Жесткость мер

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Март 2016 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , стеснение это понятие в теории меры . Интуитивная идея состоит в том, что данный набор мер не «ускользает в бесконечность ».

Определения [ править ]

Пусть будет хаусдорфовым , и пусть будет σ-алгебра на который содержит топологию . (Таким образом, каждое открытое подмножество из является измеримое множество , и , по крайней мере так хорошо , как в борелевской а-алгебры на .) Пусть некоторая совокупность (возможно , подписанных или комплексных ) мер , определенных на . Коллекция называется жесткой (или иногда равномерно плотно ) , если для любого существует компактное подмножество из таких , что для всех мер ,${\ displaystyle (X, T)}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ Sigma}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle \ varepsilon> 0}$ ${\ displaystyle K _ {\ varepsilon}}$${\ displaystyle X}$${\ displaystyle \ mu \ in M}$

${\ displaystyle | \ mu | (X \ setminus K _ {\ varepsilon}) <\ varepsilon.}$

где это полная вариация мера из . Очень часто речь идет о вероятностных мерах , поэтому последнюю часть можно записать как${\ displaystyle | \ mu |}$${\ displaystyle \ mu}$

${\displaystyle \mu (K_{\varepsilon })>1-\varepsilon .\,}$

Если плотный сборник состоит из одной меры , то (в зависимости от автора) можно сказать, что это жесткая мера или внутренняя регулярная мера .${\displaystyle M}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

Если это значная случайная величина которого распределение вероятностей на это жесткая мера , то это называется разъемная случайная величина или случайная величина Радона .${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

Примеры [ править ]

Компактные пространства [ править ]

Если - метризуемый компакт , то каждый набор (возможно, комплексных) мер на нем плотен. Это не обязательно так для неметризуемых компактных пространств. Если взять его порядковую топологию , то на нем существует мера , не являющаяся внутренней регулярной. Поэтому синглтон не туго.${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,\omega _{1}]}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \{\mu \}}$

Польские пространства [ править ]

Если - компактное польское пространство , то каждая вероятностная мера на точна. Более того, по теореме Прохорова набор вероятностных мер на является плотным тогда и только тогда, когда он предкомпактен в топологии слабой сходимости .${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Набор точечных масс [ править ]

Рассмотрим вещественную прямую с ее обычной борелевской топологией. Пусть будет обозначать меру Дирака , единичную массу в точке в . Коллекция${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \delta _{x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

${\displaystyle M_{1}:=\{\delta _{n}|n\in \mathbb {N} \}}$

не является плотным, поскольку компактные подмножества являются в точности замкнутыми и ограниченными подмножествами, и любое такое множество, поскольку оно ограничено, имеет нулевую -меру для достаточно больших . С другой стороны, коллекция${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \delta _{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle M_{2}:=\{\delta _{1/n}|n\in \mathbb {N} \}}$

туго: компактный интервал будет работать как любой . В общем, набор дельта-мер Дирака на является узким тогда и только тогда, когда набор их носителей ограничен.${\displaystyle [0,1]}$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

Сборник гауссовских мер [ править ]

Рассмотрим -мерное евклидово пространство с его обычной борелевской топологией и σ-алгеброй. Рассмотрим набор гауссовских мер${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \Gamma =\{\gamma _{i}|i\in I\},}$

где мера имеет математическое ожидание ( среднее значение ) и ковариационную матрицу . Тогда набор является плотным тогда и только тогда, когда оба набора и ограничены.${\displaystyle \gamma _{i}}$${\displaystyle m_{i}\in \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle C_{i}\in \mathbb {R} ^{n\times n}}$${\displaystyle \Gamma }$${\displaystyle \{m_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \{C_{i}|i\in I\}\subseteq \mathbb {R} ^{n\times n}}$

Плотность и конвергенция [ править ]

Плотность часто является необходимым критерием для доказательства слабой сходимости последовательности вероятностных мер, особенно когда пространство мер имеет бесконечную размерность . Видеть

• Конечномерное распределение
• Теорема Прохорова
• Метрика Леви – Прохорова
• Слабая сходимость мер
• Герметичность в классическом винеровском пространстве
• Герметичность в пространстве Скорохода

Экспоненциальная герметичность [ править ]

Усиление герметичности - это концепция экспоненциальной герметичности, которая имеет приложения в теории больших уклонений . Семейство вероятностных мер на Хаусдорфе топологического пространства называется экспоненциально жестким , если для любого существует такое компактное подмножество из таких , что${\displaystyle (\mu _{\delta })_{\delta >0}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle K_{\varepsilon }}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle \limsup _{\delta \downarrow 0}\delta \log \mu _{\delta }(X\setminus K_{\varepsilon })<-\varepsilon .}$

Ссылки [ править ]

• Биллингсли, Патрик (1995). Вероятность и мера . Нью-Йорк, Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-00710-2.
• Биллингсли, Патрик (1999). Сходимость вероятностных мер . Нью-Йорк, Нью-Йорк: ISBN John Wiley & Sons, Inc. 0-471-19745-9.
• Леду, Мишель; Талагранд, Мишель (1991). Вероятность в банаховых пространствах . Берлин: Springer-Verlag. С. xii + 480. ISBN 3-540-52013-9. MR 1102015 (См. Главу 2)