Многочлены Гегенбауэра

В математике , многочлены Гегенбауэра или ультрасферическим полиномов deg ; С^(α)
_п( x ) - ортогональные многочлены на интервале [−1,1] относительно весовой функции (1 -  x ² ) ^{α –1/2} . Они обобщают полиномы Лежандра и многочлены Чебышева , и являются частными случаями полиномов Якоби . Они названы в честь Леопольда Гегенбауэра .

Характеристики [ править ]

• 

  Многочлены Гегенбауэра с α = 1

• 

  Многочлены Гегенбауэра с α = 2

• 

  Многочлены Гегенбауэра с α = 3

• 

  Анимация, показывающая полиномы на плоскости xα для первых 4 значений n .

Доступны различные характеристики полиномов Гегенбауэра.

• Многочлены могут быть определены в терминах их производящей функции ( Stein & Weiss 1971 , §IV.2):

${\displaystyle {\frac {1}{(1-2xt+t^{2})^{\alpha }}}=\sum _{n=0}^{\infty }C_{n}^{(\alpha )}(x)t^{n}.}$

• Многочлены удовлетворяют рекуррентному соотношению ( Суетин, 2001 ):

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{0}^{\alpha }(x)&=1\\C_{1}^{\alpha }(x)&=2\alpha x\\C_{n}^{\alpha }(x)&={\frac {1}{n}}[2x(n+\alpha -1)C_{n-1}^{\alpha }(x)-(n+2\alpha -2)C_{n-2}^{\alpha }(x)].\end{aligned}}}$

• Многочлены Гегенбауэра являются частными решениями дифференциального уравнения Гегенбауэра ( Суетин, 2001 ):

${\displaystyle (1-x^{2})y''-(2\alpha +1)xy'+n(n+2\alpha )y=0.\,}$

Когда α  = 1/2, уравнение сводится к уравнению Лежандра, а полиномы Гегенбауэра сводятся к полиномам Лежандра .

При α  = 1 уравнение сводится к дифференциальному уравнению Чебышева, а многочлены Гегенбауэра сводятся к многочленам Чебышева второго рода. ^[1]

• Они задаются как гауссовские гипергеометрические ряды в некоторых случаях, когда ряд фактически конечен:

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {(2\alpha )_{n}}{n!}}\,_{2}F_{1}\left(-n,2\alpha +n;\alpha +{\frac {1}{2}};{\frac {1-z}{2}}\right).}$

(Абрамовиц и Стегун, стр. 561 ). Здесь (2α) _n - возрастающий факториал . Явно,

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(z)=\sum _{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor }(-1)^{k}{\frac {\Gamma (n-k+\alpha )}{\Gamma (\alpha )k!(n-2k)!}}(2z)^{n-2k}.}$

• Это частные случаи многочленов Якоби ( Суетин, 2001 ):

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2\alpha )_{n}}{(\alpha +{\frac {1}{2}})_{n}}}P_{n}^{(\alpha -1/2,\alpha -1/2)}(x).}$

в котором представляет собой растущий факториал из .${\displaystyle (\theta )_{n}}$${\displaystyle \theta }$

Следовательно, есть также формула Родригеса

${\displaystyle C_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{2^{n}n!}}{\frac {\Gamma (\alpha +{\frac {1}{2}})\Gamma (n+2\alpha )}{\Gamma (2\alpha )\Gamma (\alpha +n+{\frac {1}{2}})}}(1-x^{2})^{-\alpha +1/2}{\frac {d^{n}}{dx^{n}}}\left[(1-x^{2})^{n+\alpha -1/2}\right].}$

Ортогональность и нормализация [ править ]

При фиксированном α полиномы ортогональны на [−1, 1] относительно весовой функции (Abramowitz & Stegun, стр. 774 )

${\displaystyle w(z)=\left(1-z^{2}\right)^{\alpha -{\frac {1}{2}}}.}$

А именно, для п  ≠  м ,

${\displaystyle \int _{-1}^{1}C_{n}^{(\alpha )}(x)C_{m}^{(\alpha )}(x)(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx=0.}$

Они нормализуются

${\displaystyle \int _{-1}^{1}\left[C_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}(1-x^{2})^{\alpha -{\frac {1}{2}}}\,dx={\frac {\pi 2^{1-2\alpha }\Gamma (n+2\alpha )}{n!(n+\alpha )[\Gamma (\alpha )]^{2}}}.}$

Приложения [ править ]

Многочлены Гегенбауэра естественно появляются как расширения многочленов Лежандра в контексте теории потенциала и гармонического анализа . Ньютонов потенциал в R ^п имеет расширение, действующий с α = ( п  - 2) / 2,

${\displaystyle {\frac {1}{|\mathbf {x} -\mathbf {y} |^{n-2}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {|\mathbf {x} |^{k}}{|\mathbf {y} |^{k+n-2}}}C_{k}^{(\alpha )}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} ).}$

Когда n  = 3, это дает полиномиальное разложение гравитационного потенциала Лежандра . Аналогичные выражения доступны для разложения ядра Пуассона в шар ( Stein & Weiss, 1971 ).

Отсюда следует, что величины являются сферическими гармониками , если рассматривать их как функцию только от x . Фактически, они являются зональными сферическими гармониками с точностью до нормирующей постоянной.${\displaystyle C_{k}^{((n-2)/2)}(\mathbf {x} \cdot \mathbf {y} )}$

Многочлены Гегенбауэра также появляются в теории положительно определенных функций .

Неравенство Аски-Gasper читает

${\displaystyle \sum _{j=0}^{n}{\frac {C_{j}^{\alpha }(x)}{2\alpha +j-1 \choose j}}\geq 0\qquad (x\geq -1,\,\alpha \geq 1/4).}$

См. Также [ править ]

• Многочлены Роджерса , q- аналог многочленов Гегенбауэра
• Полиномы Чебышева
• Полиномы Романовского

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .* Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Штейн, Элиас ; Вайс, Гвидо (1971), Введение в анализ Фурье евклидовых пространств , Принстон, Нью-Джерси: Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08078-9.
• Суетин, П.К. (2001) [1994], "Ультрасферические многочлены" , Энциклопедия математики , EMS Press.

Специфический