Общая вариация

В этой статье слишком много ссылок на первоисточники . Пожалуйста, улучшите это, добавив вторичные или третичные источники . ( Февраль 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В математике , в общей вариации идентифицирует несколько немного разные понятия, относящиеся к ( локальной или глобальной) структуры области значений в виде функции или меры . Для вещественнозначной непрерывной функции f , определенной на интервале [ a , b ] ⊂ R , ее полная вариация на интервале определения является мерой одномерной длины дуги кривой с параметрическим уравнением x ↦ f ( x ) , для x ∈ [а , б ]. Функции, полная вариация которых конечна, называются функциями ограниченной вариации .

Историческая справка

Понятие полной вариации для функций одной действительной переменной было впервые введено Камиллой Джордан в статье ( Jordan 1881 ). ^[1] Он использовал новую концепцию для того , чтобы доказать теорему о сходимости рядов Фурье от разрывных периодических функций которых вариация ограничена . Однако распространить эту концепцию на функции более чем одной переменной непросто по разным причинам.

Определения

Полная вариация для функций одной действительной переменной

Определение 1.1. Полная вариация из реальных -значной (или в более общем случае комплексе значная) функция , определенная на интервале является величиной${\ displaystyle f}$ ${\ Displaystyle [а, Ь] \ подмножество \ mathbb {R}}$

${\ displaystyle V_ {b} ^ {a} (f) = \ sup _ {\ mathcal {P}} \ sum _ {i = 0} ^ {n_ {P} -1} | f (x_ {i + 1 }) - f (x_ {i}) |,}$

где супремум пробегает множество всех разбиений данного интервала .${\ displaystyle {\ mathcal {P}} = \ left \ {P = \ {x_ {0}, \ dots, x_ {n_ {P}} \} \ mid P {\ text {является разделом}} [ яркий\}}$

Полная вариация для функций от n > 1 действительных переменных

Определение 1.2. Пусть Ω быть открытое подмножество в R ^н . С учетом функции F , принадлежащих к L ¹ ( Ом ), то общее изменение в F в Q , определяется как

${\displaystyle V(f,\Omega ):=\sup \left\{\int _{\Omega }f(x)\operatorname {div} \phi (x)\,\mathrm {d} x\colon \phi \in C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n}),\ \Vert \phi \Vert _{L^{\infty }(\Omega )}\leq 1\right\},}$

куда

• ${\displaystyle C_{c}^{1}(\Omega ,\mathbb {R} ^{n})}$это набор из непрерывно дифференцируемых вектор - функций из финитных , содержащихся в ,${\displaystyle \Omega }$
• ${\displaystyle \Vert \;\Vert _{L^{\infty }(\Omega )}}$является существенной нормой супремума , и
• ${\displaystyle \operatorname {div} }$- оператор дивергенции .

Это определение не требует , чтобы область определения данной функции была ограниченным множеством .${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$

Полная вариация в теории меры

Классическое определение полной вариации

Следуя Саксу (1937 , с. 10), рассмотрим знаковую меру на измеримом пространстве : тогда можно определить две функции множества и , соответственно, называемые верхним и нижним вариантами , следующим образом${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle (X,\Sigma )}$ ${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )}$

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\sup \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

${\displaystyle {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)=\inf \left\{\mu (A)\mid A\in \Sigma {\text{ and }}A\subset E\right\}\qquad \forall E\in \Sigma }$

четко

${\displaystyle {\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\geq 0\geq {\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\qquad \forall E\in \Sigma }$

Определение 1.3. Изменение (также называемое абсолютное изменение ) подписанного измерения является набор функций${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)+\left|{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,E)\right|\qquad \forall E\in \Sigma }$

а его полная вариация определяется как значение этой меры на всем пространстве определения, т. е.

