Гипергеометрическая функция

В математике гауссова или обычная гипергеометрическая функция ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) - это специальная функция, представленная гипергеометрическим рядом , которая включает в себя множество других специальных функций в качестве конкретных или предельных случаев . Это решение линейного обыкновенного дифференциального уравнения второго порядка (ОДУ). Каждое линейное ОДУ второго порядка с тремя регулярными особыми точками можно преобразовать в это уравнение.

Систематические списки некоторых из многих тысяч опубликованных идентичностей, включающих гипергеометрическую функцию, см. В справочных работах Erdélyi et al. (1953) и Olde Daalhuis (2010) . Не существует известной системы для организации всех идентичностей; действительно, не существует известного алгоритма, который может генерировать все идентичности; известен ряд различных алгоритмов, которые генерируют различные серии идентификаторов. Теория алгоритмического открытия идентичностей остается активной темой исследований.Ошибка harvtxt: нет цели: CITEREFOlde_Daalhuis2010 ( помощь )

История [ править ]

Термин «гипергеометрический ряд» впервые был использован Джоном Уоллисом в его книге 1655 года « Бесконечная арифметика» .

Гипергеометрические ряды изучал Леонард Эйлер , но первое полное систематическое рассмотрение дал Карл Фридрих Гаусс  ( 1813 г. ).

Исследования девятнадцатого века включали исследования Эрнста Куммера  ( 1836 ) и фундаментальную характеристику гипергеометрической функции Бернхардом Риманом  ( 1857 ) с помощью дифференциального уравнения, которому она удовлетворяет.

Риман показал, что дифференциальное уравнение второго порядка для ₂ F ₁ ( z ), рассмотренное на комплексной плоскости, может быть охарактеризовано (на сфере Римана ) его тремя регулярными особенностями .

Случаи, когда решениями являются алгебраические функции, были найдены Германом Шварцем ( список Шварца ).

Гипергеометрический ряд [ править ]

Гипергеометрическая функция определена для | z | <1 по степенному ряду

${\ displaystyle {} _ {2} F_ {1} (a, b; c; z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {(a) _ {n} (b) _ {n}} {(c) _ {n}}} {\ frac {z ^ {n}} {n!}} = 1 + {\ frac {ab} {c}} {\ frac {z} { 1!}} + {\ Frac {a (a + 1) b (b + 1)} {c (c + 1)}} {\ frac {z ^ {2}} {2!}} + \ Cdots. }$

Оно не определено (или бесконечно), если c равно неположительному целому числу. Здесь ( q ) _n - (восходящий) символ Поххаммера , который определяется следующим образом:

${\ displaystyle (q) _ {n} = {\ begin {cases} 1 & n = 0 \\ q (q + 1) \ cdots (q + n-1) & n> 0 \ end {cases}}}$

Серия завершается, если a или b является неположительным целым числом, и в этом случае функция сводится к полиному:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;z)=\sum _{n=0}^{m}(-1)^{n}{\binom {m}{n}}{\frac {(b)_{n}}{(c)_{n}}}z^{n}.}$

Для сложных аргументов z с | z | ≥ 1 его можно аналитически продолжить по любому пути в комплексной плоскости, избегающему точек ветвления 1 и бесконечности.

При c → - m , где m - неотрицательное целое число, ₂ F ₁ ( z ) → ∞ , но если разделить на Γ ( c ) , мы получим предел:

${\displaystyle \lim _{c\to -m}{\frac {{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}{\Gamma (c)}}={\frac {(a)_{m+1}(b)_{m+1}}{(m+1)!}}z^{m+1}{}_{2}F_{1}(a+m+1,b+m+1;m+2;z)}$

₂ F ₁ ( z ) является наиболее обычным типом обобщенных гипергеометрических рядов _p F _q и часто обозначается просто F ( z ) .

Формулы дифференцирования [ править ]

Используя тождество , показано, что${\displaystyle (a)_{n+1}=a(a+1)_{n}}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {ab}{c}}\ {}_{2}F_{1}(a+1,b+1;c+1;z)}$

и в более общем плане

${\displaystyle {\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)={\frac {(a)_{n}(b)_{n}}{(c)_{n}}}\ {}_{2}F_{1}(a+n,b+n;c+n;z)}$

В частном случае , мы имеем${\displaystyle c=a+1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(a,b;a+1;z)={\frac {d}{dz}}\ {}_{2}F_{1}(b,a;a+1;z)={\frac {a((1-z)^{-b}-{}_{2}F_{1}(a,b;1+a;z))}{z}}}$

Особые случаи [ править ]

Многие из общих математических функций могут быть выражены в терминах гипергеометрической функции или как ее предельные случаи. Вот некоторые типичные примеры:

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}\left(1,1;2;-z\right)&={\frac {\ln(1+z)}{z}}\\_{2}F_{1}(a,b;b;z)&=(1-z)^{-a},\quad (\forall b)\\_{2}F_{1}\left({\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};{\frac {3}{2}};z^{2}\right)&={\frac {\arcsin(z)}{z}}\\\,_{2}F_{1}\left({\frac {1}{3}},{\frac {2}{3}};{\frac {3}{2}};-{\frac {27x^{2}}{4}}\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{\frac {3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}{2}}}-{\sqrt[{3}]{\frac {2}{3x{\sqrt {3}}+{\sqrt {27x^{2}+4}}}}}}{x{\sqrt {3}}}}\\\end{aligned}}}$

Функция вырожденная гипергеометрическая (или функция Куммера) может быть задана как предел гипергеометрической функции

${\displaystyle M(a,c,z)=\lim _{b\to \infty }{}_{2}F_{1}(a,b;c;b^{-1}z)}$

поэтому все функции, которые являются частными его случаями, такие как функции Бесселя , могут быть выражены как пределы гипергеометрических функций. К ним относятся большинство часто используемых функций математической физики.

Функции Лежандра являются решениями дифференциального уравнения второго порядка с 3 регулярными особыми точками, поэтому их можно выразить через гипергеометрическую функцию многими способами, например

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,1-a;c;z)=\Gamma (c)z^{\tfrac {1-c}{2}}(1-z)^{\tfrac {c-1}{2}}P_{-a}^{1-c}(1-2z)}$

Несколько ортогональных многочленов, в том числе многочлены Якоби P^{(α, β)}
_nи их особые случаи полиномов Лежандра , полиномы Чебышева , многочлены Гегенбауэра можно записать в терминах гипергеометрических функций с помощью

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-n,\alpha +1+\beta +n;\alpha +1;x)={\frac {n!}{(\alpha +1)_{n}}}P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1-2x)}$

Другие полиномы, специальные случаи включают Кравчук полиномы , полиномы Майкснера , Meixner-Поллачек полиномы .

Эллиптические модульные функции иногда могут быть выражены как функции, обратные отношениям гипергеометрических функций, аргументы которых a , b , c равны 1, 1/2, 1/3, ... или 0. Например, если

${\displaystyle \tau ={\rm {i}}{\frac {{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;1-z{\bigr )}}{{}_{2}F_{1}{\bigl (}{\frac {1}{2}},{\frac {1}{2}};1;z{\bigr )}}}}$

тогда

${\displaystyle z=\kappa ^{2}(\tau )={\frac {\theta _{2}(\tau )^{4}}{\theta _{3}(\tau )^{4}}}}$

является эллиптической модулярной функцией от τ.

Неполные бета-функции B _x ( p , q ) связаны соотношением

${\displaystyle B_{x}(p,q)={\tfrac {x^{p}}{p}}{}_{2}F_{1}(p,1-q;p+1;x)}$

В полные эллиптические интегралы К и Е определяются

${\displaystyle K(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}$

${\displaystyle E(k)={\tfrac {\pi }{2}}\,_{2}F_{1}\left(-{\tfrac {1}{2}},{\tfrac {1}{2}};1;k^{2}\right)}$

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение [ править ]

Гипергеометрическая функция является решением гипергеометрического дифференциального уравнения Эйлера

${\displaystyle z(1-z){\frac {d^{2}w}{dz^{2}}}+\left[c-(a+b+1)z\right]{\frac {dw}{dz}}-ab\,w=0.}$

который имеет три регулярные особые точки : 0,1 и ∞. Обобщение этого уравнения на три произвольных регулярных особых точки дается дифференциальным уравнением Римана . Любое дифференциальное уравнение второго порядка с тремя регулярными особыми точками можно преобразовать в гипергеометрическое дифференциальное уравнение заменой переменных.

Решения в особых точках [ править ]

Решения гипергеометрического дифференциального уравнения строятся из гипергеометрического ряда ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ). Уравнение имеет два линейно независимых решения. В каждой из трех особых точек 0, 1, ∞ обычно есть два специальных решения вида x ^s, умноженного на голоморфную функцию от x , где s - один из двух корней исходного уравнения, а x - локальная переменная, равная нулю. в регулярной особой точке. Это дает 3 × 2 = 6 специальных решений, как показано ниже.

