который является завершающимся и 2-сбалансированным.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{7}F_{6}&\left({\begin{matrix}a&1+{\frac {a}{2}}&b&c&d&e&-m\\&{\frac {a}{2}}&1+a-b&1+a-c&1+a-d&1+a-e&1+a+m\\\end{matrix}};1\right)=\\&={\frac {(1+a)_{m}(1+a-b-c)_{m}(1+a-c-d)_{m}(1+a-b-d)_{m}}{(1+a-b)_{m}(1+a-c)_{m}(1+a-d)_{m}(1+a-b-c-d)_{m}}}.\end{aligned}}}$

Завершение означает, что m является неотрицательным целым числом, а 2-сбалансированный означает, что

${\displaystyle 1+2a=b+c+d+e-m.}$

Многие другие формулы для специальных значений гипергеометрических функций могут быть выведены из этого как частные или предельные случаи.

Обобщение преобразований и тождеств Куммера для ₂ F ₂ [ править ]

Личность 1.

${\displaystyle e^{-x}\;{}_{2}F_{2}(a,1+d;c,d;x)={}_{2}F_{2}(c-a-1,f+1;c,f;-x)}$

где

${\displaystyle f={\frac {d(a-c+1)}{a-d}}}$;

Личность 2.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{2}F_{2}\left(a,1+b;2a+1,b;x\right)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)-{\frac {x\left(1-{\tfrac {2a}{b}}\right)}{2(2a+1)}}\;{}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {3}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right),}$

который связывает функции Бесселя с ₂ F ₂ ; это сводится ко второй формуле Куммера для b = 2 a :

Личность 3.

${\displaystyle e^{-{\frac {x}{2}}}\,{}_{1}F_{1}(a,2a,x)={}_{0}F_{1}\left(;a+{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{16}}\right)}$.

Личность 4.

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{2}(a,b;c,d;x)=&\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(a+i;c+i;x){\frac {x^{i}}{i!}}\\=&e^{x}\sum _{i=0}{\frac {{b-d \choose i}{a+i-1 \choose i}}{{c+i-1 \choose i}{d+i-1 \choose i}}}\;{}_{1}F_{1}(c-a;c+i;-x){\frac {x^{i}}{i!}},\end{aligned}}}$

что является конечной суммой, если bd - целое неотрицательное число.

Отношение Куммера [ править ]

Отношение Куммера

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(2a,2b;a+b+{\tfrac {1}{2}};x\right)={}_{2}F_{1}\left(a,b;a+b+{\tfrac {1}{2}};4x(1-x)\right).}$

Формула Клаузена [ править ]

Формула Клаузена

${\displaystyle {}_{3}F_{2}(2c-2s-1,2s,c-{\tfrac {1}{2}};2c-1,c;x)=\,{}_{2}F_{1}(c-s-{\tfrac {1}{2}},s;c;x)^{2}}$

был использован де Бранжем для доказательства гипотезы Бибербаха .

Особые случаи [ править ]

Многие специальные функции в математике являются частными случаями конфлюэнтной гипергеометрической функции или гипергеометрической функции ; примеры см. в соответствующих статьях.

Серия ₀ F ₀ [ править ]

Как уже отмечалось ранее, . Дифференциальное уравнение для этой функции имеет решения, где k - постоянная величина.${\displaystyle {}_{0}F_{0}(;;z)=e^{z}}$${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=w}$${\displaystyle w=ke^{z}}$

Серия ₁ F ₀ [ править ]

Важный случай:

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(a;;z)=(1-z)^{-a}.}$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w,}$

или же

${\displaystyle (1-z){\frac {dw}{dz}}=aw,}$

который имеет решения

${\displaystyle w=k(1-z)^{-a}}$

где k - постоянная.

${\displaystyle {}_{1}F_{0}(1;;z)=\sum _{n\geqslant 0}z^{n}=(1-z)^{-1}}$- геометрический ряд с отношением z и коэффициентом 1.

${\displaystyle z~{}_{1}F_{0}(2;;z)=\sum _{n\geqslant 0}nz^{n}=z(1-z)^{-2}}$ тоже полезно.