${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X)}$

Современное определение нормы полной вариации

Сакс (1937 , стр. 11) использует верхнюю и нижнюю вариации для доказательства разложения Хана – Жордана : согласно его версии этой теоремы, верхняя и нижняя вариации являются, соответственно, неотрицательной и неположительной мерой . Используя более современные обозначения, определите

${\displaystyle \mu ^{+}(\cdot )={\overline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

${\displaystyle \mu ^{-}(\cdot )=-{\underline {\mathrm {W} }}(\mu ,\cdot )\,,}$

Тогда и - две неотрицательные меры такие, что${\displaystyle \mu ^{+}}$${\displaystyle \mu ^{-}}$

${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$

${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

Последнюю меру иногда называют, злоупотребляя обозначениями , мерой полной вариации .

Суммарная вариационная норма комплексных мер

Если мера является комплексной, т.е. является комплексной мерой , ее верхняя и нижняя вариации не могут быть определены, а теорема о разложении Хана – Жордана может применяться только к ее действительной и мнимой частям. Однако можно последовать примеру Рудина (1966 , стр. 137–139) и определить полную вариацию комплекснозначной меры следующим образом.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

Определение 1.4. Вариации в комплекснозначной меры является функция множества${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }|\mu (A)|\qquad \forall E\in \Sigma }$

где верхняя грань берется по всем разделам одного измеримого множества на счетное число непересекающихся измеримых подмножеств.${\displaystyle \pi }$ ${\displaystyle E}$

Это определение совпадает с приведенным выше определением для вещественнозначных мер со знаком.${\displaystyle |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}}$

Норма полной вариации векторнозначных мер

Определенная таким образом вариация является положительной мерой (см. Рудин (1966 , стр. 139)) и совпадает с вариацией, определенной в 1.3, когда является мерой со знаком : ее полная вариация определяется, как указано выше. Это определение работает также, если является векторной мерой : тогда вариация определяется по следующей формуле${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mu }$

${\displaystyle |\mu |(E)=\sup _{\pi }\sum _{A\in \pi }\|\mu (A)\|\qquad \forall E\in \Sigma }$

где супремум такой же, как указано выше. Это определение немного более общее, чем определение, данное Рудиным (1966 , стр. 138), поскольку оно требует только рассмотрения конечных разбиений пространства : это означает, что его можно использовать также для определения полной вариации конечно-аддитивных мер .${\displaystyle X}$

Полная вариация вероятностных мер

Полная вариация любой вероятностной меры равна единице, поэтому она не представляет интереса как средство исследования свойств таких мер. Однако, когда μ и ν являются вероятностными мерами , общее расстояние вариации вероятностных мер может быть определено как где норма - это общая норма вариации показателей со знаком. Используя свойство, что мы в конечном итоге приходим к эквивалентному определению${\displaystyle \|\mu -\nu \|}$${\displaystyle (\mu -\nu )(X)=0}$

${\displaystyle \|\mu -\nu \|=|\mu -\nu |(X)=2\sup \left\{\,\left|\mu (A)-\nu (A)\right|:A\in \Sigma \,\right\}}$

и его значения нетривиальны. Приведенный выше коэффициент обычно опускается (как это принято в статье о расстоянии полной вариации вероятностных мер ). Неформально, это наибольшая возможная разница между вероятностями, которые два распределения вероятностей могут назначить одному и тому же событию. Для категориального распределения можно записать полное расстояние вариации следующим образом${\displaystyle 2}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )=\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|\;.}$

Его также можно нормализовать до значений в , уменьшив вдвое предыдущее определение следующим образом${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle \delta (\mu ,\nu )={\frac {1}{2}}\sum _{x}\left|\mu (x)-\nu (x)\right|}$^{[2] [ неработающая ссылка ]}

Основные свойства

Полная вариация дифференцируемых функций

Общая вариация функции может быть выражена в виде интеграла с участием данной функции , а не как супремум из функционалов определений 1.1 и 1.2 .${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$${\displaystyle f}$