Вокруг точки z  = 0 два независимых решения, если c не является целым неположительным числом,

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;c;z)}$

и, при условии, что c не является целым числом,

${\displaystyle z^{1-c}\,_{2}F_{1}(1+a-c,1+b-c;2-c;z)}$

Если c - неположительное целое число 1− m , то первое из этих решений не существует и должно быть заменено на Второе решение не существует, когда c является целым числом больше 1 и равно первому решению, или его замена, когда c - любое другое целое число. Поэтому, когда c является целым числом, для второго решения необходимо использовать более сложное выражение, равное умножению первого решения на ln ( z ) плюс еще один ряд по степеням z , включающий дигамма-функцию . См. Подробности в Olde Daalhuis (2010) .${\displaystyle z^{m}F(a+m,b+m;1+m;z).}$ harvtxt error: no target: CITEREFOlde_Daalhuis2010 (help)

Вокруг z  = 1, если c  -  a  -  b не целое число, у одного есть два независимых решения

${\displaystyle \,_{2}F_{1}(a,b;1+a+b-c;1-z)}$

и

${\displaystyle (1-z)^{c-a-b}\;_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z)}$

Вокруг z  = ∞, если a  -  b не является целым числом, одно имеет два независимых решения

${\displaystyle z^{-a}\,_{2}F_{1}\left(a,1+a-c;1+a-b;z^{-1}\right)}$

и

${\displaystyle z^{-b}\,_{2}F_{1}\left(b,1+b-c;1+b-a;z^{-1}\right).}$

Опять же, когда не выполняются условия нецелостности, существуют другие более сложные решения.

Любые 3 из 6 вышеупомянутых решений удовлетворяют линейному соотношению, поскольку пространство решений двумерно, что дает (⁶
₃) = 20 линейных соотношений между ними, называемых формулами связи .

24 решения Куммера [ править ]

Фуксово уравнение второго порядка с n особыми точками имеет группу симметрий, действующих (проективно) на его решениях, изоморфную группе Кокстера D _n порядка n ! 2 ^{n −1} . Для гипергеометрического уравнения n = 3, поэтому группа имеет порядок 24 и изоморфна симметрической группе в 4 точках и была впервые описана Куммером . Изоморфизм с симметрической группой является случайным и не имеет аналога для более чем трех особых точек, и иногда лучше думать о группе как о расширении симметрической группы на трех точках (действующих как перестановки трех особых точек) посредством Клейн 4-группа ,(элементы которого меняют знаки разности показателей в четном числе особых точек). Группа Куммера из 24 преобразований порождается тремя преобразованиями, переводящими решение F ( a , b ; c ; z ) в одно из

${\displaystyle (1-z)^{-a}F\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

${\displaystyle F(a,b;1+a+b-c;1-z)}$

${\displaystyle (1-z)^{-b}F\left(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

которые соответствуют транспозициям (12), (23) и (34) при изоморфизме с симметрической группой в 4 точках 1, 2, 3, 4. (Первая и третья из них фактически равны F ( a , b ; c ; z ), тогда как второе является независимым решением дифференциального уравнения.)

Применение преобразований Куммера 24 = 6 × 4 к гипергеометрической функции дает приведенные выше решения 6 = 2 × 3, соответствующие каждому из 2 возможных показателей в каждой из 3 особых точек, каждая из которых появляется 4 раза из-за тождеств

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z)\ \ \ {\text{Euler transformation}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}\,{}_{2}F_{1}(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}})\ \ \ {\text{Pfaff transformation}}}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}\,{}_{2}F_{1}(c-a,b;c;{\tfrac {z}{z-1}})\ \ \ {\text{Pfaff transformation}}}$

Q-форма [ править ]

Гипергеометрическое дифференциальное уравнение можно привести к Q-форме

${\displaystyle {\frac {d^{2}u}{dz^{2}}}+Q(z)u(z)=0}$

сделав замену w = uv и исключив член первой производной. Считается, что

${\displaystyle Q={\frac {z^{2}[1-(a-b)^{2}]+z[2c(a+b-1)-4ab]+c(2-c)}{4z^{2}(1-z)^{2}}}}$

а v дается решением

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}\log v(z)=-{\frac {c-z(a+b+1)}{2z(1-z)}}=-{\frac {c}{2z}}-{\frac {1+a+b-c}{2(z-1)}}}$

который

${\displaystyle v(z)=z^{-c/2}(1-z)^{(c-a-b-1)/2}.}$

Q-форма важна по отношению к производной Шварца ( Hille 1976 , стр. 307–401).

Карты треугольника Шварца [ править ]

Треугольник Шварца карты или Шварц сек -функции являются отношениями пар решений.

${\displaystyle s_{k}(z)={\frac {\phi _{k}^{(1)}(z)}{\phi _{k}^{(0)}(z)}}}$

где k - одна из точек 0, 1, ∞. Обозначение

${\displaystyle D_{k}(\lambda ,\mu ,\nu ;z)=s_{k}(z)}$

также иногда используется. Обратите внимание, что коэффициенты связности становятся преобразованиями Мёбиуса на треугольных отображениях.

