Равномерная интегрируемость

В математике равномерная интегрируемость является важным понятием в реальном анализе , функциональном анализе и теории меры и играет жизненно важную роль в теории мартингалов . Определение, используемое в теории меры, тесно связано с определением, обычно используемым в теории вероятностей, но не идентично ему.

Теоретико-мерное определение [ править ]

В учебниках по реальному анализу и теории меры часто используется следующее определение. ^[1]^[2]

Позвольте быть положительным пространством меры. Множество называется равномерно интегрируемым, если каждому соответствует такое, что ${\ displaystyle (X, {\ mathfrak {M}}, \ mu)}$ ${\ Displaystyle \ Phi \ подмножество L ^ {1} (\ mu)}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle \ delta> 0}$

{\ Displaystyle \ int _ {E} | е | \, d \ mu <\ varepsilon}

когда и ${\ displaystyle f \ in \ Phi}$ ${\ Displaystyle \ му (Е) <\ дельта.}$

Определение вероятности [ править ]

В теории вероятностей применяется следующее определение. ^[3]^[4]^[5]

Класс из случайных величин называется равномерно интегрируемой (UI) , если дано , то существует такое , что , где есть функция индикатора ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ Displaystyle К \ в [0, \ infty)}$ $\operatorname {E} (|X|I_{|X|\geq K})\leq \varepsilon \ {\text{ for all X}}\in {\mathcal {C}}$ $I_{|X|\geq K}$ $I_{|X|\geq K}={\begin{cases}1&{\text{if }}|X|\geq K,\\0&{\text{if }}|X|<K.\end{cases}}$
Альтернативное определение, включающее два предложения, может быть представлено следующим образом: Класс случайных величин называется равномерно интегрируемым, если: ${\mathcal {C}}$
- Там существует конечное такое , что для каждого дюйма , и $M$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $\operatorname {E} (|X|)\leq M$
- Для каждого существует такое , что для любого измеримого таким образом, что и каждый в , . $\varepsilon >0$ $\delta >0$ $A$ $P(A)\leq \delta$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $\operatorname {E} (|X|I_{A})\leq \varepsilon$

Два вероятностных определения эквивалентны. ^[6]

Связь между определениями [ править ]

Эти два определения тесно связаны. Вероятностное пространство - это пространство меры с полной мерой 1. Случайная величина - это измеримая функция с действительными значениями на этом пространстве, а математическое ожидание случайной величины определяется как интеграл этой функции относительно вероятностной меры. ^{[7] В} частности,

Позвольте быть вероятностным пространством. Пусть случайная величина - это измеримая вещественнозначная функция. Тогда ожидание определяется как $(\Omega ,{\mathcal {F}},P)$ $X$ ${\mathcal {F}}$ $X$

\operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,dP

при условии, что интеграл существует.

Тогда альтернативное вероятностное определение, приведенное выше, может быть переписано в терминах теории меры следующим образом: Набор действительных функций называется равномерно интегрируемым, если: ${\mathcal {C}}$

Там существует конечное такое , что для каждого дюйма , . $M$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $\int _{\Omega }|X|\,dP\leq M$
Для каждого существует такое , что для любого измеримого таким образом, что и для каждого дюйма , . $\varepsilon >0$ $\delta >0$ $A$ $P(A)\leq \delta$ $X$ ${\mathcal {C}}$ $\int _{A}|X|\,dP\leq \varepsilon$

Сравнение этого определения с приведенным выше определением теории меры показывает, что определение теории меры требует только, чтобы каждая функция была в . Другими словами, конечно для каждого , но не обязательно есть верхняя граница для значений этих интегралов. Напротив, вероятностное определение требует, чтобы интегралы имели верхнюю границу. $L^{1}(\mu )$ $\int _{X}f\,d\mu$ $f$

Одним из следствий этого является то, что равномерно интегрируемые случайные величины (согласно вероятностному определению) являются точными . То есть для каждого существует такое, что $\varepsilon >0$ $a>0$

P(|X|>a)<\varepsilon

для всех . ^[8] $X$

Напротив, равномерно интегрируемые функции (согласно определению теории меры) не обязательно являются точными. ^[9]

В своей книге Басс использует термин « равномерно абсолютно непрерывный» для обозначения наборов случайных величин (или функций), которые удовлетворяют второму пункту альтернативного определения. Однако это определение не требует, чтобы каждая из функций имела конечный интеграл. ^[10] Термин «равномерная абсолютная непрерывность» не является стандартным, но используется некоторыми другими авторами. ^[11]^[12]

Связанные следствия [ править ]

Следующие результаты относятся к вероятностному определению. ^[13]

Определение 1 можно переписать, взяв пределы как

\lim _{K\to \infty }\sup _{X\in {\mathcal {C}}}\operatorname {E} (|X|\,I_{|X|\geq K})=0.

