Классические ортогональные многочлены

В математике классические ортогональные полиномы являются наиболее широко используемыми ортогональные многочлены : при полиномы Эрмита , Лагерра многочлены , многочлены Якоби ( в том числе , как частный случай , что полиномы Гегенбауэра , многочлены Чебышева и полиномы Лежандра ^[1] ).

У них много важных приложений в таких областях, как математическая физика (в частности, теория случайных матриц ), теория приближений , численный анализ и многие другие.

Классические ортогональные полиномы появились в начале 19 века в работах Адриана-Мари Лежандра , который ввел полиномы Лежандра. В конце 19 - го века, изучение дробей для решения проблемы моментов по П. Л. Чебышева , а затем А. А. Марков и TJ Стилтьеса привели к общему понятию ортогональных многочленов.

Для заданных многочленов и классических ортогональных многочленов характерно то, что они являются решениями дифференциального уравнения ${\ Displaystyle Q, L: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ forall \, п \ in \ mathbb {N} _ {0}}$${\ displaystyle f_ {n}: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$

${\displaystyle Q(x)\,f_{n}^{\prime \prime }+L(x)\,f_{n}^{\prime }+\lambda _{n}f_{n}=0}$

с постоянными, которые предстоит определить .${\displaystyle \lambda _{n}\in \mathbb {R} }$

Есть несколько более общих определений ортогональных классических многочленов; например, Andrews & Askey (1985) используют этот термин для всех многочленов в схеме Аски .

Определение [ править ]

В общем случае ортогональные многочлены относительно веса${\displaystyle P_{n}}$${\displaystyle W:\mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} ^{+}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\deg P_{n}=n~,\quad n=0,1,2,\ldots \\&\int P_{m}(x)\,P_{n}(x)\,W(x)\,dx=0~,\quad m\neq n~.\end{aligned}}}$

Приведенные выше отношения определяют с точностью до умножения на число. Для исправления константы используются различные нормализации, например${\displaystyle P_{n}}$

${\displaystyle \int P_{n}(x)^{2}W(x)\,dx=1~.}$

Классические ортогональные многочлены соответствуют трем семействам весов:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\text{(Jacobi)}}\quad &W(x)={\begin{cases}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }~,&-1\leq x\leq 1\\0~,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\\{\text{(Hermite)}}\quad &W(x)=\exp(-x^{2})\\{\text{(Laguerre)}}\quad &W(x)={\begin{cases}x^{\alpha }\exp(-x)~,&x\geq 0\\0~,&{\text{otherwise}}\end{cases}}\end{aligned}}}$

Стандартная нормализация (также называемая стандартизацией ) подробно описана ниже.

Многочлены Якоби [ править ]

Ведь полиномы Якоби задаются формулой${\displaystyle \alpha ,\,\beta >-1}$

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(z)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}(1-z)^{-\alpha }(1+z)^{-\beta }{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left\{(1-z)^{\alpha }(1+z)^{\beta }(1-z^{2})^{n}\right\}~.}$

Они нормализованы (стандартизированы)

${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(1)={n+\alpha \choose n},}$

и удовлетворяют условию ортогональности

${\displaystyle {\begin{aligned}&\int _{-1}^{1}(1-x)^{\alpha }(1+x)^{\beta }P_{m}^{(\alpha ,\beta )}(x)P_{n}^{(\alpha ,\beta )}(x)\;dx\\={}&{\frac {2^{\alpha +\beta +1}}{2n+\alpha +\beta +1}}{\frac {\Gamma (n+\alpha +1)\Gamma (n+\beta +1)}{\Gamma (n+\alpha +\beta +1)n!}}\delta _{nm}.\end{aligned}}}$

Многочлены Якоби являются решениями дифференциального уравнения

${\displaystyle (1-x^{2})y''+(\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)x)y'+n(n+\alpha +\beta +1)y=0~.}$

Важные особые случаи [ править ]

Многочлены Якоби с называются многочленами Гегенбауэра (с параметром )${\displaystyle \alpha =\beta }$${\displaystyle \gamma =\alpha +1/2}$

В самом деле, они называются полиномами Лежандра (для которых интервал ортогональности равен [−1, 1], а весовая функция равна просто 1):${\displaystyle \alpha =\beta =0}$

${\displaystyle P_{0}(x)=1,\,P_{1}(x)=x,\,P_{2}(x)={\frac {3x^{2}-1}{2}},\,P_{3}(x)={\frac {5x^{3}-3x}{2}},\ldots }$

