Ортогональные многочлены

В математике , ортогональный многочлен последовательность представляет собой семейство многочленов таких , что любые две различных многочленов последовательности являются ортогональными друг к другу под некоторым внутренним продуктом .

Наиболее широко используются ортогональные полиномы являются классическими ортогональными полиномами , состоящими из полиномов Эрмита , в Лагерру и полиномов Якобите вместе с их особыми случаями многочленов Гегенбауэра , что полиномы Чебышева , и многочлены Лежандра .

Поле ортогональных многочленов , разработанные в конце 19 - го века при изучении дробей по П. Л. Чебышева и преследовало А. Маркова и TJ Стилтьеса . Некоторые из математиков, которые работали с ортогональными многочленами, включают Габора Сегу , Сергея Бернштейна , Наума Ахиезера , Артура Эрдейи , Якова Геронимуса , Вольфганга Хана , Теодора Сейо Чихара , Мурада Исмаила , Валида Аль-Салама и Ричарда Эски .

Определение случая с одной переменной для реальной меры [ править ]

Для любой неубывающей функции α на действительных числах можно определить интеграл Лебега – Стилтьеса

${\ Displaystyle \ int е (х) \; d \ альфа (х)}$

функции f . Если этот интеграл конечен для всех многочленов f , мы можем определить скалярное произведение на парах многочленов f и g следующим образом:

${\ Displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int f (x) g (x) \; d \ alpha (x).}$

Эта операция является положительным полуопределенным скалярным произведением на векторном пространстве всех многочленов и положительно определена, если функция α имеет бесконечное число точек роста. Это вызывает понятие ортогональности обычным способом, а именно, что два многочлена ортогональны, если их внутреннее произведение равно нулю.

Тогда последовательность ( P _n ) _{n = 0} ^∞ ортогональных многочленов определяется соотношениями

${\ displaystyle \ deg P_ {n} = n ~, \ quad \ langle P_ {m}, \, P_ {n} \ rangle = 0 \ quad {\ text {for}} \ quad m \ neq n ~.}$

Другими словами, последовательность получается из последовательности одночленов 1, x , x ² , ... процессом Грама – Шмидта относительно этого внутреннего произведения.

Обычно требуется, чтобы последовательность была ортонормированной , а именно:

${\displaystyle \langle P_{n},P_{n}\rangle =1~,}$

однако иногда используются другие нормализации.

Абсолютно непрерывный случай [ править ]

Иногда у нас есть

${\displaystyle d\alpha (x)=W(x)\,dx}$

куда

${\displaystyle W:[x_{1},x_{2}]\to \mathbb {R} }$

неотрицательная функция с опорой на некотором интервале [ x ₁ , x ₂ ] в вещественной прямой (где допустимы x ₁ = −∞ и x ₂ = ∞). Такая W называется весовой функцией . Тогда внутренний продукт дается

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\int _{x_{1}}^{x_{2}}f(x)g(x)W(x)\;dx.}$

Однако существует множество примеров ортогональных многочленов, в которых мера dα ( x ) имеет точки с ненулевой мерой, где функция α является разрывной, поэтому не может быть задана весовой функцией W, как указано выше.

Примеры ортогональных многочленов [ править ]

Наиболее часто используемые ортогональные полиномы ортогональны для меры с опорой в реальном интервале. Это включает в себя:

• Классические ортогональные полиномы ( полиномы Якоби , Лагерра , полиномы Эрмита , и их частные случаи Гегенбауэр многочлены , многочлены Чебышева и полиномы Лежандра ).
• Эти полиномы Вильсона , обобщающие полиномы Якоби. Они включают множество ортогональных многочленов в качестве частных случаев, таких как многочлены Мейкснера – Поллачека , непрерывные многочлены Хана , непрерывные двойственные многочлены Хана и классические многочлены, описываемые схемой Аски.
• В полиномы Аски-Вильсона ввести дополнительный параметр д в многочленов Вильсона.

Дискретные ортогональные многочлены ортогональны относительно некоторой дискретной меры. Иногда мера имеет конечный носитель, и в этом случае семейство ортогональных многочленов является конечным, а не бесконечной последовательностью. Эти многочлены Рака являются примерами дискретных ортогональных многочленов, и включают в себя как частные случаи многочленов Хана и сдвоенные многочленов Хана , которые в свою очередь , включают в себя как частные случаи многочленов Мейкснера , полиномы Кравчука и полиномы Шарлье .

Просеянные ортогональные полиномы , такие как просеянные ультрасферические полиномы , просеянные полиномы Якоби и просеянные полиномы Поллачека , модифицировали рекуррентные соотношения.

Можно также рассматривать ортогональные многочлены для некоторой кривой на комплексной плоскости. Наиболее важный случай (кроме вещественных интервалов) - это когда кривая представляет собой единичную окружность, дающую ортогональные полиномы на единичной окружности , такие как полиномы Роджерса – Сеге .

