Функциональное исчисление Бореля
В функциональном анализе , разделе математики , функциональное исчисление Бореля является функциональным исчислением (то есть присвоением операторов из коммутативных алгебр функциям, определенным на их спектрах ), которое имеет особенно широкую область применения. [1] [2] Таким образом, например, если T является оператором, применение функции возведения в квадрат s → s 2 к T дает оператор T 2. Используя функциональное исчисление для более крупных классов функций, мы можем, например, строго определить «квадратный корень» (отрицательного) оператора Лапласа −Δ или экспоненту
«Область действия» здесь означает вид функции оператора, которая разрешена. Функциональное исчисление Бореля является более общим, чем непрерывное функциональное исчисление , и его цель иная, чем у голоморфного функционального исчисления .
Точнее, функциональное исчисление Бореля позволяет нам применять произвольную борелевскую функцию к самосопряженному оператору таким образом, который обобщает применение полиномиальной функции .
Если T является самосопряженным оператором в конечномерном пространстве скалярного произведения H , то H имеет ортонормированный базис { e 1 , ..., e ℓ } , состоящий из собственных векторов T , то есть
Если рассматривать только многочлены от T , то получается голоморфное функциональное исчисление . Можно ли получить более общие функции T ? Да это так. Учитывая борелевскую функцию h , можно определить оператор h ( T ), указав его поведение на основе:
В общем случае любой самосопряженный оператор T унитарно эквивалентен оператору умножения; это означает, что для многих целей T можно рассматривать как оператор