При получаются полиномы Чебышева (второго и первого рода соответственно).${\displaystyle \alpha =\beta =\pm 1/2}$

Многочлены Эрмита [ править ]

Многочлены Эрмита определены формулой ^[2]

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}e^{x^{2}}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}e^{-x^{2}}=e^{x^{2}/2}{\bigg (}x-{\frac {d}{dx}}{\bigg )}^{n}e^{-x^{2}/2}}$

Они удовлетворяют условию ортогональности

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }H_{n}(x)H_{m}(x)e^{-x^{2}}\,dx={\sqrt {\pi }}2^{n}n!\delta _{mn}~,}$

и дифференциальное уравнение

${\displaystyle y''-2xy'+2n\,y=0~.}$

Многочлены Лагерра [ править ]

Обобщенные полиномы Лагерра определяются формулами

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)}$

(классические полиномы Лагерра соответствуют .)${\displaystyle \alpha =0}$

Они удовлетворяют соотношению ортогональности

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\,dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m}~,}$

и дифференциальное уравнение

${\displaystyle x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0~.}$

Дифференциальное уравнение [ править ]

Классические ортогональные многочлены возникают из дифференциального уравнения вида

${\displaystyle Q(x)\,f''+L(x)\,f'+\lambda f=0}$

где Q - заданный квадратичный (не более) полином, а L - заданный линейный полином. Необходимо найти функцию f и постоянную λ .

(Обратите внимание, что такое уравнение имеет смысл иметь полиномиальное решение.

Каждый член в уравнении является многочленом, а степени согласованы.)

Это уравнение типа Штурма – Лиувилля . Такие уравнения обычно имеют особенности в функциях решения f, за исключением частных значений λ . Их можно рассматривать как задачи на собственный вектор / собственное значение : если D - дифференциальный оператор , и изменить знак λ , задача состоит в том, чтобы найти собственные векторы (собственные функции) f и соответствующие собственные значения λ , такие, что f не имеет особенностей и D ( f ) = λf .${\displaystyle D(f)=Qf''+Lf'}$

Решения этого дифференциального уравнения имеют особенности, если λ не принимает определенных значений. Существует серия чисел λ ₀ , λ ₁ , λ ₂ , ..., которая привела к серии полиномиальных решений P ₀ , P ₁ , P ₂ , ... при выполнении одного из следующих наборов условий:

1. Q на самом деле квадратично, L линейно, Q имеет два различных действительных корня, корень L лежит строго между корнями Q , а главные члены Q и L имеют один и тот же знак.
2. Q на самом деле не квадратично, но линейно, L линейно, корни Q и L различны, а главные члены Q и L имеют один и тот же знак, если корень L меньше, чем корень Q , или наоборот. наоборот.
3. Q просто постоянная отлична от нуля, L является линейным, а главный член L имеет противоположный знак Q .

Эти три случая приводит к Jacobi-как , Лагерра, как и Эрмита- как многочлены, соответственно.

В каждом из этих трех случаев мы имеем следующее:

• Решения представляют собой серию многочленов P ₀ , P ₁ , P ₂ , ..., каждый из которых P _n имеет степень n и соответствует числу λ _n .
• Интервал ортогональности ограничен любыми корнями Q имеет.
• Корень L находится внутри интервала ортогональности.
• Пусть полиномы ортогональны относительно весовой функции${\displaystyle R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}}$${\displaystyle W(x)={\frac {R(x)}{Q(x)}}}$
• W ( x ) не имеет нулей или бесконечностей внутри интервала, хотя может иметь нули или бесконечности в конечных точках.
• W ( x ) дает конечный скалярный продукт для любых многочленов.
• W ( x ) можно сделать больше 0 в интервале. (При необходимости отбросьте все дифференциальное уравнение, чтобы Q ( x )> 0 внутри интервала.)

Из-за постоянной интегрирования величина R ( x ) определяется только с точностью до произвольной положительной мультипликативной постоянной. Он будет использоваться только в однородных дифференциальных уравнениях (где это не имеет значения) и в определении весовой функции (которая также может быть неопределенной). В таблицах ниже приведены «официальные» значения R ( x ) и W. ( х ).