Форма полной вариации дифференцируемой функции одной переменной

Теорема 1. полную вариацию из дифференцируемой функции , определенной на интервале , имеет следующее выражение , если это Риман${\displaystyle f}$ ${\displaystyle [a,b]\subset \mathbb {R} }$${\displaystyle f'}$

${\displaystyle V_{b}^{a}(f)=\int _{a}^{b}|f'(x)|\mathrm {d} x}$

Вид полной вариации дифференцируемой функции многих переменных

Теорема 2. Для функции, определенной на ограниченном открытом множестве с классом , полная вариация функции имеет следующее выражение${\displaystyle C^{1}({\overline {\Omega }})}$${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \Omega \subseteq \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \partial \Omega }$${\displaystyle C^{1}}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle V(f,\Omega )=\int _{\Omega }\left|\nabla f(x)\right|\mathrm {d} x}$ .

Доказательство

Первый шаг в доказательстве - сначала доказать равенство, которое следует из теоремы Гаусса – Остроградского .

Лемма

В условиях теоремы имеет место равенство

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \varphi =-\int _{\Omega }\nabla f\cdot \varphi }$

Доказательство леммы

Из теоремы Гаусса – Остроградского :

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \mathbf {R} =\int _{\partial \Omega }\mathbf {R} \cdot \mathbf {n} }$

путем подстановки имеем:${\displaystyle \mathbf {R} :=f\mathbf {\varphi } }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=\int _{\partial \Omega }\left(f\mathbf {\varphi } \right)\cdot \mathbf {n} }$

где по определению равен нулю на границе :${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$${\displaystyle \Omega }$

${\displaystyle \int _{\Omega }\operatorname {div} \left(f\mathbf {\varphi } \right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\partial _{x_{i}}\left(f\mathbf {\varphi } _{i}\right)=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f+f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=0}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\partial _{x_{i}}\mathbf {\varphi } _{i}=-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } _{i}\partial _{x_{i}}f}$

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f}$

Доказательство равенства

В условиях теоремы из леммы имеем:

${\displaystyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } =-\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\leq \left|\int _{\Omega }\mathbf {\varphi } \cdot \nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\mathbf {\varphi } \right|\cdot \left|\nabla f\right|\leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

в последней части можно было бы опустить, потому что по определению его существенный супремум не более одного.${\displaystyle \mathbf {\varphi } }$

С другой стороны, мы рассматриваем и которое является с точностью до приближения in с тем же интегралом. Мы можем это сделать, так как он плотный . Теперь снова подставляем в лемму:${\displaystyle \theta _{N}:=-\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\mathbb {I} _{\{\nabla f\neq 0\}}{\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}}$${\displaystyle \theta _{N}^{*}}$${\displaystyle \varepsilon }$${\displaystyle \theta _{N}}$${\displaystyle C_{c}^{1}}$${\displaystyle C_{c}^{1}}$${\displaystyle L^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\lim _{N\to \infty }\int _{\Omega }f\operatorname {div} \theta _{N}^{*}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\{\nabla f\neq 0\}}\mathbb {I} _{\left[-N,N\right]}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\lim _{N\to \infty }\int _{\left[-N,N\right]\cap {\{\nabla f\neq 0\}}}\nabla f\cdot {\frac {\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}\\[4pt]&=\int _{\Omega }\left|\nabla f\right|\end{aligned}}}$

Это означает, что у нас есть сходящаяся последовательность, которая имеет тенденцию к тому, как мы это знаем . QED${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } }$${\textstyle \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$${\textstyle \int _{\Omega }f\operatorname {div} \mathbf {\varphi } \leq \int _{\Omega }\left|\nabla f\right|}$

Из доказательства видно, что супремум достигается, когда

${\displaystyle \varphi \to {\frac {-\nabla f}{\left|\nabla f\right|}}.}$

Функция называется быть ограниченной вариации точно , если ее полная вариация конечна.${\displaystyle f}$

Общая вариация меры

Полная вариация - это норма, определенная на пространстве мер ограниченной вариации. Пространство мер на σ-алгебре множеств является банаховым пространством , называемым КА-пространством , относительно этой нормы. Он содержится в большом банаховом пространстве, называемом ба-пространством , состоящем из конечно аддитивных (в отличие от счетно аддитивных) мер, также с той же нормой. Функция расстояния, связанная с нормой, дает общее расстояние вариации между двумя мерами μ и ν .

