В математике , то изображение из функции является множество всех выходных значений оно может произвести.
В более общем плане , оценивая данную функцию п на каждом элементе данного подмножества A своей области производит набор, называемый « образ из А под (или через) F ». Аналогичным образом , прообраз (или прообраз ) данное подмножество B из области значений из F , представляет собой совокупность всех элементов области , что карта для членов B .
Изображение и инверсное изображение также могут быть определены для общих бинарных отношений , а не только для функций.
Определение
Слово «изображение» используется тремя взаимосвязанными способами. В этих определениях, F : X → Y является функцией от множества X на множество Y .
Изображение элемента
Если х является членом X , то образ х при е , обозначим е ( х ), [1] это значение из F , когда применяется к х. f ( x ) также известен как результат f для аргумента x .
Изображение подмножества
Образ подмножества A ⊆ X при f , обозначаемый, является подмножеством Y, которое может быть определено с использованием следующей нотации построителя множеств : [2] [3]
Когда нет риска запутаться, просто записывается как . Это обычное соглашение; предполагаемое значение должно быть выведено из контекста. Это делает F [.] Функция, домен представляет собой набор мощности из X (множество всех подмножеств из X ), и чей кообласть есть множество сила Y . Подробнее см. § Обозначения ниже.
Изображение функции
Изображение функции является изображением всей его области , также известной как диапазон функции. [4] Это использование следует избегать , поскольку слова «диапазон» также широко используется для обозначения кообласти из F .
Обобщение на бинарные отношения
Если R - произвольное бинарное отношение на X × Y , то множество {y∈ Y | хКа для некоторых х ∈ Х } называется изображение, или диапазон, в R . Двойственно множество { x ∈ X | хКа для некоторого y∈ Y } называется область R .
Обратное изображение
Пусть F является функцией от X до Y . Прообраз или прообраз некоторого множество B ⊆ Y при F , обозначается, - подмножество X, определяемое
Другие обозначения включают f −1 ( B ) [5] и f - ( B ) . [6] Обратное изображение одноточечного , обозначим через F -1 [{ у }] , или F -1 [ г ], также называют волокна или волокна над у или множества уровня от у . Множество всех слоев над элементами Y представляет собой семейство множеств , индексированных Y .
Например, для функции f ( x ) = x 2 прообраз {4} будет {−2, 2}. Опять же, если нет риска путаницы, f −1 [ B ] можно обозначить как f −1 ( B ), а f −1 также можно рассматривать как функцию от набора степеней Y к множеству степеней X . Обозначение f −1 не следует путать с обозначением обратной функции , хотя оно совпадает с обычным обозначением для биекций в том смысле, что прообраз B при f является образом B при f −1 .
Обозначения для изображения и инверсии
Традиционные обозначения, использованные в предыдущем разделе, могут сбивать с толку. Альтернативный вариант [7] - дать явные имена для изображения и прообраза как функции между наборами степеней:
Обозначение стрелки
- с участием
- с участием
Обозначение звезд
- вместо
- вместо
Другая терминология
- Альтернативная обозначение F [ ] используется в математической логике и теории множеств является F " A . [8] [9]
- Некоторые тексты относятся к образу е в пределах е , но это использование следует избегать , так как слова «диапазон» также часто используется для обозначения кообласти о е .
Примеры
- f : {1, 2, 3} → { a, b, c, d } определеноИзображение множества {2, 3} при F является F ({2, 3}) = { а, с }. Изображение функции F является { а, с }. Прообразом из является F -1 ({ }) = {1, 2}. Прообраз из { а, Ь } также {1, 2}. Прообраз { b , d } - это пустое множество {}.
- f : R → R определяется как f ( x ) = x 2 . Изображения из {-2, 3} при F является F ({-2, 3}) = {4, 9}, и изображение из F является R + (множество всех положительных действительных чисел и ноль). Прообразом из {4, 9} при F является F -1 ({4, 9}) = {-3, -2, 2, 3}. Прообраз множества N = { n ∈ R | n <0} под f - это пустой набор, потому что отрицательные числа не имеют квадратных корней в наборе действительных чисел.