Серия ₀ F ₁ [ править ]

Особый случай:

${\displaystyle {}_{0}F_{1}\left(;{\frac {1}{2}};-{\frac {z^{2}}{4}}\right)=\cos z}$

Пример [ править ]

Мы можем получить этот результат, используя формулу с возрастающими факториалами, следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{0}F_{1}\left(;{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{4}}\right)&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{({\tfrac {1}{2}})_{k}}}\,{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{\prod _{j=1}^{k}({\tfrac {1}{2}}+j-1)}}\,{\frac {(-{\frac {z^{2}}{4}})^{k}}{k!}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k!4^{k}\prod _{j=1}^{k}(j-{\tfrac {1}{2}})}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k!2^{k}2^{k}\prod _{j=1}^{k}({\tfrac {2j-1}{2}})}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k!2^{k}2^{k}{\tfrac {\prod _{j=1}^{k}(2j-1)}{2^{k}}}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{k!2^{k}\prod _{j=1}^{k}(2j-1)}}\\&=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{\prod _{j=1}^{k}(2j)\prod _{j=1}^{k}(2j-1)}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k}}{(2k)!}}=\cos z\end{aligned}}}$

Функции формы называются конфлюэнтными гипергеометрическими предельными функциями и тесно связаны с функциями Бесселя . ${\displaystyle {}_{0}F_{1}(;a;z)}$

Отношения следующие:

${\displaystyle J_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;-{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

${\displaystyle I_{\alpha }(x)={\frac {({\tfrac {x}{2}})^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}{}_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\tfrac {1}{4}}x^{2}\right).}$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle w=\left(z{\frac {d}{dz}}+a\right){\frac {dw}{dz}}}$

или же

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+a{\frac {dw}{dz}}-w=0.}$

Когда a не является положительным целым числом, подстановка

${\displaystyle w=z^{1-a}u,}$

дает линейно независимое решение

${\displaystyle z^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z),}$

так что общее решение

${\displaystyle k\;{}_{0}F_{1}(;a;z)+lz^{1-a}\;{}_{0}F_{1}(;2-a;z)}$

где k , l - постоянные. (Если a - положительное целое число, независимое решение дается соответствующей функцией Бесселя второго рода.)

Серия ₁ F ₁ [ править ]

Функции вида называются конфлюэнтными гипергеометрическими функциями первого рода , также записываются . Неполная гамма-функция - это особый случай.${\displaystyle {}_{1}F_{1}(a;b;z)}$${\displaystyle M(a;b;z)}$${\displaystyle \gamma (a,z)}$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right){\frac {dw}{dz}}}$

или же

${\displaystyle z{\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+(b-z){\frac {dw}{dz}}-aw=0.}$

Когда b не является положительным целым числом, подстановка

${\displaystyle w=z^{1-b}u,}$

дает линейно независимое решение

${\displaystyle z^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z),}$

так что общее решение

${\displaystyle k\;{}_{1}F_{1}(a;b;z)+lz^{1-b}\;{}_{1}F_{1}(1+a-b;2-b;z)}$

где k , l - постоянные.

Когда не является положительным целым числом, - п , является полиномом. С точностью до постоянных множителей это полиномы Лагерра . Это означает, что полиномы Эрмита также могут быть выражены через ₁ F ₁ .${\displaystyle {}_{1}F_{1}(-n;b;z)}$

Серия ₂ F ₀ [ править ]

Это происходит в связи с экспоненциальной интегральной функцией Ei ( z ).

Серия ₂ F ₁ [ править ]

Исторически наиболее важными являются функции формы . Их иногда называют гипергеометрическими функциями Гаусса , классическими стандартными гипергеометрическими функциями или часто просто гипергеометрическими функциями. Термин « обобщенная гипергеометрическая функция» используется для функций _p F _q, если существует опасность путаницы. Эта функция была впервые подробно изучена Карлом Фридрихом Гауссом , который исследовал условия ее сходимости.${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

Дифференциальное уравнение для этой функции имеет вид

${\displaystyle \left(z{\frac {d}{dz}}+a\right)\left(z{\frac {d}{dz}}+b\right)w=\left(z{\frac {d}{dz}}+c\right){\frac {dw}{dz}}}$

или же

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

Оно известно как гипергеометрическое дифференциальное уравнение . Когда c не является положительным целым числом, подстановка

${\displaystyle w=z^{1-c}u}$

дает линейно независимое решение

${\displaystyle z^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z),}$

так что общее решение для | z | <1 это

${\displaystyle k\;{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)+lz^{1-c}\;{}_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

где k , l - постоянные. Для других значений z могут быть получены разные решения . Фактически существует 24 решения, известных как решения Куммера , которые можно получить с использованием различных тождеств, действительных в разных областях комплексной плоскости.