Для конечных мер на R связь между полной вариацией меры μ и полной вариацией функции, как описано выше, выглядит следующим образом. Для данного μ определим функцию следующим образом:${\displaystyle \varphi \colon \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$

${\displaystyle \varphi (t)=\mu ((-\infty ,t])~.}$

Тогда полное изменение меры со знаком µ равно полному изменению функции в указанном выше смысле . В общем, полная вариация знакопеременной меры могут быть определены с помощью теоремы разложения Джордана по${\displaystyle \varphi }$

${\displaystyle \|\mu \|_{TV}=\mu _{+}(X)+\mu _{-}(X)~,}$

для любой меры μ со знаком на измеримом пространстве .${\displaystyle (X,\Sigma )}$

Приложения

Общее изменение может рассматриваться как неотрицательный реальной -значная функционала , определенные на пространстве вещественных функций (для случая функций одной переменных) или на пространстве интегрируемых функций (для случая функций нескольких переменных) . Как функционал, полная вариация находит применения в нескольких областях математики и инженерии, таких как оптимальное управление , численный анализ и вариационное исчисление , где решение определенной проблемы должно минимизировать ее ценность. Например, использование функционала полной вариации является обычным в следующих двух типах задач.

• Численный анализ дифференциальных уравнений : это наука о нахождении приближенных решений дифференциальных уравнений . Применение полной вариации к этим задачам подробно описано в статье « Уменьшение полной вариации ».
• Шумоподавление изображения : при обработке изображения шумоподавление - это совокупность методов, используемых для уменьшения шума в изображении, восстановленном из данных, полученных с помощью электронных средств, например передачи данных или считывания . « Общее изменение шумодав » является именем для применения полной вариации к снижению шума изображения; более подробную информацию можно найти в статьях ( Rudin, Osher & Fatemi 1992 ) и ( Caselles, Chambolle & Novaga 2007 ). Разумное расширение этой модели на цветные изображения, называемое цветным телевизором, можно найти в ( Blomgren & Chan 1998 ).

Смотрите также

• Ограниченная вариация
• p-вариация
• Уменьшение общей вариации
• Полное изменение шумоподавления
• Квадратичная вариация
• Общее расстояние вариации вероятностных мер
• Тест Колмогорова – Смирнова
• Анизотропная диффузия

Примечания

Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Февраль 2012 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

Исторические ссылки

• Арцела, Чезаре (7 мая 1905 г.), «Sulle funzioni di due variabili a variazione limitata (О функциях двух переменных ограниченной вариации)» , Rendiconto delle Sessioni della Reale Accademia delle Scienze dell'Istituto di Bologna , Nuova serie (на итальянском языке) , IX (4): 100-107, JFM  36.0491.02 , архивируются с оригинала на 2007-08-07.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация Арзелы" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация Фреше" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация Харди" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация Пьерпона" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация Витали" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис И. (2001) [1994], "Вариация плоскости Тонелли" , Энциклопедия математики , EMS Press.
• Голубов, Борис I .; Витушкин, Анатолий Г. (2001) [1994], "Вариация функции" , Энциклопедия математики , EMS Press
• Иордания, Camille (1881), "Sur ла série - де - Фурье" , Comptes Rendus hebdomadaires де де l'сеансы Академии наук (на французском языке), 92 : 228-230, JFM  13.0184.01(доступно в Gallica ). По словам Бориса Голубова, это первая статья о функциях ограниченной вариации.
• Хан, Ханс (1921), Теорье дер reellen Funktionen (на немецком языке ), Berlin: Springer Verlag, стр VII + 600,. СУЛ  48.0261.09.
• Витали, Джузеппе (1908) [17 dicembre 1907], «Sui gruppi di punti e sulle funzioni di variabili reali (О группах точек и функциях действительных переменных)» , Atti dell'Accademia delle Scienze di Torino (на итальянском языке), 43 : 75-92, JFM  39.0101.05 , архивируются с оригинала на 2009-03-31. Статья, содержащая первое доказательство теоремы Витали о покрытии .