Формула Родригеса [ править ]

В предположениях предыдущего раздела P _n ( x ) пропорционально${\displaystyle {\frac {1}{W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right).}$

Это известно как формула Родригеса в честь Олинды Родригес . Часто пишут

${\displaystyle P_{n}(x)={\frac {1}{{e_{n}}W(x)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right)}$

где числа e _n зависят от стандартизации. Стандартные значения e _n будут приведены в таблицах ниже.

Числа λ _n [ править ]

В предположениях предыдущего раздела имеем

${\displaystyle \lambda _{n}=-n\left({\frac {n-1}{2}}Q''+L'\right).}$

(Поскольку Q квадратично, а L линейно и являются константами, это просто числа.)${\displaystyle Q''}$${\displaystyle L'}$

Вторая форма дифференциального уравнения [ править ]

Позволять

${\displaystyle R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}.}$

потом

${\displaystyle (Ry')'=R\,y''+R'\,y'=R\,y''+{\frac {R\,L}{Q}}\,y'.}$

Теперь умножим дифференциальное уравнение

${\displaystyle Q\,y''+L\,y'+\lambda y=0}$

по R / Q , получая

${\displaystyle R\,y''+{\frac {R\,L}{Q}}\,y'+{\frac {R\,\lambda }{Q}}\,y=0}$

или же

${\displaystyle (Ry')'+{\frac {R\,\lambda }{Q}}\,y=0.}$

Это стандартная форма Штурма – Лиувилля для уравнения.

Третья форма для дифференциального уравнения [ править ]

Позволять ${\displaystyle S(x)={\sqrt {R(x)}}=e^{\int {\frac {L(x)}{2\,Q(x)}}\,dx}.}$

потом

${\displaystyle S'={\frac {S\,L}{2\,Q}}.}$

Теперь умножим дифференциальное уравнение

${\displaystyle Q\,y''+L\,y'+\lambda y=0}$

по S / Q , получая

${\displaystyle S\,y''+{\frac {S\,L}{Q}}\,y'+{\frac {S\,\lambda }{Q}}\,y=0}$

или же

${\displaystyle S\,y''+2\,S'\,y'+{\frac {S\,\lambda }{Q}}\,y=0}$

Но так${\displaystyle (S\,y)''=S\,y''+2\,S'\,y'+S''\,y}$

${\displaystyle (S\,y)''+\left({\frac {S\,\lambda }{Q}}-S''\right)\,y=0,}$

или, положив u = Sy ,

${\displaystyle u''+\left({\frac {\lambda }{Q}}-{\frac {S''}{S}}\right)\,u=0.}$

Формулы с производными [ править ]

В предположениях предыдущего раздела пусть P^{[ r ]}
_nобозначим r -ю производную P _n . (Мы заключили "r" в скобки, чтобы не путать с показателем.) P^{[ r ]}
_nявляется многочленом степени n  -  r . Тогда имеем следующее:

• (ортогональность) При фиксированном r полиномиальная последовательность P^{[ r ]}
  _r, P^{[ r ]}
  _{r + 1}, P^{[ r ]}
  _{r + 2}, ... ортогональны, взвешены по .${\displaystyle WQ^{r}}$
• (обобщенная формула Родригеса ) P^{[ r ]}
  _n пропорционально ${\displaystyle {\frac {1}{W(x)[Q(x)]^{r}}}\ {\frac {d^{n-r}}{dx^{n-r}}}\left(W(x)[Q(x)]^{n}\right).}$
• (дифференциальное уравнение) P^{[ r ]}
  _nявляется решением , где λ _r - та же функция, что и λ _n , то есть${\displaystyle {Q}\,y''+(rQ'+L)\,y'+[\lambda _{n}-\lambda _{r}]\,y=0}$${\displaystyle \lambda _{r}=-r\left({\frac {r-1}{2}}Q''+L'\right)}$
• (дифференциальное уравнение, вторая форма) P^{[ r ]}
  _n это решение ${\displaystyle (RQ^{r}y')'+[\lambda _{n}-\lambda _{r}]RQ^{r-1}\,y=0}$

Есть также несколько смешанных повторений. В каждом из них числа a , b и c зависят от n и r и не связаны между собой в различных формулах.