Обратите внимание, что каждое отображение треугольника является правильным в точке z ∈ {0, 1, ∞} соответственно, причем

${\displaystyle s_{0}(z)=z^{\lambda }(1+{\mathcal {O}}(z))}$

${\displaystyle s_{1}(z)=(1-z)^{\mu }(1+{\mathcal {O}}(1-z))}$

и

${\displaystyle s_{\infty }(z)=z^{\nu }(1+{\mathcal {O}}({\tfrac {1}{z}})).}$

В частном случае А, р и v , с реальным, 0 ≤ X, р, ν <1 , то S-карты являются конформные отображения по верхней полуплоскости Н к треугольников на сфере Римана , ограниченных дугами окружностей. Это отображение является обобщением на отображение Шварца-Кристоффеля до треугольников с круглыми дугами. Особые точки 0,1 и ∞ отправлены в вершины треугольника. Углы треугольника равны πλ, πμ и πν соответственно.

Кроме того, в случае λ = 1 / p , μ = 1 / q и ν = 1 / r для целых чисел p , q , r треугольник разбивает сферу, комплексную плоскость или верхнюю полуплоскость в зависимости от того, λ + μ + ν - 1 положительно, равно нулю или отрицательно; а s-отображения являются функциями, обратными автоморфным функциям для группы треугольников〈p ,  q ,  r〉 = ∆ ( p ,  q ,  r ).

Группа монодромии [ править ]

Монодромия гипергеометрического уравнения описывает, как фундаментальные решения меняются при аналитическом продолжении по путям в плоскости z, которые возвращаются в ту же точку. То есть, когда путь огибает сингулярность ₂ F ₁ , значение решений в конечной точке будет отличаться от начальной точки.

Два фундаментальных решения гипергеометрического уравнения связаны друг с другом линейным преобразованием; таким образом, монодромия - это отображение (гомоморфизм групп):

${\displaystyle \pi _{1}(\mathbf {C} \setminus \{0,1\},z_{0})\to {\text{GL}}(2,\mathbf {C} )}$

где π ₁ - фундаментальная группа . Другими словами, монодромия - это двумерное линейное представление фундаментальной группы. Группа монодромии уравнения является образом этого отображения, т. Е. Группой, порожденной матрицами монодромии. Представление монодромии фундаментальной группы можно явно вычислить в терминах показателей в особых точках. ^[1] Если (α, α '), (β, β') и (γ, γ ') - показатели в точках 0, 1 и ∞, то, взяв z ₀ около 0, петли вокруг 0 ​​и 1 имеют монодромию матрицы

${\displaystyle g_{0}={\begin{pmatrix}e^{2\pi i\alpha }&0\\0&e^{2\pi i\alpha ^{\prime }}\end{pmatrix}}\,\,\,}$ и ${\displaystyle \,\,\,g_{1}={\begin{pmatrix}{\mu e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }} \over \mu -1}&{\mu (e^{2\pi i\beta }-e^{2\pi i\beta ^{\prime }}) \over (\mu -1)^{2}}\\e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta }&{\mu e^{2\pi i\beta ^{\prime }}-e^{2\pi i\beta } \over \mu -1}\end{pmatrix}},}$

куда

${\displaystyle \mu ={\sin \pi (\alpha +\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta +\gamma ^{\prime }) \over \sin \pi (\alpha ^{\prime }+\beta ^{\prime }+\gamma ^{\prime })\sin \pi (\alpha +\beta +\gamma ^{\prime })}.}$

Если 1- a , c - a - b , a - b нецелые рациональные числа со знаменателями k , l , m, то группа монодромии конечна тогда и только тогда , когда (см . Список Шварца или алгоритм Ковачича) .${\displaystyle 1/k+1/l+1/m>1}$

Интегральные формулы [ править ]

Тип Эйлера [ править ]

Если B - бета-функция, то

${\displaystyle \mathrm {B} (b,c-b)\,_{2}F_{1}(a,b;c;z)=\int _{0}^{1}x^{b-1}(1-x)^{c-b-1}(1-zx)^{-a}\,dx\qquad \Re (c)>\Re (b)>0,}$

при условии, что z не является действительным числом, таким, что оно больше или равно 1., и может быть доказано путем разложения (1 -  zx ) ^{- a} с использованием биномиальной теоремы и последующего интегрирования по члену для z с абсолютным значением меньше 1 , и аналитическим продолжением в другом месте. Когда z - действительное число, большее или равное 1, необходимо использовать аналитическое продолжение, потому что (1 -  zx ) равно нулю в некоторой точке опоры интеграла, поэтому значение интеграла может быть некорректно определенным. Это было дано Эйлером в 1748 году и подразумевает гипергеометрические преобразования Эйлера и Пфаффа.

Другие представления, соответствующие другим ветвям , даются путем взятия того же подынтегрального выражения, но путем интегрирования в виде замкнутого цикла Похгаммера, охватывающего особенности в различных порядках. Такие пути соответствуют действию монодромии .

