Метризуемое пространство
В топологии и смежных областях математики метризуемое пространство — это топологическое пространство , гомеоморфное метрическому пространству . То есть топологическое пространство называется метризуемым, если существует такая метрика , что топология , индуцированная [1] [2] Теоремы о метризации — это теоремы , дающие достаточные условия для того, чтобы топологическое пространство было метризуемым.
Метризуемые пространства наследуют все топологические свойства метрических пространств. Например, они являются хаусдорфовыми паракомпактными пространствами (и, следовательно, нормальными и тихоновскими ) и счетными . Однако нельзя сказать, что некоторые свойства метрики, такие как полнота, наследуются. Это относится и к другим структурам, связанным с метрикой. Например, метризуемое равномерное пространство может иметь другой набор карт сжатия, чем метрическое пространство, которому оно гомеоморфно.
Одна из первых широко признанных теорем метризации былаТеорема Урысона о метризации . Это утверждает, что каждоерегулярное пространствосчетное по , метризуемо. Так, например, каждоемногообразие, метризуемо. (Историческое примечание: показанная здесь форма теоремы была фактически доказанаТихоновымв 1926г. В статье, опубликованной посмертно в 1925 г.,Урысон показал, что каждое нормальное хаусдорфово пространство со счетом секунд метризуемо). Обратное неверно: существуют метрические пространства, не счетные во вторую очередь, например, несчетное множество, наделенное дискретной метрикой. [3] ТеоремаНагаты–Смирнова о метризации, описанный ниже, дает более конкретную теорему, в которой верно обратное.
Несколько других теорем метризации следуют как простые следствия теоремы Урысона. Например, компактное хаусдорфово пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно счетно по секундам.
Теорему Урысона можно переформулировать так: топологическое пространство сепарабельно и метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и счетно. Теорема Нагаты–Смирнова обобщает это на несепарабельный случай. Он утверждает, что топологическое пространство метризуемо тогда и только тогда, когда оно регулярно, хаусдорфово и имеет σ-локально конечную базу. σ-локально конечная база — это база, представляющая собой объединение счетного числа локально конечных наборов открытых множеств. Тесно связанную теорему см. в теореме Бинга о метризации .
Сепарабельные метризуемые пространства также могут быть охарактеризованы как те пространства, которые гомеоморфны подпространству гильбертова куба , то есть счетному бесконечному произведению единичного интервала (с его естественной топологией подпространства из вещественных чисел) на себя, наделенного топологией произведения .