• ${\displaystyle P_{n}^{[r]}=aP_{n+1}^{[r+1]}+bP_{n}^{[r+1]}+cP_{n-1}^{[r+1]}}$
• ${\displaystyle P_{n}^{[r]}=(ax+b)P_{n}^{[r+1]}+cP_{n-1}^{[r+1]}}$
• ${\displaystyle QP_{n}^{[r+1]}=(ax+b)P_{n}^{[r]}+cP_{n-1}^{[r]}}$

Существует огромное количество других формул, использующих ортогональные многочлены различными способами. Вот их крошечный образец, относящийся к полиномам Чебышева, ассоциированным полиномам Лагерра и Эрмита:

• ${\displaystyle 2\,T_{m}(x)\,T_{n}(x)=T_{m+n}(x)+T_{m-n}(x)}$
• ${\displaystyle H_{2n}(x)=(-4)^{n}\,n!\,L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})}$
• ${\displaystyle H_{2n+1}(x)=2(-4)^{n}\,n!\,x\,L_{n}^{(1/2)}(x^{2})}$

Ортогональность [ править ]

Дифференциальное уравнение для конкретного λ может быть записано (без явной зависимости от x)

${\displaystyle Q{\ddot {f}}_{n}+L{\dot {f}}_{n}+\lambda _{n}f_{n}=0}$

умножение на урожайность${\displaystyle (R/Q)f_{m}}$

${\displaystyle Rf_{m}{\ddot {f}}_{n}+{\frac {R}{Q}}Lf_{m}{\dot {f}}_{n}+{\frac {R}{Q}}\lambda _{n}f_{m}f_{n}=0}$

и перестановка индексов дает

${\displaystyle Rf_{n}{\ddot {f}}_{m}+{\frac {R}{Q}}Lf_{n}{\dot {f}}_{m}+{\frac {R}{Q}}\lambda _{m}f_{n}f_{m}=0}$

вычитание и интегрирование:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\left[R(f_{m}{\ddot {f}}_{n}-f_{n}{\ddot {f}}_{m})+{\frac {R}{Q}}L(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]\,dx+(\lambda _{n}-\lambda _{m})\int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0}$

но видно, что

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}\left[R(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]=R(f_{m}{\ddot {f}}_{n}-f_{n}{\ddot {f}}_{m})\,\,+\,\,R{\frac {L}{Q}}(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})}$

так что:

${\displaystyle \left[R(f_{m}{\dot {f}}_{n}-f_{n}{\dot {f}}_{m})\right]_{a}^{b}\,\,+\,\,(\lambda _{n}-\lambda _{m})\int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0}$

Если полиномы f таковы, что член слева равен нулю, и для , то соотношение ортогональности будет сохраняться:${\displaystyle \lambda _{m}\neq \lambda _{n}}$${\displaystyle m\neq n}$

${\displaystyle \int _{a}^{b}{\frac {R}{Q}}f_{m}f_{n}\,dx=0}$

для .${\displaystyle m\neq n}$

Вывод из дифференциального уравнения [ править ]

Все полиномиальные последовательности, возникающие из приведенного выше дифференциального уравнения, эквивалентны при масштабировании и / или сдвиге области и стандартизации полиномов более ограниченным классам. Эти ограниченные классы являются в точности «классическими ортогональными многочленами».

• Каждая последовательность полиномов типа Якоби может иметь сдвинутую и / или масштабируемую область определения так, чтобы ее интервал ортогональности был [−1, 1] и имел Q = 1 -  x ² . Затем их можно стандартизировать в полиномы Якоби . Есть несколько важных подклассов из них: Гегенбауэра , Лежандра и двух типов Чебышева .${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$
• Каждый лагерр-подобный полином последовательность может иметь свой домен сдвинута, масштабирование, и / или отраженный , так что его интервал ортогональности , и имеет Q = х . Затем они могут быть стандартизированы в ассоциированные полиномы Лагерра . Простые Многочлены Лагерра являются подклассом из них.${\displaystyle [0,\infty )}$ ${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$ ${\displaystyle \ L_{n}}$
• У каждой полиномиальной последовательности типа Эрмита может быть сдвинута и / или масштабирована область так, чтобы ее интервал ортогональности был равен Q = 1 и L (0) = 0. Затем они могут быть стандартизированы в полиномы Эрмита .${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$ ${\displaystyle H_{n}}$

Поскольку все полиномиальные последовательности, возникающие из дифференциального уравнения описанным выше образом, тривиально эквивалентны классическим полиномам, всегда используются настоящие классические полиномы.