Интеграл Барнса [ править ]

Барнс использовал теорию вычетов для вычисления интеграла Барнса

${\displaystyle {\frac {1}{2\pi i}}\int _{-i\infty }^{i\infty }{\frac {\Gamma (a+s)\Gamma (b+s)\Gamma (-s)}{\Gamma (c+s)}}(-z)^{s}\,ds}$

в качестве

${\displaystyle {\frac {\Gamma (a)\Gamma (b)}{\Gamma (c)}}\,_{2}F_{1}(a,b;c;z),}$

где проведен контур для отделения полюсов 0, 1, 2 ... от полюсов - a , - a  - 1, ..., - b , - b  - 1, .... Это справедливо до тех пор, пока z не является неотрицательным действительным числом.

Преобразование Джона [ править ]

Гипергеометрическую функцию Гаусса можно записать как преобразование Джона ( Гельфанд, Гиндикин и Граев, 2003 , 2.1.2).

Смежные отношения Гаусса [ править ]

Шесть функций

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a\pm 1,b;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b\pm 1;c;z),\quad {}_{2}F_{1}(a,b;c\pm 1;z)}$

называются смежными с ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) . Гаусс показал, что ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ) может быть записано как линейная комбинация любых двух его смежных функций с рациональными коэффициентами в терминах a , b , c и z . Это дает

${\displaystyle {\begin{pmatrix}6\\2\end{pmatrix}}=15}$

отношения, заданные путем определения любых двух строк в правой части

${\displaystyle {\begin{aligned}z{\frac {dF}{dz}}&=z{\frac {ab}{c}}F(a+,b+,c+)\\&=a(F(a+)-F)\\&=b(F(b+)-F)\\&=(c-1)(F(c-)-F)\\&={\frac {(c-a)F(a-)+(a-c+bz)F}{1-z}}\\&={\frac {(c-b)F(b-)+(b-c+az)F}{1-z}}\\&=z{\frac {(c-a)(c-b)F(c+)+c(a+b-c)F}{c(1-z)}}\end{aligned}}}$

где F = ₂ F ₁ ( a , b ; c ; z ), F ( a +) = ₂ F ₁ ( a + 1, b ; c ; z ) и т. д. Повторное применение этих соотношений дает линейную связь над C (z) между любыми тремя функциями вида

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a+m,b+n;c+l;z),}$

где m , n и l - целые числа.

Цепная дробь Гаусса [ править ]

Гаусс использовал отношения смежности, чтобы дать несколько способов записать частное двух гипергеометрических функций в виде непрерывной дроби, например:

${\displaystyle {\frac {{}_{2}F_{1}(a+1,b;c+1;z)}{{}_{2}F_{1}(a,b;c;z)}}={\cfrac {1}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c)b}{c(c+1)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-1)(a+1)}{(c+1)(c+2)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(a-c-1)(b+1)}{(c+2)(c+3)}}z}{1+{\cfrac {{\frac {(b-c-2)(a+2)}{(c+3)(c+4)}}z}{1+{}\ddots }}}}}}}}}}}$

Формулы преобразования [ править ]

Формулы преобразования связывают две гипергеометрические функции при разных значениях аргумента z .

Дробно-линейные преобразования [ править ]

Преобразование Эйлера есть

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;c;z).}$

Отсюда следует, комбинируя два преобразования Пфаффа

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-b}{}_{2}F_{1}\left(b,c-a;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;z)=(1-z)^{-a}{}_{2}F_{1}\left(a,c-b;c;{\tfrac {z}{z-1}}\right)}$

которые, в свою очередь, следуют из интегрального представления Эйлера. О расширении первого и второго преобразований Эйлера см. Rathie & Paris (2007) и Rakha & Rathie (2011) . Его также можно записать как линейную комбинацию

${\displaystyle {\begin{aligned}{}_{2}F_{1}(a,b;c,z)={}&{\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}}{}_{2}F_{1}(a,b;a+b+1-c;1-z)\\[6pt]&{}+{\frac {\Gamma (c)\Gamma (a+b-c)}{\Gamma (a)\Gamma (b)}}(1-z)^{c-a-b}{}_{2}F_{1}(c-a,c-b;1+c-a-b;1-z).\end{aligned}}}$

Квадратичные преобразования [ править ]

Если два из чисел 1 -  c , c  - 1, a  -  b , b  -  a , a  +  b  -  c , c  -  a  -  b равны или одно из них равно 1/2, то происходит квадратичное преобразование числа гипергеометрическая функция, связывающая ее с другим значением z, связанным квадратным уравнением. Первые примеры были даны Куммером (1836 г.) , а полный список - Гурса (1881 г.) . Типичный пример:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;2b;z)=(1-z)^{-{\frac {a}{2}}}{}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{2}}a,b-{\tfrac {1}{2}}a;b+{\tfrac {1}{2}};{\frac {z^{2}}{4z-4}}\right)}$

