В математике , теорема Бохнера (названный по имени Бохнер ) характеризует преобразование Фурье положительной конечной борелевской меры на вещественной прямой. В более общем плане в гармоническом анализе теорема Бохнера утверждает, что при преобразовании Фурье непрерывная положительно определенная функция на локально компактной абелевой группе соответствует конечной положительной мере на двойственной группе Понтрягина .
Теорема для локально компактных абелевых групп
Теорема Бохнера для локально компактной абелевой группы G с двойственной группой, говорит следующее:
Теорема Для любой нормированной непрерывной положительно определенной функции f на G (нормировка здесь означает, что f равна 1 в единице G ), существует единственная вероятностная мера μ на такой, что
т.е. f - преобразование Фурье единственной вероятностной меры μ на. Наоборот, преобразование Фурье вероятностной меры наобязательно нормированный непрерывная положительно определенная функция F на G . На самом деле это взаимно однозначное соответствие.
Преобразование Гельфанда – Фурье является изоморфизмом групповой C * -алгебры C * ( G ) и C 0 ( Ĝ ). Теорема, по сути, является двойственным утверждением для состояний двух абелевых C * -алгебр.
Доказательство теоремы проходит через векторные состояния на сильно непрерывных унитарных представлениях группы G (доказательство фактически показывает, что каждая нормированная непрерывная положительно определенная функция должна иметь такой вид).
Для нормированной непрерывной положительно определенной функции f на G можно естественным образом построить сильно непрерывное унитарное представление группы G : пусть F 0 ( G ) - семейство комплекснозначных функций на G с конечным носителем, т. Е. H ( g ) = 0 для всех g, кроме конечного числа . Положительно определенное ядро K ( g 1 , g 2 ) = f ( g 1 - g 2 ) индуцирует (возможно, вырожденное) скалярное произведение на F 0 ( G ). Факторизация вырождения и взятие пополнения дает гильбертово пространство
типичным элементом которого является класс эквивалентности [ h ]. Для фиксированного g в G « оператор сдвига » U g, определенный как ( U g ) ( h ) (g ') = h ( g ' - g ), для представителя [ h ], является унитарным. Итак, карта
является унитарным представлением G на. По непрерывности f она слабо непрерывна, а значит, и сильно непрерывна. По построению имеем
где [ e ] - класс функции, равной 1 на единице G и нулю где-либо еще. Но по изоморфизму Гельфанда – Фурье векторное состояниена C * ( G ) - возврат состояния на, что обязательно является интегрированием по вероятностной мере μ . Тогда поиск изоморфизмов дает
С другой стороны, учитывая вероятностную меру μ на, функция
- нормированная непрерывная положительно определенная функция. Непрерывность f следует из теоремы о мажорируемой сходимости . Для положительной определенности возьмем невырожденное представление. Это однозначно распространяется на представление своей алгебры мультипликаторов и, следовательно, сильно непрерывное унитарное представление U g . Как и выше, мы имеем f, заданное некоторым векторным состоянием на U g
поэтому положительно-определенный.
Эти две конструкции противоположны друг другу.
Особые случаи
Теорема Бохнера в частном случае дискретной группы Z часто называют Герглотца «s теорема (см теорему Герглотцем представление ) и говорит , что функция F на Z с F (0) = 1 положительно определена тогда и только тогда , существует вероятностная мера μ на окружности T такая, что
Аналогично, непрерывная функция f на R с f (0) = 1 положительно определена тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера μ на R такая, что
Приложения
В статистике теорему Бохнера можно использовать для описания последовательной корреляции определенного типа временных рядов . Последовательность случайных величинсреднего 0 является (в широком смысле) стационарным временным рядом, если ковариация
зависит только от n - m . Функция
называется автоковариационной функцией временного ряда. В предположении нулевого среднего
где ⟨⋅, ⋅⟩ обозначает скалярное произведение в гильбертовом пространстве случайных величин с конечными вторыми моментами. Тогда сразу видно, что g - положительно определенная функция на целых числах. По теореме Бохнера существует единственная положительная мера μ на [0, 1] такая, что
Эта мера μ называется спектральной мерой временного ряда. Он дает информацию о «сезонных тенденциях» в сериале.
Например, пусть z будет корнем m -й степени из единицы (при текущей идентификации это 1 / m ∈ [0, 1]), а f - случайная величина со средним значением 0 и дисперсией 1. Рассмотрим временной ряд. Функция автоковариации есть
Очевидно, соответствующей спектральной мерой является точечная масса Дирака с центром в точке z . Это связано с тем, что временной ряд повторяется каждые m периодов.
Когда г имеет достаточно быстро распадаются, мера μ является абсолютно непрерывна относительно меры Лебега, и его Радона-Никодима е называется спектральная плотность временного ряда. Когда g лежит в ℓ 1 (ℤ), f является преобразованием Фурье g .
Смотрите также
Рекомендации
- Лумис, LH (1953), Введение в абстрактный гармонический анализ , Ван Ностранд
- М. Рид, Барри Саймон , Методы современной математической физики , т. II, Academic Press, 1975.
- Рудин, В. (1990), Анализ Фурье на группах , Wiley-Interscience, ISBN 0-471-52364-X