В дальнейшем обозначает -алгебра борелевских множеств на.
Теорема - лемма Фату. Учитывая пространство меры и набор позволять быть последовательностью -измеримые неотрицательные функции . Определите функцию установив для каждого .
потом является -измеримые, а также , где интегралы могут быть бесконечными .
Лемма Фату остается верной, если выполнены ее предположения. -почти всюду. Другими словами, достаточно наличия нулевого набора такая, что последовательность без понижения за каждый Чтобы убедиться в этом, обратите внимание, что интегралы, фигурирующие в лемме Фату, не изменятся, если мы изменим каждую функцию на.
Доказательство
Лемма Фату не требует теоремы о монотонной сходимости , но ее можно использовать для быстрого доказательства. Доказательство непосредственно из определений интегралов приводится ниже.
В каждом случае доказательство начинается с анализа свойств . Они удовлетворяют:
- последовательность является точечно не убывает при любом х и
- , .
С , сразу видно, что f измерима.
С помощью теоремы о монотонной сходимости
Более того,
По теореме о монотонной сходимости и свойству (1) предел и интеграл можно поменять местами:
где на последнем шаге использовано свойство (2).
Из «первых принципов»
Чтобы продемонстрировать, что теорема о монотонной сходимости не «скрыта», в приведенном ниже доказательстве не используются никакие свойства интеграла Лебега, кроме установленных здесь.
Обозначим через набор простых -измеримые функции такой, что на .
Монотонность -
- Если везде на тогда
- Если а также тогда
- Если f неотрицательно и, где неубывающая цепочка -измеримые множества, то
Доказательство -
1. Поскольку у нас есть
По определению интеграла Лебега и свойствам супремума
2. Пусть быть индикаторной функцией множества Из определения интеграла Лебега можно вывести, что
если мы это заметим, для каждого снаружи В сочетании с предыдущим свойством неравенство подразумевает
3. Сначала отметим, что утверждение верно, если f - индикаторная функция множества, в силу монотонности мер . По линейности это также немедленно влечет утверждение для простых функций.
Поскольку любая простая функция, поддерживаемая на S n , проста и поддерживается на X , мы должны иметь
- .
Наоборот, предположим, что g ∈ SF ( f ) с Согласно вышеизложенному,
Теперь обратимся к основной теореме
Доказательство -
Напомним замкнутые интервалы порождают в Бореля сг - алгебра . Таким образом, достаточно показать, что для каждого, что . Теперь заметьте, что
Каждый набор справа взят из , замкнутая относительно счетных пересечений. Таким образом, левая часть также входит в состав.
Аналогично достаточно проверить, что , для каждого . Поскольку последовательность поточечные неубывания,
- .
Шаг 2 - Учитывая простую функцию и реальное число , определять
потом , , а также .
Доказательство -
Шаг 2а. Чтобы доказать первое утверждение, запись ев в виде взвешенной суммы индикаторных функций из непересекающихся множеств :
- .
потом
- .
Поскольку прообраз множества Бореля под измеримой функцией измеримо, и -алгебры замкнуты относительно конечных пересечений и объединений, следует первое утверждение.
Шаг 2б. Чтобы доказать второе утверждение, отметим, что для каждого и каждый ,
Шаг 2c. Чтобы доказать третье утверждение, предположим от противного, что существует
потом , для каждого . Принимая предел как,
Это противоречит нашему первоначальному предположению, что .
Шаг 3 - От шага 2 и монотонности,
Шаг 4 - Для каждого,
- .
Доказательство -
Действительно, используя определение , неотрицательность , и монотонность интеграла Лебега, имеем
- .
В соответствии с шагом 4, поскольку неравенство становится
- .
Принимая предел как дает
- ,
как требуется.
Шаг 5 - Для завершения доказательства применим определение интеграла Лебега к неравенству, установленному на шаге 4, и учтем, что:
Доказательство завершено.
Подходящее предположение о негативных частях последовательности F 1 , F 2 ,. . . функций необходимо для леммы Фату, как показывает следующий пример. Обозначим через S полупрямую [0, ∞) с борелевской σ-алгеброй и мерой Лебега. Для каждого натурального числа n определим
Эта последовательность сходится равномерно на S к нулевой функции, и предел 0 достигается за конечное число шагов: для любого x ≥ 0, если n > x , то f n ( x ) = 0. Однако любая функция f n имеет интеграл −1. Вопреки лемме Фату это значение строго меньше интеграла от предела (0).
Как обсуждается в § Расширения и вариации леммы Фату ниже, проблема в том, что не существует равномерной интегрируемой оценки последовательности снизу, а 0 - это равномерная оценка сверху.
Пусть F 1 , F 2 ,. . . - последовательность расширенных вещественнозначных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой ( S , Σ , μ ). Если существует неотрицательная интегрируемая функция g на S такая, что f n ≤ g для всех n , то
Примечание: здесь g интегрируемый означает, что g измеримо и что.
Эскиз доказательства
Применим линейность интеграла Лебега и леммы Фату к последовательности С эта последовательность определена -почти везде и неотрицательно.
Интегрируемая нижняя граница
Пусть F 1 , F 2 ,. . . - последовательность расширенных вещественнозначных измеримых функций, определенных на пространстве с мерой ( S , Σ , μ ). Если существует интегрируемая функция g на S такая, что f n ≥ - g для всех n , то
Доказательство
Примените лемму Фату к неотрицательной последовательности, заданной f n + g .
