Теорема о доминирующей сходимости

В теории меры , Лебег «s мажорируемая сходимость теорема дает достаточные условия , при которых почти всюду сходимости из последовательности из функций следует сходимость в L ¹ норму. Его мощность и полезность - два основных теоретических преимущества интеграции Лебега перед интеграцией Римана .

В дополнение к частому появлению в математическом анализе и дифференциальных уравнений в частных, он широко используется в теории вероятностей , так как она дает достаточное условие сходимости ожидаемых значений от случайных величин .

Заявление [ править ]

Теорема Лебега о доминирующей сходимости. Пусть ( е _п ) последовательность комплексных -значных измеримых функций на пространстве с мерой ( S , a, μ) . Предположим, что последовательность поточечно сходится к функции f и доминирует некоторая интегрируемая функция g в том смысле, что

${\ Displaystyle | е_ {п} (х) | \ Leq г (х)}$

для всех чисел п в индексе наборе последовательности и все точки х ∈ S . Тогда f интегрируема (в смысле Лебега ) и

${\ Displaystyle \ lim _ {п \ к \ infty} \ int _ {S} | f_ {n} -f | \, d \ mu = 0}$

что также подразумевает

${\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} \ int _ {S} f_ {n} \, d \ mu = \ int _ {S} f \, d \ mu}$

Замечание 1. Утверждение « g интегрируема» означает, что измеримая функция g интегрируема по Лебегу; т.е.

${\ displaystyle \ int _ {S} | g | \, d \ mu <\ infty.}$

Замечание 2. Сходимость последовательности и доминирования г , может быть ослаблена , чтобы держать только μ- почти везде при условии , что пространство с мерой ( S , Σ, μ) является полным или F выбрана в качестве измеримой функции , которая согласуется μ-почти всюду μ-почти всюду существующий предел точечно. (Эти меры предосторожности необходимы, поскольку в противном случае может существовать без измеримого подмножества в виде μ-нуль множества N ∈ Е , следовательно , F может быть не измеримы.)

Замечание 3. Если μ ( S ) <∞, условие существования доминирующей интегрируемой функции g можно ослабить до равномерной интегрируемости последовательности ( f _n ), см. Теорему Витали о сходимости .

Замечание 4. Хотя f интегрируема по Лебегу, она, вообще говоря, не интегрируема по Риману . Например, пусть f _n определяется в [0,1] так, чтобы он был равен нулю везде, кроме рациональных чисел вида k / m, так что k и m взаимно просты и m> n. Ряд (f _n ) поточечно сходится к 0, поэтому f тождественно равен нулю, но | f _n -f | = f _n не интегрируем по Риману, поскольку его образ в каждом конечном интервале равен {0,1} и, следовательно, верхний и нижние интегралы Дарбу равны 1 и 0 соответственно.

Доказательство [ править ]

Без потери общности можно предположить, что f является действительным, потому что можно разделить f на его действительную и мнимую части (помните, что последовательность комплексных чисел сходится тогда и только тогда, когда сходятся ее действительные и мнимые аналоги) и применить неравенство треугольника в конце.

Теорема Лебега о доминируемой сходимости является частным случаем теоремы Фату – Лебега . Однако ниже приводится прямое доказательство, использующее лемму Фату как важный инструмент.

Поскольку f является поточечным пределом последовательности ( f _n ) измеримых функций, над которыми доминирует g , она также измерима и доминирует над g , следовательно, она интегрируема. Кроме того, (они понадобятся позже),

${\ displaystyle | f-f_ {n} | \ leq | f | + | f_ {n} | \ leq 2g}$

для всех n и

${\ displaystyle \ limsup _ {n \ to \ infty} | е-е_ {n} | = 0.}$

Второе из них тривиально верно (по самому определению f ). Используя линейность и монотонность интеграла Лебега ,

${\displaystyle \left|\int _{S}{f\,d\mu }-\int _{S}{f_{n}\,d\mu }\right|=\left|\int _{S}{(f-f_{n})\,d\mu }\right|\leq \int _{S}{|f-f_{n}|\,d\mu }.}$

По обратной лемме Фату (здесь мы используем тот факт, что | f - f _n | ограничена сверху интегрируемой функцией)

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu \leq \int _{S}\limsup _{n\to \infty }|f-f_{n}|\,d\mu =0,}$

откуда следует, что предел существует и равен нулю, т.е.

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

Наконец, поскольку

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left|\int _{S}fd\mu -\int _{S}f_{n}d\mu \right|\leq \lim _{n\to \infty }\int _{S}|f-f_{n}|\,d\mu =0.}$

у нас есть это

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}f_{n}\,d\mu =\int _{S}f\,d\mu .}$

Теорема следует.

Если предположения только держать μ-почти всюду, то существует μ-нуль множество N ∈ Σ , что функции F _п 1 _{S  \  N} удовлетворяют условиям всюду на  S . Тогда функция f ( x ), определяемая как поточечный предел f _n ( x ) для x ∈ S  \  N и как f ( x ) = 0 для x ∈ N, измерима и является поточечным пределом этой модифицированной функциональной последовательности. Эти изменения подынтегральных выражений на этом μ-нулевом множестве N не влияют на значения этих интегралов  , поэтому теорема остается в силе.

DCT выполняется, даже если f _n сходится к f по мере (конечной мере), а доминирующая функция неотрицательна почти всюду.