Преобразования высшего порядка [ править ]

Если 1− c , a - b , a + b - c различаются знаками или два из них равны 1/3 или −1/3, то существует кубическое преобразование гипергеометрической функции, связывающее ее с другим значением z, связанным кубическим уравнением. Первые примеры были приведены Гурса (1881 г.) . Типичный пример:

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {3}{2}}a,{\tfrac {1}{2}}(3a-1);a+{\tfrac {1}{2}};-{\tfrac {z^{2}}{3}}\right)=(1+z)^{1-3a}\,{}_{2}F_{1}\left(a-{\tfrac {1}{3}},a;2a;2z(3+z^{2})(1+z)^{-3}\right)}$

Есть также некоторые преобразования степени 4 и 6. Преобразования других степеней существуют только в том случае , если a , b и c - определенные рациональные числа ( Vidunas 2005 ). Например,

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{4}},{\tfrac {3}{8}};{\tfrac {7}{8}};z\right)(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{1/16}={}_{2}F_{1}\left({\tfrac {1}{48}},{\tfrac {17}{48}};{\tfrac {7}{8}};{\tfrac {-432z(z-1)^{2}(z+1)^{8}}{(z^{4}-60z^{3}+134z^{2}-60z+1)^{3}}}\right).}$

Значения в особых точках z [ править ]

См. Slater (1966 , приложение III), где приведен список формул суммирования в особых точках, большинство из которых также встречается у Bailey (1935) . Гессель и Стэнтон (1982) дают дальнейшие оценки по большему количеству пунктов. Koepf (1995) показывает, как большинство этих идентичностей можно проверить с помощью компьютерных алгоритмов.

Специальные значения при z  = 1 [ править ]

Теорема суммирования Гаусса, названная в честь Карла Фридриха Гаусса , является тождеством

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;c;1)={\frac {\Gamma (c)\Gamma (c-a-b)}{\Gamma (c-a)\Gamma (c-b)}},\qquad \Re (c)>\Re (a+b)}$

которое следует из интегральной формулы Эйлера, полагая z  = 1. Оно включает тождество Вандермонда как частный случай.

В частном случае , когда , ${\displaystyle a=-m}$

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(-m,b;c;1)={\frac {(c-b)_{m}}{(c)_{m}}}}$

Формула Дугалла обобщает это на двусторонний гипергеометрический ряд при z  = 1.

Теорема Куммера ( z  = −1) [ править ]

Есть много случаев, когда гипергеометрические функции можно вычислить при z  = −1, используя квадратичное преобразование для изменения z  = −1 на z  = 1, а затем используя теорему Гаусса для оценки результата. Типичный пример - теорема Куммера, названная в честь Эрнста Куммера :

${\displaystyle {}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;-1)={\frac {\Gamma (1+a-b)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a)}{\Gamma (1+a)\Gamma (1+{\tfrac {1}{2}}a-b)}}}$

которое следует из квадратичных преобразований Куммера

${\displaystyle {\begin{aligned}_{2}F_{1}(a,b;1+a-b;z)&=(1-z)^{-a}\;_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {1+a}{2}}-b;1+a-b;-{\frac {4z}{(1-z)^{2}}}\right)\\&=(1+z)^{-a}\,_{2}F_{1}\left({\frac {a}{2}},{\frac {a+1}{2}};1+a-b;{\frac {4z}{(1+z)^{2}}}\right)\end{aligned}}}$

и теорему Гаусса, положив  в первом тождестве z = −1. Для обобщения суммирования Куммера см. Lavoie, Grondin & Rathie (1996) .

Значения при z  = 1/2 [ править ]

Вторая теорема Гаусса о суммировании:

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,b;{\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right);{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}})\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a+b\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+a)\right)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+b\right))}}.}$

Теорема Бейли

${\displaystyle _{2}F_{1}\left(a,1-a;c;{\tfrac {1}{2}}\right)={\frac {\Gamma ({\tfrac {1}{2}}c)\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c\right))}{\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(c+a\right))\Gamma ({\tfrac {1}{2}}\left(1+c-a\right))}}.}$

Об обобщениях второй теоремы суммирования Гаусса и теоремы суммирования Бейли см. Lavoie, Grondin & Rathie (1996) .

Другие моменты [ править ]

Есть много других формул, дающих гипергеометрическую функцию как алгебраическое число при специальных рациональных значениях параметров, некоторые из которых перечислены в Gessel & Stanton (1982) и Koepf (1995) . Некоторые типичные примеры приведены

${\displaystyle {}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {x^{2}}{4(x-1)}}\right)={\frac {(1-x)^{a}+(1-x)^{-a}}{2}},}$

который можно переформулировать как

${\displaystyle T_{a}(\cos x)={}_{2}F_{1}\left(a,-a;{\tfrac {1}{2}};{\tfrac {1}{2}}(1-\cos x)\right)=\cos(ax)}$

всякий раз, когда −π < x <π и T - (обобщенный) многочлен Чебышева .

