В математике , положительно определенная функция есть, в зависимости от контекста, либо из двух типов функции .
Наиболее частое использование
Положительно определенная функция из реальной переменной х является сложным значной функциейтакие , что для любых действительных чисел х 1 , ..., х п п × п матрица
является положительным полу определенным (что требует A , чтобы быть эрмитовой , поэтому е (- х ) представляет собой комплексное сопряжение из F ( х )).
В частности, необходимо (но не достаточно), чтобы
(эти неравенства следуют из условия n = 1, 2.)
Функция отрицательно определена, если неравенство обратное. Функция является полуопределенной, если сильное неравенство заменить слабым (≤, ≥ 0).
Примеры
Теорема Бохнера
Положительная определенность естественным образом возникает в теории преобразования Фурье ; непосредственно видно, что для положительной определенности достаточно, чтобы f была преобразованием Фурье функции g на вещественной прямой с g ( y ) ≥ 0.
Обратным результатом является теорема Бохнера , утверждающая, что любая непрерывная положительно определенная функция на вещественной прямой является преобразованием Фурье (положительной) меры . [1]
Приложения
В статистике , и особенно в байесовской статистике , теорема обычно применяется к действительным функциям. Обычно n скалярных измерений некоторого скалярного значения в точках вберутся и точки, которые являются взаимно близкими, должны иметь высококоррелированные измерения. На практике нужно следить за тем, чтобы результирующая ковариационная матрица (матрица n × n ) всегда была положительно определенной. Одна стратегия состоит в том, чтобы определить корреляционную матрицу A, которая затем умножается на скаляр, чтобы получить ковариационную матрицу : она должна быть положительно определенной. Теорема Бохнера утверждает, что если корреляция между двумя точками зависит только от расстояния между ними (через функцию f ), то функция f должна быть положительно определенной, чтобы гарантировать, что ковариационная матрица A положительно определена. См. Кригинг .
В этом контексте, терминология Фурье обычно не используется , а вместо этого указывается , что F ( х ) является характеристической функцией из симметричной функции плотности вероятности (PDF) .
Обобщение
Можно определить положительно определенные функции на любой локально компактной абелевой топологической группе ; Теорема Бохнера распространяется и на этот контекст. Положительно определенные функции на группах естественным образом встречаются в теории представлений групп в гильбертовых пространствах (т. Е. Теории унитарных представлений ).
Альтернативное определение
Следующее определение противоречит приведенному выше.
В динамических системах реального -значная, непрерывно дифференцируемая функция F можно назвать положительно определена на окрестности D начала координат , если а также для каждого ненулевого . [2] [3] В физике требование, чтобыможно отбросить (см., например, Corney and Olsen [4] ).
Смотрите также
Рекомендации
- Кристиан Берг, Кристенсен, Пол Рессель. Гармонический анализ на полугруппах , GTM, Springer Verlag.
- З. Сасвари, Положительно определенные и определяемые функции , Akademie Verlag, 1994.
- Уэллс, JH; Вильямс, Л. Р. Вложения и расширения в анализе . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii + 108 с.
Заметки
- ^ Бохнер, Саломон (1959). Лекции по интегралам Фурье . Издательство Принстонского университета. CS1 maint: обескураженный параметр ( ссылка )
- ^ Verhulst, Фердинанд (1996). Нелинейные дифференциальные уравнения и динамические системы (2-е изд.). Springer. ISBN 3-540-60934-2.
- ^ Хан, Вольфганг (1967). Устойчивость движения . Springer.
- ^ Corney, JF; Олсен, МК (19 февраля 2015 г.). «Негауссовские чистые состояния и положительные функции Вигнера» . Physical Review . 91 (2): 023824. arXiv : 1412.4868 . Bibcode : 2015PhRvA..91b3824C . DOI : 10.1103 / PhysRevA.91.023824 . ISSN 1050-2947,1094-1622 Проверить
|issn=
значение ( справка ) . S2CID 119293595 .
Внешние ссылки
- "Положительно определенная функция" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]