Многочлен Якоби [ править ]

Полиномы, подобные Якоби, после того как их область сдвинута и масштабирована так, что интервал ортогональности равен [-1, 1], все еще должны быть определены два параметра. Они есть и в многочленах Якоби, написанных . У нас есть и . Оба и должны быть больше -1. (Это помещает корень L в интервал ортогональности.)${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle P_{n}^{(\alpha ,\beta )}}$${\displaystyle Q(x)=1-x^{2}}$${\displaystyle L(x)=\beta -\alpha -(\alpha +\beta +2)\,x}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

Когда и не равны, эти многочлены не симметричны относительно x = 0.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

Дифференциальное уравнение

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''+(\beta -\alpha -[\alpha +\beta +2]\,x)\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n(n+1+\alpha +\beta )}$

- уравнение Якоби .

Для получения дополнительной информации см. Многочлены Якоби .

Многочлены Гегенбауэра [ править ]

Если задать параметры и в полиномах Якоби равными друг другу, получатся полиномы Гегенбауэра или ультрасферические полиномы. Они написаны и определены как${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {\Gamma (2\alpha \!+\!n)\,\Gamma (\alpha \!+\!1/2)}{\Gamma (2\alpha )\,\Gamma (\alpha \!+\!n\!+\!1/2)}}\!\ P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}$

У нас есть и . Параметр должен быть больше -1/2.${\displaystyle Q(x)=1-x^{2}}$${\displaystyle L(x)=-(2\alpha +1)\,x}$${\displaystyle \alpha }$

(Между прочим, стандартизация, приведенная в таблице ниже, не имела бы смысла для α = 0 и n 0, потому что она установила бы полиномы на ноль. В этом случае принятые наборы стандартизации вместо значения, указанного в таблице.)${\displaystyle C_{n}^{(0)}(1)={\frac {2}{n}}}$

Игнорируя приведенные выше соображения, параметр тесно связан с производными от :${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}}$

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha +1)}(x)={\frac {1}{2\alpha }}\!\ {\frac {d}{dx}}C_{n+1}^{(\alpha )}(x)}$

или, в более общем смысле:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha +m)}(x)={\frac {\Gamma (\alpha )}{2^{m}\Gamma (\alpha +m)}}\!\ C_{n+m}^{(\alpha )[m]}(x).}$

Все другие классические полиномы типа Якоби (Лежандра и т. Д.) Являются частными случаями полиномов Гегенбауэра, полученными путем выбора значения и выбора стандартизации.${\displaystyle \alpha }$

Для получения дополнительной информации см. Многочлены Гегенбауэра .

Полиномы Лежандра [ править ]

Дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2x\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n(n+1).}$

Это уравнение Лежандра .

Вторая форма дифференциального уравнения:

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}[(1-x^{2})\,y']+\lambda \,y=0.}$

Рекуррентное соотношение является

${\displaystyle (n+1)\,P_{n+1}(x)=(2n+1)x\,P_{n}(x)-n\,P_{n-1}(x).}$

Смешанное повторение

${\displaystyle P_{n+1}^{[r+1]}(x)=P_{n-1}^{[r+1]}(x)+(2n+1)\,P_{n}^{[r]}(x).}$

Формула Родригеса

${\displaystyle P_{n}(x)=\,{\frac {1}{2^{n}n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left([x^{2}-1]^{n}\right).}$

Для получения дополнительной информации см. Многочлены Лежандра .

Связанные полиномы Лежандра [ править ]

Эти полиномы Лежандра , обозначат где и целые числа с , определяются как${\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)}$${\displaystyle \ell }$${\displaystyle m}$${\displaystyle 0\leqslant m\leqslant \ell }$

${\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)=(-1)^{m}\,(1-x^{2})^{m/2}\ P_{\ell }^{[m]}(x).}$

Буква m в скобках (во избежание путаницы с показателем степени) является параметром. Буква m в скобках обозначает m -ю производную полинома Лежандра.

Эти «многочлены» неправильно названы - они не являются многочленами, когда m нечетно.

У них есть рекуррентное отношение:

${\displaystyle (\ell +1-m)\,P_{\ell +1}^{(m)}(x)=(2\ell +1)x\,P_{\ell }^{(m)}(x)-(\ell +m)\,P_{\ell -1}^{(m)}(x).}$

При фиксированном m последовательность ортогональна над [-1, 1] с весом 1.${\displaystyle P_{m}^{(m)},P_{m+1}^{(m)},P_{m+2}^{(m)},\dots }$

Для заданного м , являются решениями${\displaystyle P_{\ell }^{(m)}(x)}$

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-2xy'+\left[\lambda -{\frac {m^{2}}{1-x^{2}}}\right]\,y=0\qquad {\text{ with }}\qquad \lambda =\ell (\ell +1).}$

Многочлены Чебышева [ править ]

Дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle (1-x^{2})\,y''-x\,y'+\lambda \,y=0\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =n^{2}.}$

Это уравнение Чебышева .