Последовательность без пользовательского интерфейса. Пусть , и определим $\Omega =[0,1]\subset \mathbb {R}$

X_{n}(\omega )={\begin{cases}n,&\omega \in (0,1/n),\\0,&{\text{otherwise.}}\end{cases}}

Понятно , да и вообще для всех n . Тем не мение,

X_{n}\in L^{1}

\operatorname {E} (|X_{n}|)=1\ ,

\operatorname {E} (|X_{n}|,|X_{n}|\geq K)=1\ {\text{ for all }}n\geq K,

и сравнивая с определением 1, видно, что последовательность не является равномерно интегрируемой.

Последовательность RV без UI. Площадь под полосой всегда равна 1, но точечно.

X_{n}\to 0

Используя определение 2 в приведенном выше примере, можно увидеть, что первое предложение удовлетворяется, поскольку норма всех s равна 1, т. Е. Ограничена. Но второе предложение не имеет силы как дано положительное, есть интервал с мерой меньше, чем и для всех . $L^{1}$ $X_{n}$ $\delta$ $(0,1/n)$ $\delta$ $E[|X_{m}|:(0,1/n)]=1$ $m\geq n$
Если это случайная переменная пользовательского интерфейса , путем разделения $X$

\operatorname {E} (|X|)=\operatorname {E} (|X|,|X|>K)+\operatorname {E} (|X|,|X|<K)

и ограничивая каждый из двух, можно видеть, что равномерно интегрируемая случайная величина всегда ограничена в .

L^{1}

Если в любой последовательности случайных величин преобладает интегрируемая неотрицательная величина : то есть для всех ω и n , $X_{n}$ $Y$

\ |X_{n}(\omega )|\leq Y(\omega ),\ Y(\omega )\geq 0,\ \operatorname {E} (Y)<\infty ,

то класс случайных величин равномерно интегрируем.

{\mathcal {C}}

\{X_{n}\}

Класс случайных величин, ограниченный в ( ), равномерно интегрируем. $L^{p}$ $p>1$

Соответствующие теоремы [ править ]

Далее мы используем вероятностную структуру, но независимо от конечности меры, добавляя условие ограниченности для выбранного подмножества . $L^{1}(\mu )$

Теорема Данфорда - Петтиса ^[14]^[15]

Класс случайных величин равномерно интегрируем тогда и только тогда, когда он относительно компактен для слабой топологии .

X_{n}\subset L^{1}(\mu )

\sigma (L^{1},L^{\infty })

Теорема Валле-Пуссена ^[16]^[17]

Семейство равномерно интегрируемо тогда и только тогда, когда существует неотрицательная возрастающая выпуклая функция такая, что

\{X_{\alpha }\}_{\alpha \in \mathrm {A} }\subset L^{1}(\mu )

G(t)

\lim _{t\to \infty }{\frac {G(t)}{t}}=\infty {\text{ and }}\sup _{\alpha }\operatorname {E} (G(|X_{\alpha }|))<\infty .

Связь со сходимостью случайных величин [ править ]

Последовательность сходится к по норме тогда и только тогда, когда она сходится по мере к и равномерно интегрируема. С точки зрения вероятности, последовательность случайных величин, сходящихся по вероятности, также сходится в среднем тогда и только тогда, когда они равномерно интегрируемы. ^[18] Это обобщение теоремы Лебега о доминируемой сходимости , см. Теорему Витали о сходимости . $\{X_{n}\}$ $X$ $L_{1}$ $X$

Цитаты [ править ]

^ Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Сингапур: McGraw – Hill Book Co., стр. 133. ISBN. 0-07-054234-1. CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Ройден, HL и Фицпатрик, PM (2010). Реальный анализ (4-е изд.). Бостон: Прентис Холл. п. 93. ISBN 978-0-13-143747-0.
^ Уильямс, Дэвид (1997). Вероятность с мартингалами (Repr. Ed.). Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 126–132. ISBN 978-0-521-40605-5.
Перейти ↑ Gut, Allan (2005). Вероятность: аспирантура . Springer. С. 214–218. ISBN 0-387-22833-0.
^ Басс, Ричард Ф. (2011). Случайные процессы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 356–357. ISBN 978-1-107-00800-7.
Перейти ↑ Gut 2005 , p. 214.
Перейти ↑ Bass 2011 , p. 348.
Перейти ↑ Gut 2005 , p. 236.
^ Ройден и Фицпатрик 2010 , стр. 98.
Перейти ↑ Bass 2011 , p. 356.
Перейти ↑ Benedetto, JJ (1976). Реальная переменная и интеграция . Штутгарт: BG Teubner. п. 89. ISBN 3-519-02209-5. CS1 maint: discouraged parameter (link)
^ Burrill, CW (1972). Измерение, интеграция и вероятность . Макгроу-Хилл. п. 180. ISBN 0-07-009223-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Перейти ↑ Gut 2005 , pp. 215–216.
^ Данфорд, Нельсон (1938). «Равномерность в линейных пространствах» . Труды Американского математического общества . 44 (2): 305–356. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1938-1501971-X . ISSN 0002-9947 .
^ Данфорд, Нельсон (1939). «Средняя эргодическая теорема». Математический журнал герцога . 5 (3): 635–646. DOI : 10.1215 / S0012-7094-39-00552-1 . ISSN 0012-7094 .
Перейти ↑ Meyer, PA (1966). Вероятность и потенциалы , Blaisdell Publishing Co, Нью-Йорк (стр.19, теорема T22).
Перейти ↑ Poussin, C. De La Vallee (1915). "Sur L'Integrale de Lebesgue". Труды Американского математического общества . 16 (4): 435–501. DOI : 10.2307 / 1988879 . hdl : 10338.dmlcz / 127627 . JSTOR 1988879 .
↑ Богачев, Владимир I. (2007). Мера Теория Том I . Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 268. DOI : 10.1007 / 978-3-540-34514-5_4 . ISBN 978-3-540-34513-8.

Ссылки [ править ]

Ширяев, АН (1995). Вероятность (2-е изд.). Нью-Йорк: Springer-Verlag. С. 187–188. ISBN 978-0-387-94549-1. CS1 maint: discouraged parameter (link)
Дистель, Дж. И Уль, Дж. (1977). Векторные меры , Mathematical Surveys 15, Американское математическое общество, Провиденс, RI ISBN 978-0-8218-1515-1

[1] Рудин, Вальтер (1987). Реальный и комплексный анализ (3-е изд.). Сингапур: McGraw – Hill Book Co., стр. 133. ISBN. 0-07-054234-1. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[2] Ройден, HL и Фицпатрик, PM (2010). Реальный анализ (4-е изд.). Бостон: Прентис Холл. п. 93. ISBN 978-0-13-143747-0.

[3] Уильямс, Дэвид (1997). Вероятность с мартингалами (Repr. Ed.). Кембридж: Cambridge Univ. Нажмите. С. 126–132. ISBN 978-0-521-40605-5.

[4] Перейти ↑ Gut, Allan (2005). Вероятность: аспирантура . Springer. С. 214–218. ISBN 0-387-22833-0.

[5] Басс, Ричард Ф. (2011). Случайные процессы . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 356–357. ISBN 978-1-107-00800-7.

[FOOTNOTEGut2005214-6] Перейти ↑ Gut 2005 , p. 214.

[FOOTNOTEBass2011348-7] Перейти ↑ Bass 2011 , p. 348.

[FOOTNOTEGut2005236-8] Перейти ↑ Gut 2005 , p. 236.

[FOOTNOTERoyden_and_Fitzpatrick201098-9] Ройден и Фицпатрик 2010 , стр. 98.

[FOOTNOTEBass2011356-10] Перейти ↑ Bass 2011 , p. 356.

[11] Перейти ↑ Benedetto, JJ (1976). Реальная переменная и интеграция . Штутгарт: BG Teubner. п. 89. ISBN 3-519-02209-5. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[12] Burrill, CW (1972). Измерение, интеграция и вероятность . Макгроу-Хилл. п. 180. ISBN 0-07-009223-0. CS1 maint: discouraged parameter (link)

[FOOTNOTEGut2005215–216-13] Перейти ↑ Gut 2005 , pp. 215–216.

[14] Данфорд, Нельсон (1938). «Равномерность в линейных пространствах» . Труды Американского математического общества . 44 (2): 305–356. DOI : 10.1090 / S0002-9947-1938-1501971-X . ISSN 0002-9947 .

[15] Данфорд, Нельсон (1939). «Средняя эргодическая теорема». Математический журнал герцога . 5 (3): 635–646. DOI : 10.1215 / S0012-7094-39-00552-1 . ISSN 0012-7094 .

[16] Перейти ↑ Meyer, PA (1966). Вероятность и потенциалы , Blaisdell Publishing Co, Нью-Йорк (стр.19, теорема T22).

[17] Перейти ↑ Poussin, C. De La Vallee (1915). "Sur L'Integrale de Lebesgue". Труды Американского математического общества . 16 (4): 435–501. DOI : 10.2307 / 1988879 . hdl : 10338.dmlcz / 127627 . JSTOR 1988879 .

[18] Богачев, Владимир I. (2007). Мера Теория Том I . Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. п. 268. DOI : 10.1007 / 978-3-540-34514-5_4 . ISBN 978-3-540-34513-8.

[1]