См. Также [ править ]

• Ряд Аппеля , 2-переменное обобщение гипергеометрических рядов
• Базовый гипергеометрический ряд, отношение членов которого является периодической функцией индекса
• Двусторонний гипергеометрический ряд _p H _p подобен обобщенному гипергеометрическому ряду, но суммируется по всем целым числам.
• Биномиальный ряд ₁ F ₀
• Конфлюэнтный гипергеометрический ряд ₁ F ₁ ( a ; c ; z )
• Эллиптический гипергеометрический ряд, где отношение членов является эллиптической функцией индекса
• Гипергеометрический интеграл Эйлера , интегральное представление ₂ F ₁
• H-функция Фокса , расширение G-функции Мейера
• Функция Фокса – Райта , обобщение обобщенной гипергеометрической функции.
• Решение Фробениуса гипергеометрического уравнения
• Общая гипергеометрическая функция, введенная И. М. Гельфандом .
• Обобщенный гипергеометрический ряд _p F _q, где отношение членов является рациональной функцией индекса
• Геометрический ряд , где соотношение членов является константой
• Функция Гойна , решения ОДУ второго порядка с четырьмя регулярными особыми точками
• Функция Хорна , 34 различных сходящихся гипергеометрических ряда от двух переменных
• Ряд Гумберта 7 гипергеометрических функций двух переменных
• Гипергеометрическое распределение , дискретное распределение вероятностей
• Гипергеометрическая функция матричного аргумента , многомерное обобщение гипергеометрического ряда
• Функция Кампе де Ферие , гипергеометрические ряды двух переменных
• Гипергеометрический ряд Лауричеллы , гипергеометрический ряд трех переменных
• E-функция МакРоберта , расширение обобщенного гипергеометрического ряда _p F _q на случай p > q +1.
• G-функция Мейера , расширение обобщенного гипергеометрического ряда _p F _q на случай p > q +1.
• Модульный гипергеометрический ряд , завершающая форма эллиптического гипергеометрического ряда
• Тета-гипергеометрические ряды , особый вид эллиптических гипергеометрических рядов.
• Конформные блоки Вирасоро , специальные функции в двумерной конформной теории поля, которые в некоторых случаях сводятся к гипергеометрическим функциям.

Ссылки [ править ]