Рекуррентное отношение

${\displaystyle T_{n+1}(x)=2x\,T_{n}(x)-T_{n-1}(x).}$

Формула Родригеса

${\displaystyle T_{n}(x)={\frac {\Gamma (1/2){\sqrt {1-x^{2}}}}{(-2)^{n}\,\Gamma (n+1/2)}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left([1-x^{2}]^{n-1/2}\right).}$

Эти многочлены обладают тем свойством, что в интервале ортогональности

${\displaystyle T_{n}(x)=\cos(n\,\arccos(x)).}$

(Чтобы доказать это, воспользуйтесь формулой рекуррентности.)

Это означает, что все их локальные минимумы и максимумы имеют значения -1 и +1, то есть полиномы являются «уровнями». Из-за этого разложение функций в терминах полиномов Чебышева иногда используется для полиномиальных приближений в компьютерных математических библиотеках.

Некоторые авторы используют версии этих многочленов, которые были сдвинуты так, что интервал ортогональности равен [0, 1] или [−2, 2].

Существуют также многочлены Чебышева второго рода , обозначаемые${\displaystyle U_{n}}$

У нас есть:

${\displaystyle U_{n}={\frac {1}{n+1}}\,T_{n+1}'.}$

Для получения дополнительных сведений, включая выражения для первых нескольких многочленов, см. Многочлены Чебышева .

Многочлены Лагерра [ править ]

Наиболее общие полиномы типа Лагерра после сдвига и масштабирования области - это ассоциированные полиномы Лагерра (также называемые обобщенными полиномами Лагерра), обозначенные . Есть параметр , который может быть любым действительным числом, строго большим чем -1. Параметр заключен в круглые скобки, чтобы избежать путаницы с показателем степени. Простые полиномы Лагерра - это просто их версия:${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \alpha =0}$

${\displaystyle L_{n}(x)=L_{n}^{(0)}(x).}$

Дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+\lambda \,y=0{\text{ with }}\lambda =n.}$

Это уравнение Лагерра .

Вторая форма дифференциального уравнения:

${\displaystyle (x^{\alpha +1}\,e^{-x}\,y')'+\lambda \,x^{\alpha }\,e^{-x}\,y=0.}$

Рекуррентное отношение

${\displaystyle (n+1)\,L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=(2n+1+\alpha -x)\,L_{n}^{(\alpha )}(x)-(n+\alpha )\,L_{n-1}^{(\alpha )}(x).}$

Формула Родригеса

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {x^{-\alpha }e^{x}}{n!}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(x^{n+\alpha }\,e^{-x}\right).}$

Параметр тесно связан с производными :${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=-{\frac {d}{dx}}L_{n+1}^{(\alpha )}(x)}$

или, в более общем смысле:

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +m)}(x)=(-1)^{m}L_{n+m}^{(\alpha )[m]}(x).}$

Уравнение Лагерра можно преобразовать в форму, более удобную для приложений:

${\displaystyle u=x^{\frac {\alpha -1}{2}}e^{-x/2}L_{n}^{(\alpha )}(x)}$

это решение

${\displaystyle u''+{\frac {2}{x}}\,u'+\left[{\frac {\lambda }{x}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {\alpha ^{2}-1}{4x^{2}}}\right]\,u=0{\text{ with }}\lambda =n+{\frac {\alpha +1}{2}}.}$

Этим можно управлять и дальше. Когда - целое число, а :${\displaystyle \ell ={\frac {\alpha -1}{2}}}$${\displaystyle n\geq \ell +1}$

${\displaystyle u=x^{\ell }e^{-x/2}L_{n-\ell -1}^{(2\ell +1)}(x)}$

это решение

${\displaystyle u''+{\frac {2}{x}}\,u'+\left[{\frac {\lambda }{x}}-{\frac {1}{4}}-{\frac {\ell (\ell +1)}{x^{2}}}\right]\,u=0{\text{ with }}\lambda =n.}$

Решение часто выражается в терминах производных вместо связанных полиномов Лагерра:

${\displaystyle u=x^{\ell }e^{-x/2}L_{n+\ell }^{[2\ell +1]}(x).}$

Это уравнение возникает в квантовой механике, в радиальной части решения уравнения Шредингера для одноэлектронного атома.

