Сильная операторная топология

В функциональном анализе , ветвь математики , то сильная топология оператора , часто сокращенно СОТ, является локально выпуклой топологии на множестве ограниченных операторов на гильбертовом пространстве Н , индуцированного полунормами вида , а х изменяется в H .${\ Displaystyle Т \ mapsto \ | Tx \ |}$

Эквивалентно, это самая грубая топология, такая что для каждого фиксированного x в H карта оценки (принимающая значения в H ) непрерывна в T. Эквивалентность этих двух определений можно увидеть, заметив, что задана подбаза для обеих топологий. множествами (где T ₀ - любой ограниченный оператор в H , x - любой вектор, а ε - любое положительное действительное число).${\ Displaystyle T \ mapsto Tx}$${\ Displaystyle U (T_ {0}, x, \ epsilon) = \ {T: \ | Tx-T_ {0} x \ | <\ epsilon \}}$

Конкретно, это означает , что в сильной операторной топологии тогда и только тогда , когда для каждого х в H .${\ displaystyle T_ {i} \ to T}$${\ Displaystyle \ | T_ {i} х-Tx \ | \ к 0}$

SOT сильнее, чем топология слабого оператора и слабее, чем топология нормы .

В SOT отсутствуют некоторые из лучших свойств топологии слабых операторов , но, будучи более сильными, иногда легче доказать в этой топологии. Это тоже можно считать более естественным, поскольку это просто топология поточечной сходимости.

Топология SOT также обеспечивает основу для измеримого функционального исчисления , как и топология нормы для непрерывного функционального исчисления .

В линейных функционалов на множестве ограниченных операторов в гильбертовом пространстве, непрерывных в ГНС именно те непрерывен в WOT . По этой причине замыкание выпуклого набора операторов в WOT совпадает с замыканием этого набора в SOT.

Этот язык переводится в свойства сходимости операторов гильбертова пространства. Для комплексного гильбертова пространства легко проверить с помощью поляризационного тождества, что сходимость сильного оператора влечет сходимость слабого оператора.

См. Также [ править ]

• Сильно непрерывная полугруппа
• Топологии на множестве операторов в гильбертовом пространстве

Ссылки [ править ]

• Наричи, Лоуренс ; Бекенштейн, Эдвард (2011). Топологические векторные пространства . Чистая и прикладная математика (Второе изд.). Бока-Ратон, Флорида: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834 .
• Рудин, Вальтер (1991). Функциональный анализ . Международная серия по чистой и прикладной математике. 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: McGraw-Hill Science / Engineering / Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• Педерсен, Герт (1989). Анализ сейчас . Springer. ISBN 0-387-96788-5.
• Шефер, Гельмут Х .; Вольф, Манфред П. (1999). Топологические векторные пространства . GTM . 8 (Второе изд.). Нью-Йорк, штат Нью-Йорк: Springer New York Выходные данные Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135 .
• Трев, Франсуа (2006) [1967]. Топологические векторные пространства, распределения и ядра . Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322 .