Поточечная сходимость
Если в предыдущей установке последовательность F 1 , F 2 ,. . . поточечно сходится к функции f μ - почти всюду на S , то
Доказательство
Обратите внимание , что е должен согласиться с пределом нижней функции F п почти всюду, и что значения подынтегральной на множестве нулевой меры не оказывают никакого влияния на величину интеграла.
Сходимость по мере
Последнее утверждение справедливо, если последовательность F 1 , F 2 ,. . . сходится по мере к функции f .
Доказательство
Существует подпоследовательность такая, что
Поскольку эта подпоследовательность также сходится по мере к f , существует еще одна подпоследовательность, которая поточечно сходится к f почти всюду, поэтому предыдущая вариация леммы Фату применима к этой подпоследовательности.
Лемма Фату с различными мерами.
Во всех приведенных выше утверждениях леммы Фату интегрирование проводилось по одной фиксированной мере μ. Предположим, что μ n - последовательность мер на измеримом пространстве ( S , Σ ) такая, что (см. Сходимость мер )
Тогда, когда f n неотрицательных интегрируемых функций и f является их поточечным пределом ниже, мы имеем
Доказательство |
---|
Мы докажем здесь кое-что посильнее. А именно, мы позволим f n сходиться μ- почти всюду на подмножестве E в S. Мы стремимся показать, что
Позволять - .
Тогда μ (EK) = 0 и
Таким образом, заменяя E на EK, мы можем считать, что f n сходится к f поточечно на E. Далее заметим, что для любой простой функции φ имеем
Следовательно, по определению интеграла Лебега достаточно показать, что если φ - любая неотрицательная простая функция, меньшая или равная f, то
Пусть a - минимальное неотрицательное значение φ. Определять
Рассмотрим сначала случай, когда . Мы должны иметь, что μ (A) бесконечно, поскольку
где M - (обязательно конечное) максимальное значение, которого достигает φ . Далее мы определяем
У нас есть это
Но A n - это вложенная возрастающая последовательность функций и, следовательно, по непрерывности снизу μ , - .
Таким образом, - .
В то же время,
доказывая претензию в этом случае. Оставшийся случай - это когда . Мы должны иметь конечность μ (A) . Обозначим, как и выше, через M максимальное значение φ и зафиксируем ε> 0. Определять
Тогда A n - это вложенная возрастающая последовательность множеств, объединение которых содержит A. Таким образом, AA n - это убывающая последовательность множеств с пустым пересечением. Поскольку A имеет конечную меру (вот почему нам нужно было рассмотреть два отдельных случая),
Таким образом, существует n такое, что
Следовательно, поскольку
существует такое N, что
Следовательно, для
В то же время,
Следовательно,
Комбинирование этих неравенств дает
Следовательно, переводя ε в 0 и взяв предел по n, мы получаем, что
завершая доказательство. |
В теории вероятностей путем изменения обозначений приведенные выше версии леммы Фату применимы к последовательностям случайных величин X 1 , X 2 ,. . . определен на вероятностном пространстве ; интегралы превращаются в ожидания . Кроме того, есть еще версия для условных ожиданий .
Стандартная версия
Пусть X 1 , X 2 ,. . . последовательность неотрицательных случайных величин на вероятностном пространстве и разреши - под- σ-алгебра . потом
- почти наверняка .
Примечание. Условное ожидание для неотрицательных случайных величин всегда четко определено, конечное ожидание не требуется.
Доказательство
Помимо изменения обозначений, доказательство очень похоже на доказательство стандартной версии леммы Фату выше, однако необходимо применить теорему о монотонной сходимости для условных ожиданий .
Пусть X обозначает нижний предел X n . Для каждого натурального числа k определим поточечно случайную величину
Тогда последовательность Y 1 , Y 2 ,. . . возрастает и сходится к точечно X . Для k ≤ n имеем Y k ≤ X n , так что
- почти наверняка
по монотонности условного ожидания , следовательно ,
- почти наверняка,
потому что счетное объединение исключительных множеств с нулевой вероятностью снова является нулевым множеством . Используя определение X , его представление как поточечный предел Y k , теорему о монотонной сходимости для условных ожиданий, последнее неравенство и определение нижнего предела, следует, что почти наверняка
Распространение на равномерно интегрируемые отрицательные части
Пусть X 1 , X 2 ,. . . последовательность случайных величин на вероятностном пространстве и разреши - под- σ-алгебра . Если отрицательные части
равномерно интегрируемы относительно условного математического ожидания в том смысле, что для ε > 0 существует c > 0 такое, что
- ,
тогда
- почти наверняка.
Примечание: на съемочной площадке, где
удовлетворяет
левая часть неравенства считается равной плюс бесконечности. Условное ожидание нижнего предела может быть плохо определено на этом наборе, потому что условное ожидание отрицательной части также может быть плюс бесконечность.
Доказательство
Пусть ε > 0. В силу равномерной интегрируемости относительно условного математического ожидания существует c > 0 такое, что
С
где x + : = max { x , 0} обозначает положительную часть действительного x , монотонность условного ожидания (или указанное выше соглашение) и стандартная версия леммы Фату для условных ожиданий подразумевает
- почти наверняка.
С
у нас есть
- почти наверняка,
следовательно
- почти наверняка.
Отсюда следует утверждение.