Физики часто используют определение полиномов Лагерра, которое в несколько раз больше , чем используемое здесь определение.${\displaystyle (n!)}$

Для получения дополнительных сведений, включая выражения для первых нескольких многочленов, см. Многочлены Лагерра .

Многочлены Эрмита [ править ]

Дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle y''-2xy'+\lambda \,y=0,\qquad {\text{with}}\qquad \lambda =2n.}$

Это уравнение Эрмита .

Вторая форма дифференциального уравнения:

${\displaystyle (e^{-x^{2}}\,y')'+e^{-x^{2}}\,\lambda \,y=0.}$

Третья форма

${\displaystyle (e^{-x^{2}/2}\,y)''+(\lambda +1-x^{2})(e^{-x^{2}/2}\,y)=0.}$

Рекуррентное отношение

${\displaystyle H_{n+1}(x)=2x\,H_{n}(x)-2n\,H_{n-1}(x).}$

Формула Родригеса

${\displaystyle H_{n}(x)=(-1)^{n}\,e^{x^{2}}\ {\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left(e^{-x^{2}}\right).}$

Первые несколько полиномов Эрмита

${\displaystyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle H_{2}(x)=4x^{2}-2}$

${\displaystyle H_{3}(x)=8x^{3}-12x}$

${\displaystyle H_{4}(x)=16x^{4}-48x^{2}+12}$

Можно определить ассоциированные функции Эрмита

${\displaystyle \psi _{n}(x)=(h_{n})^{-1/2}\,e^{-x^{2}/2}H_{n}(x).}$

Поскольку множитель пропорционален квадратному корню из весовой функции, эти функции ортогональны и не имеют весовой функции.${\displaystyle (-\infty ,\infty )}$

Третья форма приведенного выше дифференциального уравнения для ассоциированных функций Эрмита имеет вид

${\displaystyle \psi ''+(\lambda +1-x^{2})\psi =0.}$

Соответствующие функции Эрмита возникают во многих областях математики и физики. В квантовой механике они являются решениями уравнения Шредингера для гармонического осциллятора. Они также являются собственными функциями (с собственным значением (- i ⁿ ) непрерывного преобразования Фурье .

Многие авторы, особенно вероятностные, используют альтернативное определение полиномов Эрмита с весовой функцией вместо . Если обозначение He используется для этих многочленов Эрмита, а H - для указанных выше, то они могут быть охарактеризованы как${\displaystyle e^{-x^{2}/2}}$${\displaystyle e^{-x^{2}}}$

${\displaystyle He_{n}(x)=2^{-n/2}\,H_{n}\left({\frac {x}{\sqrt {2}}}\right).}$

Для получения дополнительной информации см. Многочлены Эрмита .

Характеризации классических ортогональных многочленов [ править ]

Есть несколько условий, которые отличают классические ортогональные многочлены от других.

Первое условие было найдено Сонайном (а позже Ханом), который показал, что (с точностью до линейных замен переменных) классические ортогональные многочлены являются единственными, у которых их производные также являются ортогональными многочленами.

Бохнер охарактеризовал классические ортогональные многочлены в терминах их рекуррентных соотношений.

Трикоми охарактеризовал классические ортогональные многочлены как те, которые имеют некий аналог формулы Родригеса .

Таблица классических ортогональных многочленов [ править ]

В следующей таблице приведены свойства классических ортогональных многочленов. ^[3]