Есть несколько семейств ортогональных многочленов, которые ортогональны на плоских участках, таких как треугольники или диски. Иногда их можно записать в терминах полиномов Якоби. Например, полиномы Цернике ортогональны на единичном круге.

Преимущество ортогональности между различными порядками полиномов Эрмита применяется к структуре обобщенного мультиплексирования с частотным разделением (GFDM). В каждой сетке частотно-временной решетки можно переносить более одного символа. ^[1]

Свойства [ править ]

Ортогональные многочлены одной переменной, определяемые неотрицательной мерой на действительной прямой, обладают следующими свойствами.

Отношение к моментам [ править ]

Ортогональные многочлены P _n можно выразить через моменты

${\displaystyle m_{n}=\int x^{n}\,d\alpha (x)}$

следующее:

${\displaystyle P_{n}(x)=c_{n}\,\det {\begin{bmatrix}m_{0}&m_{1}&m_{2}&\cdots &m_{n}\\m_{1}&m_{2}&m_{3}&\cdots &m_{n+1}\\&&\vdots &&\vdots \\m_{n-1}&m_{n}&m_{n+1}&\cdots &m_{2n-1}\\1&x&x^{2}&\cdots &x^{n}\end{bmatrix}}~,}$

где постоянные c _n произвольны (зависят от нормировки P _n ).

Отношение повторения [ править ]

Многочлены P _n удовлетворяют рекуррентному соотношению вида

${\displaystyle P_{n}(x)=(A_{n}x+B_{n})P_{n-1}(x)+C_{n}P_{n-2}(x)~.}$

Обратный результат см. В теореме Фавара .

Формула Кристоффеля – Дарбу [ править ]

Нули [ править ]

Если мера d α поддерживается на отрезке [ a ,  b ], все нули P _n лежат в [ a ,  b ]. Более того, нули обладают следующим свойством чередования: если m  <  n , существует нуль P _n между любыми двумя нулями  P _m .

Многомерные ортогональные многочлены [ править ]

Эти многочлены Макдональда ортогональные многочлены от нескольких переменных, в зависимости от выбора аффинной корневой системы. Они включают в себя множество других семейств многомерных ортогональных многочленов в качестве частных случаев, в том числе полиномов Джека , по полиномам Холла-Литтлвуд , по полиномам Heckman-Опдам , и полиномов Koornwinder . Эти полиномы Асков-Вильсон являются частным случаем многочленов Макдональда для некоторой нередуцированной корневой системы 1 -го ранга.

См. Также [ править ]

• Последовательность апелляций
• Схема Аски гипергеометрических ортогональных многочленов
• Теорема Фавара
• Полиномиальные последовательности биномиального типа
• Биортогональные полиномы
• Обобщенный ряд Фурье
• Вторичная мера
• Последовательность Шеффера
• Теория Штурма-Лиувилля
• Темное исчисление

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Чихара, Теодор Сейо (1978). Введение в ортогональные многочлены . Гордон и Брич, Нью-Йорк. ISBN 0-677-04150-0.
• Чихара, Теодор Сейо (2001). «45 лет ортогональных многочленов: взгляд с крыльев» . Труды Пятого Международного симпозиума по ортогональным многочленам, специальным функциям и их приложениям (Patras, 1999). Журнал вычислительной и прикладной математики . 133 (1): 13–21. Bibcode : 2001JCoAM.133 ... 13С . DOI : 10.1016 / S0377-0427 (00) 00632-4 . ISSN  0377-0427 . Руководство по ремонту  1858267 .
• Фонканнон, JJ; Фонканнон, JJ; Пеконен, Осмо (2008). "Обзор классических и квантовых ортогональных многочленов от одной переменной Мурада Исмаила". Математический интеллигент . Springer Нью-Йорк. 30 : 54–60. DOI : 10.1007 / BF02985757 . ISSN  0343-6993 . S2CID  118133026 .
• Исмаил, Мурад Э.Х. (2005). Классические и квантовые ортогональные многочлены от одной переменной . Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 0-521-78201-5.
• Джексон, Данэм (2004) [1941]. Ряды Фурье и ортогональные многочлены . Нью-Йорк: Дувр. ISBN 0-486-43808-2.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• "Ортогональные многочлены" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Сегё, Габор (1939). Ортогональные многочлены . Публикации коллоквиума. XXIII . Американское математическое общество. ISBN 978-0-8218-1023-1. Руководство по ремонту  0372517 .
• П. Сиркар, Р. Б. Пачори и Р. Кумар, Анализ ритмов сигналов ЭЭГ с использованием ортогональной полиномиальной аппроксимации, Международная конференция ACM по конвергенции и гибридным информационным технологиям, стр. 176–180, 27–29 августа 2009 г., Тэджон, Южная Корея.
• Тотик, Вилмос (2005). «Ортогональные многочлены». Обзоры по теории приближений . 1 : 70–125. arXiv : math.CA/0512424 .
• Ч. Чан, А. Миронов, А. Морозов, А. Слепцов, arXiv : 1712.03155 .