Положительная гармоническая функция

В математике , А положительная гармоническая функция на единичном круге в комплексных числах характеризуются как интеграл Пуассона конечной положительной меры на окружности. Этот результат, теорема о представлении Херглотца-Рисса , была независимо доказана Густавом Херглотцем и Фриджесом Риссом в 1911 году. Его можно использовать для получения связанной формулы и характеризации любой голоморфной функции на единичном круге с положительной действительной частью. Такие функции были охарактеризованы еще в 1907 году Константином Каратеодори с точки зренияположительная определенность их коэффициентов Тейлора .

Теорема Херглотца-Рисса о представлении гармонических функций [ править ]

Положительная функция f на единичном круге с f (0) = 1 является гармонической тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера μ на единичной окружности такая, что

${\ displaystyle f (re ^ {i \ theta}) = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1-r ^ {2} \ over 1-2r \ cos (\ theta - \ varphi) + r ^ {2}} \, d \ mu (\ varphi).}$

Формула четко определяет положительную гармоническую функцию с f (0) = 1.

И наоборот, если f положительно и гармонично и r _n увеличивается до 1, определите

${\ Displaystyle е_ {п} (г) = е (г_ {п} г). \,}$

потом

${\ displaystyle f_ {n} (re ^ {i \ theta}) = {1 \ over 2 \ pi} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1-r ^ {2} \ over 1-2r \ cos (\ theta - \ varphi) + r ^ {2}} \, f_ {n} (\ varphi) \, d \ phi = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {1-r ^ { 2} \ over 1-2r \ cos (\ theta - \ varphi) + r ^ {2}} d \ mu _ {n} (\ varphi)}$

где

${\ displaystyle d \ mu _ {n} (\ varphi) = {1 \ over 2 \ pi} f (r_ {n} e ^ {i \ varphi}) \, d \ varphi}$

- вероятностная мера.

По аргументу компактности (или, что эквивалентно в данном случае теореме Хелли о выборе для интегралов Стилтьеса ) подпоследовательность этих вероятностных мер имеет слабый предел, который также является вероятностной мерой μ.

Поскольку r _n увеличивается до 1, так что f _n ( z ) стремится к f ( z ), формула Герглотца следует.

Теорема Херглотца-Рисса о представлении голоморфных функций [ править ]

Голоморфная функция f на единичном круге с f (0) = 1 имеет положительную вещественную часть тогда и только тогда, когда существует вероятностная мера μ на единичной окружности такая, что

${\displaystyle f(z)=\int _{0}^{2\pi }{1+e^{-i\theta }z \over 1-e^{-i\theta }z}\,d\mu (\theta ).}$

Это следует из предыдущей теоремы, потому что:

• ядро Пуассона является действительной частью подынтегрального выражения выше
• действительная часть голоморфной функции является гармонической и определяет голоморфную функцию с точностью до скаляра
• приведенная выше формула определяет голоморфную функцию, действительная часть которой дается предыдущей теоремой

Критерий положительности Каратеодори для голоморфных функций [ править ]

Позволять

${\displaystyle f(z)=1+a_{1}z+a_{2}z^{2}+\cdots }$

- голоморфная функция в единичном круге. Тогда f ( z ) имеет положительную вещественную часть на круге тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}\geq 0}$

для любых комплексных чисел λ ₀ , λ ₁ , ..., λ _N , где

${\displaystyle a_{0}=2,\,\,\,a_{-m}={\overline {a_{m}}}}$

при m > 0.

Фактически из представления Герглотца при n > 0

${\displaystyle a_{n}=2\int _{0}^{2\pi }e^{-in\theta }\,d\mu (\theta ).}$

Следовательно

${\displaystyle \sum _{m}\sum _{n}a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=\int _{0}^{2\pi }\left|\sum _{n}\lambda _{n}e^{-in\theta }\right|^{2}\,d\mu (\theta )\geq 0.}$

Наоборот, полагая λ _n  =  z ⁿ ,

${\displaystyle \sum _{m=0}^{\infty }\sum _{n=0}^{\infty }a_{m-n}\lambda _{m}{\overline {\lambda _{n}}}=2(1-|z|^{2})\,\Re \,f(z).}$

См. Также [ править ]

• Теорема Бохнера

Ссылки [ править ]

• Carathéodory, C. (1907), "Uber den Variabilitätsbereich der Koeffizienten von Potenzreihen, die gegebene Werte nicht annehmen" (PDF) , Math. Аня. , 64 : 95-115, DOI : 10.1007 / bf01449883
• Дюрен, П.Л. (1983), Однолистные функции , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 259 , Springer-Verlag, ISBN 0-387-90795-5
• Herglotz, G. (1911), "Über Potenzreihen mit Positivem, reellen Teil im Einheitskreis", Ber. Верх. Sachs. Акад. Wiss. Лейпциг , 63 : 501–511
• Поммеренке, К. (1975), Однолистные функции, с главой о квадратичных дифференциалах Герда Йенсена , Studia Mathematica / Mathematische Lehrbücher, 15 , Vandenhoeck & Ruprecht CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Riesz, F. (1911), "Sur specifics systèmes singuliers d'équations intégrale", Ann. Sci. Éc. Норма. Супер. , 28 : 33-62, DOI : 10,24033 / asens.633