Имя и условное обозначение	Чебышев ,${\displaystyle \ T_{n}}$	Чебышев (второй вид),${\displaystyle \ U_{n}}$	Лежандр ,${\displaystyle \ P_{n}}$	Эрмит ,${\displaystyle \ H_{n}}$
Пределы ортогональности [4]	${\displaystyle -1,1}$	${\displaystyle -1,1}$	${\displaystyle -1,1}$	${\displaystyle -\infty ,\infty }$
Масса, ${\displaystyle W(x)}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{-1/2}}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}}$
Стандартизация	${\displaystyle T_{n}(1)=1}$	${\displaystyle U_{n}(1)=n+1}$	${\displaystyle P_{n}(1)=1}$	Срок действия ${\displaystyle =2^{n}}$
Квадрат нормы [5]	${\displaystyle \left\{{\begin{matrix}\pi &:~n=0\\\pi /2&:~n\neq 0\end{matrix}}\right.}$	${\displaystyle \pi /2}$	${\displaystyle {\frac {2}{2n+1}}}$	${\displaystyle 2^{n}\,n!\,{\sqrt {\pi }}}$
Ведущий термин [6]	${\displaystyle 2^{n-1}}$	${\displaystyle 2^{n}}$	${\displaystyle {\frac {(2n)!}{2^{n}\,(n!)^{2}}}}$	${\displaystyle 2^{n}}$
Второй срок, ${\displaystyle k'_{n}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
${\displaystyle Q}$	${\displaystyle 1-x^{2}}$	${\displaystyle 1-x^{2}}$	${\displaystyle 1-x^{2}}$	${\displaystyle 1}$
${\displaystyle L}$	${\displaystyle -x}$	${\displaystyle -3x}$	${\displaystyle -2x}$	${\displaystyle -2x}$
${\displaystyle R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{1/2}}$	${\displaystyle (1-x^{2})^{3/2}}$	${\displaystyle 1-x^{2}}$	${\displaystyle e^{-x^{2}}}$
Константа в разн. уравнение,${\displaystyle \lambda _{n}}$	${\displaystyle n^{2}}$	${\displaystyle n(n+2)}$	${\displaystyle n(n+1)}$	${\displaystyle 2n}$
Константа в формуле Родригеса, ${\displaystyle e_{n}}$	${\displaystyle (-2)^{n}\,{\frac {\Gamma (n+1/2)}{\sqrt {\pi }}}}$	${\displaystyle 2(-2)^{n}\,{\frac {\Gamma (n+3/2)}{(n+1)\,{\sqrt {\pi }}}}}$	${\displaystyle (-2)^{n}\,n!}$	${\displaystyle (-1)^{n}}$
Отношение рекуррентности, ${\displaystyle a_{n}}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle 2}$	${\displaystyle {\frac {2n+1}{n+1}}}$	${\displaystyle 2}$
Отношение рекуррентности, ${\displaystyle b_{n}}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$	${\displaystyle 0}$
Отношение рекуррентности, ${\displaystyle c_{n}}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle 1}$	${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}$	${\displaystyle 2n}$

Имя и условное обозначение	Associated Laguerre ,${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}}$	Лагер ,${\displaystyle \ L_{n}}$
Пределы ортогональности	${\displaystyle 0,\infty }$	${\displaystyle 0,\infty }$
Масса, ${\displaystyle W(x)}$	${\displaystyle x^{\alpha }e^{-x}}$	${\displaystyle e^{-x}}$
Стандартизация	Срок действия ${\displaystyle ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$	Срок действия ${\displaystyle ={\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$
Квадрат нормы, ${\displaystyle h_{n}}$	${\displaystyle {\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}}$	${\displaystyle 1}$
Ведущий термин, ${\displaystyle k_{n}}$	${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$	${\displaystyle {\frac {(-1)^{n}}{n!}}}$
Второй срок, ${\displaystyle k'_{n}}$	${\displaystyle {\frac {(-1)^{n+1}(n+\alpha )}{(n-1)!}}}$	${\displaystyle {\frac {(-1)^{n+1}n}{(n-1)!}}}$
${\displaystyle Q}$	${\displaystyle x}$	${\displaystyle x}$
${\displaystyle L}$	${\displaystyle \alpha +1-x}$	${\displaystyle 1-x}$
${\displaystyle R(x)=e^{\int {\frac {L(x)}{Q(x)}}\,dx}}$	${\displaystyle x^{\alpha +1}\,e^{-x}}$	${\displaystyle x\,e^{-x}}$
Константа в разн. уравнение,${\displaystyle \lambda _{n}}$	${\displaystyle n}$	${\displaystyle n}$
Константа в формуле Родригеса, ${\displaystyle e_{n}}$	${\displaystyle n!}$	${\displaystyle n!}$
Отношение рекуррентности, ${\displaystyle a_{n}}$	${\displaystyle {\frac {-1}{n+1}}}$	${\displaystyle {\frac {-1}{n+1}}}$
Отношение рекуррентности, ${\displaystyle b_{n}}$	${\displaystyle {\frac {2n+1+\alpha }{n+1}}}$	${\displaystyle {\frac {2n+1}{n+1}}}$
Отношение рекуррентности, ${\displaystyle c_{n}}$	${\displaystyle {\frac {n+\alpha }{n+1}}}$	${\displaystyle {\frac {n}{n+1}}}$