использованная литература

• Адамс, К. Раймонд; Кларксон, Джеймс А. (1933), «Об определениях ограниченной вариации функций двух переменных», Труды Американского математического общества , 35 (4): 824-854, DOI : 10,1090 / S0002-9947-1933-1501718- 2 , СУЛ  59.0285.01 , МР  1501718 , Zbl  +0008,00602.
• Чезари, Ламберто (1936), "Sulle funzioni variazione ограниченной (О функциях ограниченной вариации)" , Annali делла Скуола Normale Superiore , II (на итальянском), 5 (3-4): 299-313, СУЛ  62.0247.03 , Руководство по ремонту  1556778 , Zbl  0014.29605. Доступно в Numdam .

• Леони, Джованни (2017), Первый курс по пространствам Соболева: второе издание , аспирантура по математике, Американское математическое общество, стр. Xxii + 734, ISBN 978-1-4704-2921-8.
• Сакс, Станислава (1937), теория интеграла , Monografie Matematyczne , 7 (2 - й изд.), Варшава-Львы:. GE Stechert & Co., с VI + 347, СУЛ  63.0183.05 , МР  1556778 , Zbl  +0017,30004. (доступно в Польской виртуальной научной библиотеке ). Английский перевод с французского оригинала - Лоуренс Чисхолм Янг , с двумя дополнительными примечаниями Стефана Банаха .
• Рудин, Уолтер (1966), Реальный и комплексный анализ , Серия Макгроу-Хилла по высшей математике (1-е изд.), Нью-Йорк: МакГроу-Хилл, стр. Xi + 412, MR  0210528 , Zbl  0142.01701.

внешние ссылки

Одна переменная

• « Полная вариация » на PlanetMath .

Одна и несколько переменных

• Функция ограниченной вариации в энциклопедии математики

Теория меры

• Роуленд, Тодд. «Тотальная вариация» . MathWorld ..
• Разложение Джордана в PlanetMath ..
• Разложение Джордана в энциклопедии математики

Приложения

• Caselles, Vicent; Шамболь, Антонин; Новага, Маттео (2007), Множество разрывов решений проблемы шумоподавления на телевидении и некоторые расширения , SIAM , Multiscale Modeling and Simulation, vol. 6 п. 3, в архиве с оригинала на 2011-09-27(работа, посвященная применению полного изменения в шумоподавлении для обработки изображений ).

• Рудин, Леонид I .; Ошер, Стэнли; Фатеми, Эмад (1992), "Алгоритмы удаления шума на основе нелинейных полных вариаций", Physica D: нелинейные явления , Physica D: нелинейные явления 60.1: 259-268, 60 (1–4): 259–268, Bibcode : 1992PhyD .. .60..259R , DOI : 10.1016 / 0167-2789 (92) 90242-F ,.

• Бломгрен, Питер; Чан, Тони Ф. (1998), «Цветное телевидение: методы полного изменения для восстановления векторных изображений», IEEE Transactions on Image Processing , Image Processing, IEEE Transactions on, vol. 7, вып. 3: 304-309, 7 (3): 304, Bibcode : 1998ITIP .... 7..304B , DOI : 10,1109 / 83,661180.

• Тони Ф. Чан и Джеки (Цзяньхун) Шен (2005), Обработка и анализ изображений - вариационные, PDE, вейвлетные и стохастические методы , SIAM , ISBN 0-89871-589-X (с подробным описанием и обширными применениями Total Варианты современной обработки изображений, начатые Рудиным, Ошером и Фатеми).