Когда a - целое неположительное число, - n ,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,b;c;z)}$

является многочленом. С точностью до постоянных множителей и масштабирования это многочлены Якоби . Несколько других классов ортогональных многочленов, с точностью до постоянных множителей, являются частными случаями многочленов Якоби, поэтому они также могут быть выражены с помощью ₂ F ₁ . Это включает в себя полиномы Лежандра и многочлены Чебышева .

Широкий спектр интегралов элементарных функций можно выразить с помощью гипергеометрической функции, например:

${\displaystyle \int _{0}^{x}{\sqrt {1+y^{\alpha }}}\,\mathrm {d} y={\frac {x}{2+\alpha }}\left\{\alpha \;{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{\alpha }},{\tfrac {1}{2}};1+{\tfrac {1}{\alpha }};-x^{\alpha }\right)+2{\sqrt {x^{\alpha }+1}}\right\},\qquad \alpha \neq 0.}$

Серия ₃ F ₀ [ править ]

Это происходит в связи с полиномами Мотта . ^[5]

Серия ₃ F ₁ [ править ]

Это происходит в теории функций Бесселя. Он предоставляет способ вычисления функций Бесселя с большими аргументами.

Дилогарифм [ править ]

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(x)=\sum _{n>0}\,{x^{n}}{n^{-2}}=x\;{}_{3}F_{2}(1,1,1;2,2;x)}$это дилогарифм ^[6]

Многочлены Хана [ править ]

${\displaystyle Q_{n}(x;a,b,N)={}_{3}F_{2}(-n,-x,n+a+b+1;a+1,-N+1;1)}$является многочленом Хана .

Многочлены Вильсона [ править ]

${\displaystyle p_{n}(t^{2})=(a+b)_{n}(a+c)_{n}(a+d)_{n}\;{}_{4}F_{3}\left({\begin{matrix}-n&a+b+c+d+n-1&a-t&a+t\\a+b&a+c&a+d\end{matrix}};1\right)}$является многочленом Вильсона .

Обобщения [ править ]

Обобщенная гипергеометрическая функция связана с G-функцией Мейера и E-функцией Мак-Роберта . Гипергеометрические ряды были обобщены на несколько переменных, например, Полем Эмилем Аппелем и Жозефом Кампе де Фериет ; но для появления сопоставимой общей теории потребовалось много времени. Было найдено много личностей, некоторые весьма примечательные. Обобщение, аналоги q-рядов , названные базовыми гипергеометрическими рядами , были даны Эдуардом Гейне в конце девятнадцатого века. Здесь рассматриваемые отношения последовательных членов вместо рациональной функции n являются рациональной функцией q ⁿ. Другое обобщение, эллиптический гипергеометрический ряд , - это ряд, в котором отношение членов является эллиптической функцией (двоякопериодической мероморфной функцией ) от n .

В течение двадцатого века это была плодотворная область комбинаторной математики с многочисленными связями с другими областями. Есть ряд новых определений общих гипергеометрических функций , сделанных Аомото, Израилем Гельфандом и другими; и приложения, например, к комбинаторике расположения нескольких гиперплоскостей в комплексном N- пространстве (см. расположение гиперплоскостей ).

Специальные гипергеометрические функции встречаются как зональные сферические функции на римановых симметрических пространствах и полупростых группах Ли . Их важность и роль можно понять на следующем примере: гипергеометрический ряд ₂ F ₁ имеет многочлены Лежандра как частный случай, и, если рассматривать их в форме сферических гармоник , эти многочлены отражают, в определенном смысле, свойства симметрии двумерная сфера или, что то же самое, вращения, заданные группой Ли SO (3) . В разложении на тензорное произведение конкретных представлений этой группы коэффициенты Клебша – Гордана, которые можно записать в виде ₃ F ₂ гипергеометрических рядов.

Двусторонние гипергеометрические ряды - это обобщение гипергеометрических функций, в котором суммируются все целые числа, а не только положительные.

Функции Фокса – Райта являются обобщением обобщенных гипергеометрических функций, где символы Похгаммера в выражении ряда обобщаются на гамма-функции линейных выражений с индексом n .