Обсуждение предположений [ править ]

Нельзя отказаться от предположения, что в последовательности доминирует некоторая интегрируемая g . Это можно увидеть следующим образом: определите f _n ( x ) = n для x в интервале (0, 1 / n ] и f _n ( x ) = 0 в противном случае. Любой g, который доминирует в последовательности, также должен доминировать над поточечной супремумом h = sup _n f _n . Заметим, что

${\displaystyle \int _{0}^{1}h(x)\,dx\geq \int _{\frac {1}{m}}^{1}{h(x)\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{h(x)\,dx}\geq \sum _{n=1}^{m-1}\int _{\left({\frac {1}{n+1}},{\frac {1}{n}}\right]}{n\,dx}=\sum _{n=1}^{m-1}{\frac {1}{n+1}}\to \infty \qquad {\text{as }}m\to \infty }$

расходимостью гармонического ряда . Следовательно, монотонность интеграла Лебега говорит нам, что не существует интегрируемой функции, которая доминирует в последовательности на [0,1]. Прямой расчет показывает, что интегрирование и поточечный предел не коммутируют для этой последовательности:

${\displaystyle \int _{0}^{1}\lim _{n\to \infty }f_{n}(x)\,dx=0\neq 1=\lim _{n\to \infty }\int _{0}^{1}f_{n}(x)\,dx,}$

потому что поточечный предел последовательности - нулевая функция . Обратите внимание, что последовательность ( f _n ) не является даже равномерно интегрируемой , следовательно, теорема о сходимости Витали не применима.

Теорема об ограниченной сходимости [ править ]

Одним из следствий теоремы о доминируемой сходимости является теорема об ограниченной сходимости , которая утверждает, что if ( f _n ) - это последовательность равномерно ограниченных комплексно- значных измеримых функций, которая поточечно сходится на пространстве с ограниченной мерой ( S , Σ, μ) (т. Е. в которой μ ( S ) конечно) в функцию f , то предел f является интегрируемой функцией и

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{S}{f_{n}\,d\mu }=\int _{S}{f\,d\mu }.}$

Замечание: поточечная сходимость и равномерная ограниченность последовательности может быть ослаблено , чтобы держать только μ- почти везде , при условии , что пространство с мерой ( S , E, μ) является полным или F выбрана в качестве измеримой функции , которое согласно μ-почти всюду μ-почти всюду существующий предел точечно.

Доказательство [ править ]

Поскольку последовательность равномерно ограничена, существует действительное число M такое, что | f _n ( x ) | ≤ M для всех x ∈ S и всех n . Определим г ( х ) = M для всех х ∈ S . Тогда в последовательности доминирует g . Кроме того, g интегрируем, поскольку это постоянная функция на множестве конечной меры. Следовательно, результат следует из теоремы о мажорируемой сходимости.

Если предположения только держать μ-почти всюду, то существует μ-нуль множество N ∈ Σ , что функции F _п 1 _{S \ N} удовлетворяют условиям всюду на  S .

Доминирующая сходимость в L ^p -пространствах (следствие) [ править ]

Пусть - пространство с мерой , 1 ≤ p <∞ - действительное число и ( f _n ) - последовательность -измеримых функций .${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {A}},\mu )}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle f_{n}:\Omega \to \mathbb {C} \cup \{\infty \}}$

Предположим, что последовательность ( f _n ) сходится µ-почти всюду к -измеримой функции f , и в ней доминирует a (см. Пространство Lp ), т. Е. Для любого натурального числа n мы имеем: | f _n | ≤ g , μ-почти всюду.${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle g\in L^{p}}$

Тогда все f _n, а также f находятся в, и последовательность ( f _n ) сходится к f в смысле , то есть:${\displaystyle L^{p}}$ L p {\displaystyle L^{p}}

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\|f_{n}-f\|_{p}=\lim _{n\to \infty }\left(\int _{\Omega }|f_{n}-f|^{p}\,d\mu \right)^{\frac {1}{p}}=0.}$

Идея доказательства: применить исходную теорему к последовательности функций с доминирующей функцией .${\displaystyle h_{n}=|f_{n}-f|^{p}}$${\displaystyle (2g)^{p}}$

Расширения [ править ]

Теорема о доминирующей сходимости применима также к измеримым функциям со значениями в банаховом пространстве , при этом доминирующая функция остается неотрицательной и интегрируемой, как указано выше. Предположение о сходимости почти всюду можно ослабить, потребовав сходимости только по мере .

Теорема о доминирующей сходимости применима также к условным ожиданиям. ^[1]

См. Также [ править ]

• Сходимость случайных величин , Сходимость в среднем
• Теорема о монотонной сходимости (не требует преобладания интегрируемой функции, но вместо этого предполагает монотонность последовательности)
• Лемма Шеффе
• Равномерная интегрируемость
• Теорема Витали о сходимости (обобщение теоремы Лебега о преобладающей сходимости)

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Бартл, Р.Г. (1995). Элементы интегрирования и меры Лебега . Wiley Interscience. ISBN 9780471042228.
• Ройден, HL (1988). Реальный анализ . Прентис Холл. ISBN 9780024041517.
• Вейр, Алан Дж. (1973). «Теоремы сходимости». Интегрирование и мера Лебега . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 93–118. ISBN 0-521-08728-7.
• Уильямс, Д. (1991). Вероятность с мартингалами . Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-40605-6. CS1 maint: discouraged parameter (link)
• Зиткович, Гордан (осень 2013 г.). «Лекция 10: Условное ожидание» (PDF) . Проверено 25 декабря 2020 года .