• Эндрюс, Джордж Э .; Аски, Ричард и Рой, Ранджан (1999). Специальные функции . Энциклопедия математики и ее приложений. 71 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-62321-6. Руководство по ремонту  1688958 .
• Бейли, WN (1935). Обобщенные гипергеометрические ряды (PDF) . Издательство Кембриджского университета. Архивировано из оригинального (PDF) на 24.06.2017 . Проверено 23 июля 2016 .
• Beukers, Frits (2002), гипергеометрическая функция Гаусса . (конспекты лекций с обзором основ, а также карты треугольников и монодромия)
• Olde Daalhuis, Адри Б. (2010), «Гипергеометрическая функция» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Эрдейи, Артур ; Магнус, Вильгельм ; Оберхеттингер, Фриц и Трикоми, Франческо Г. (1953). Высшие трансцендентные функции (PDF) . Vol. I. Нью-Йорк - Торонто - Лондон: ISBN McGraw – Hill Book Company, Inc. 978-0-89874-206-0. Руководство по ремонту  0058756 .
• Гаспер, Джордж и Рахман, Мизан (2004). Базовая гипергеометрическая серия, 2-е издание, Энциклопедия математики и ее приложений, 96, Cambridge University Press, Кембридж. ISBN 0-521-83357-4 . 
• Гаусс, Карл Фридрих (1813). "Общие исследования серии бесконечных   " 1 + α β 1 ⋅ γ   x + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 )   x   x + etc. {\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}~x~x+{\mbox{etc.}}} . Commentationes societatis regiae scientificarum Gottingensis Recentiores (на латыни). Гёттинген. 2 .
• Гельфанд И.М.; Гиндикин, С.Г., Граев, М.И. (2003) [2000]. Избранные темы интегральной геометрии . Переводы математических монографий. 220 . Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 978-0-8218-2932-5. MR  2000133 .
• Гессель, Ира и Стэнтон, Деннис (1982). «Странные оценки гипергеометрических рядов». Журнал СИАМ по математическому анализу . 13 (2): 295–308. DOI : 10.1137 / 0513021 . ISSN  0036-1410 . Руководство по ремонту  0647127 .
• Гурса, Эдуар (1881). "Sur l'équation différentielle linéaire, qui admet pour intégrale la série hypergéométrique" . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure (на французском языке). 10 : 3–142 . Проверено 16 октября 2008 .
• Хекман, Геррит и Шлихткрулл, Хенрик (1994). Гармонический анализ и специальные функции на симметричных пространствах . Сан-Диего: Academic Press. ISBN 0-12-336170-2. (часть 1 посвящена гипергеометрическим функциям на группах Ли)
• Хилле, Эйнар (1976). Обыкновенные дифференциальные уравнения в комплексной области . Дувр. ISBN 0-486-69620-0.
• Инс, Э.Л. (1944). Обыкновенные дифференциальные уравнения . Dover Publications.
• Кляйн, Феликс (1981). Vorlesungen über die hypergeometrische Funktion . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). 39 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-10455-1. Руководство по ремонту  0668700 .
• Кёпф, Вольфрам (1995). «Алгоритмы m-кратного гипергеометрического суммирования». Журнал символических вычислений . 20 (4): 399–417. DOI : 10.1006 / jsco.1995.1056 . ISSN  0747-7171 . Руководство по ремонту  1384455 .
• Куммер, Эрнст Эдуард (1836). "Uber die hypergeometrische Reihe  " 1 + α ⋅ β 1 ⋅ γ   x + α ( α + 1 ) β ( β + 1 ) 1 ⋅ 2 ⋅ γ ( γ + 1 ) x 2 + α ( α + 1 ) ( α + 2 ) β ( β + 1 ) ( β + 2 ) 1 ⋅ 2 ⋅ 3 ⋅ γ ( γ + 1 ) ( γ + 2 ) x 3 + etc. {\displaystyle 1+{\tfrac {\alpha \cdot \beta }{1\cdot \gamma }}~x+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)\beta (\beta +1)}{1\cdot 2\cdot \gamma (\gamma +1)}}x^{2}+{\tfrac {\alpha (\alpha +1)(\alpha +2)\beta (\beta +1)(\beta +2)}{1\cdot 2\cdot 3\cdot \gamma (\gamma +1)(\gamma +2)}}x^{3}+{\mbox{etc.}}} . Journal für die reine und angewandte Mathematik (на немецком языке). 15 : 39–83, 127–172. ISSN  0075-4102 .
• Lavoie, JL; Grondin, F .; Рати, АК (1996). «Обобщения теоремы Уиппла о сумме ₃ F ₂ ». J. Comput. Прил. Математика . 72 : 293–300.
• Нажмите, WH; Теукольский, С.А. Веттерлинг, В. Т. и Фланнери, ВР (2007). «Раздел 6.13. Гипергеометрические функции» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
• Ракха, Массачусетс; Рати, Арджун К. (2011). «Расширения преобразования Эйлера типа II и теоремы Заальшуца». Бык. Корейская математика. Soc . 48 (1): 151–156.
• Рати, Арджун К .; Париж, РБ (2007). «Расширение преобразования типа Эйлера для ряда 3F2». Дальний Восток J. Math. Sci . 27 (1): 43–48.
• Риман, Бернхард (1857). "Beiträge zur Theorie der durch die Gauss'sche Reihe F (α, β, γ, x) darstellbaren Functionen" . Abhandlungen der Mathematischen Classe der Königlichen Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (на немецком языке). Геттинген: Verlag der Dieterichschen Buchhandlung. 7 : 3–22.(Отпечаток этой статьи можно найти в «Все публикации Римана» (PDF) . )
• Слейтер, Люси Джоан (1960). Конфлюэнтные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. Руководство по ремонту  0107026 .
• Слейтер, Люси Джоан (1966). Обобщенные гипергеометрические функции . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-06483-X. Руководство по ремонту  0201688 .(есть мягкая обложка 2008 года с ISBN 978-0-521-09061-2 ) 
• Видунас, Раймундас (2005). «Преобразования некоторых гипергеометрических функций Гаусса». Журнал символических вычислений . 178 : 473–487. arXiv : математика / 0310436 . DOI : 10.1016 / j.cam.2004.09.053 .
• Уолл, HS (1948). Аналитическая теория непрерывных дробей . D. Van Nostrand Company, Inc.
• Уиттакер, ET и Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа . Кембридж, Великобритания: Издательство Кембриджского университета.
• Ёсида, Масааки (1997). Гипергеометрические функции, моя любовь: модульные интерпретации конфигурационных пространств . Брауншвейг - Висбаден: Фридр. Vieweg & Sohn. ISBN 3-528-06925-2. Руководство по ремонту  1453580 .

Внешние ссылки [ править ]

• "Гипергеометрическая функция" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]
• Джон Пирсон, Вычисление гипергеометрических функций ( Оксфордский университет , кандидатская диссертация)
• Марко Петковсек, Герберт Уилф и Дорон Цайльбергер, Книга "A = B" (свободно загружаемая)
• Вайсштейн, Эрик В. «Гипергеометрическая функция» . MathWorld .