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Аски, РА; Даалхуис, Адри Б. Олде (2010), «Обобщенная гипергеометрическая функция» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. 71 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-78988-2. Руководство по ремонту  1688958 .
• Бейли, WN (1935). Обобщенный гипергеометрический ряд . Кембриджские трактаты по математике и математической физике. 32 . Лондон: Издательство Кембриджского университета. Zbl  0011.02303 .
• Диксон, AC (1902). «Суммирование определенного ряда» . Proc. Лондонская математика. Soc . 35 (1): 284–291. DOI : 10.1112 / ПНИЛИ / s1-35.1.284 . JFM  34.0490.02 .
• Дугалл, Дж. (1907). «О теореме Вандермонда и некоторых более общих разложениях» . Proc. Edinburgh Math. Soc . 25 : 114–132. DOI : 10.1017 / S0013091500033642 .
• Эрдейи, Артур; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц; Трикоми, Франческо Г. (1955). Высшие трансцендентные функции. Vol. III . McGraw-Hill Book Company, Inc., Нью-Йорк-Торонто-Лондон. Руководство по ремонту  0066496 .
• Гаспер, Джордж; Рахман, Мизан (2004). Базовый гипергеометрический ряд . Энциклопедия математики и ее приложений. 96 (2-е изд.). Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83357-8. Руководство по ремонту  2128719 . Zbl  1129.33005 .(первое издание имеет ISBN 0-521-35049-2 ) 
• Гаусс, Карл Фридрих (1813). "Disquisitiones generales circa seriam infinitam   " 1 + α β 1 ⋅ γ   x + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 )   x   x + etc. {\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}} . Commentationes Societatis Regiae Scientarum Gottingensis Recentiores (на латыни). Гёттинген. 2 .(перепечатку этой статьи можно найти у Карла Фридриха Гаусса, Werke , стр. 125)
• Гриншпан, AZ (2013), "Обобщенные гипергеометрические функции: идентичность продукта и взвешенные неравенства нормы", Ramanujan Journal , 31 (1-2): 53-66, DOI : 10.1007 / s11139-013-9487-х , S2CID  121054930

• Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции на симметричных пространствах . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 978-0-12-336170-7. (часть 1 посвящена гипергеометрическим функциям на группах Ли)
• Lavoie, JL; Grondin, F .; Рати, AK; Арора, К. (1994). «Обобщения теоремы Диксона о сумме 3F2». Математика. Комп . 62 (205): 267–276. DOI : 10.2307 / 2153407 . JSTOR  2153407 .
• Миллер, АР; Париж, РБ (2011). «Преобразования типа Эйлера для обобщенной гипергеометрической функции r + 2 F r + 1 » . З. Энгью. Математика. Phys . 62 : 31–45. DOI : 10.1007 / s00033-010-0085-0 . S2CID  30484300 .
• Quigley, J .; Wilson, KJ; Стены, л .; Бедфорд, Т. (2013). «Байесовский линейный байесовский метод для оценки частоты коррелированных событий» (PDF) . Анализ рисков . 33 (12): 2209–2224. DOI : 10.1111 / risa.12035 . PMID  23551053 .
• Рати, Арджун К .; Погани, Тибор К. (2008). «Новая формула суммирования для 3 F 2 (1/2) и преобразования типа Куммера II для 2 F 2 ( x )» . Математические коммуникации . 13 : 63–66. Руководство по ремонту  2422088 . Zbl  1146.33002 .
• Ракха, Массачусетс; Рати, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теоремы Заальшуца» . Бык. Корейская математика. Soc . 48 (1): 151–156. DOI : 10.4134 / bkms.2011.48.1.151 .
• Заальшютц, Л. (1890). "Eine Summationsformel". Zeitschrift für Mathematik und Physik (на немецком языке). 35 : 186–188. JFM  22.0262.03 .
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-06483-5. Руководство по ремонту  0201688 . Zbl  0135.28101 .(есть мягкая обложка 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2 ) 
• Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, моя любовь: модульные интерпретации конфигурационных пространств . Брауншвейг / Висбаден: Фридр. Vieweg & Sohn. ISBN 978-3-528-06925-4. Руководство по ремонту  1453580 .

Внешние ссылки [ править ]

• Книга «A = B» , эту книгу можно бесплатно загрузить из Интернета.
• MathWorld
  • Вайсштейн, Эрик В. «Обобщенная гипергеометрическая функция» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. «Гипергеометрическая функция» . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Конфлюэнтная гипергеометрическая функция первого рода" . MathWorld .
  • Вайсштейн, Эрик В. "Конфлюэнтная гипергеометрическая предельная функция" . MathWorld .