- f : R 2 → R определяется как f ( x , y ) = x 2 + y 2 . Волокна F -1 ({ }) являются концентрические круги о происхождении , самого происхождения, и пустое множество , в зависимости от того , > 0, в = 0, или в <0, соответственно. (если a > 0, то слой f −1 ({ a }) - это множество всех ( x , y ) ∈ R 2, удовлетворяющих уравнению концентрического кольца в начале координат x 2 + y 2 = a .)
- Если М является многообразием и π : ТМ → М является канонической проекцией из касательного расслоения ТМ на М , то волокна из П являются касательные пространства Т х ( М ) для х ∈ M . Это также пример пучка волокон .
- Фактор - группа является гомоморфным.
Характеристики
Контрпримеры на основе реальных чисел определяется показывая, что равенство, как правило, не обязательно для некоторых законов: |
---|
Общий
Для каждой функции и все подмножества а также выполняются следующие свойства:
Изображение | Прообраз |
---|---|
(равно, если , например сюръективно) [10] [11] | (равно, если инъективно) [10] [11] |
[10] | |
[12] | [12] |
[12] | [12] |
Также:
Множественные функции
Для функций а также с подмножествами а также выполняются следующие свойства:
Множественные подмножества домена или кодомена
Для функции и подмножества а также выполняются следующие свойства:
Изображение | Прообраз |
---|---|
[12] [13] | |
[12] [13] (равно, еслиинъективно [14] ) | |
[12] (равно, еслиинъективно [14] ) | [12] |
(равно, если инъективно) |
Результаты, связывающие изображения и прообразы с ( булевой ) алгеброй пересечения и объединения, работают для любого набора подмножеств, а не только для пар подмножеств:
(Здесь S может быть бесконечным, даже бесконечно бесконечным .)
Относительно алгебры подмножеств, описанной выше, функция обратного изображения является решеточным гомоморфизмом , в то время как функция изображения является только полурешеточным гомоморфизмом (т. Е. Она не всегда сохраняет пересечения).
Смотрите также
- Биекция, инъекция и сюръекция
- Изображение (теория категорий)
- Ядро функции
- Установить инверсию
Заметки
- ^ «Сборник математических символов» . Математическое хранилище . 2020-03-01 . Проверено 28 августа 2020 .
- ^ «5.4: Функции и образы / прообразы множеств» . Математика LibreTexts . 2019-11-05 . Проверено 28 августа 2020 .
- ^ Пол Р. Халмос (1968). Наивная теория множеств . Принстон: Ностранд. Здесь: раздел 8
- ^ Вайсштейн, Эрик В. «Изображение» . mathworld.wolfram.com . Проверено 28 августа 2020 .
- ^ «Исчерпывающий список символов алгебры» . Математическое хранилище . 2020-03-25 . Проверено 28 августа 2020 .
- ^ Dolecki & Mynard 2016 , стр. 4-5.
- Перейти ↑ Blyth 2005 , p. 5.
- ^ Жан Э. Рубин (1967). Теория множеств для математика . Холден-Дэй. п. xix. ASIN B0006BQH7S .
- ^ М. Рэндалл Холмс: Неоднородность мочеточников в обычных моделях NFU , 29 декабря 2005 г., на: Semantic Scholar, p. 2
- ^ a b c См. Halmos 1960 , p. 39
- ^ a b См. Munkres 2000 , p. 19
- ^ a b c d e f g h См. стр.388 Lee, John M. (2010). Введение в топологические многообразия, 2-е изд.
- ^ а б Келли 1985 , стр. 85
- ^ a b См. Munkres 2000 , p. 21 год
Рекомендации
- Артин, Майкл (1991). Алгебра . Прентис Холл. ISBN 81-203-0871-9.
- Блит, Т.С. (2005). Решетки и упорядоченные алгебраические структуры . Springer. ISBN 1-85233-905-5..
- Долецкий, Шимон ; Майнард, Фредерик (2016). Основы сходимости топологии . Нью-Джерси: Всемирная научная издательская компания. ISBN 978-981-4571-52-4. OCLC 945169917 .
- Халмос, Пол Р. (1960). Теория наивных множеств . Университетская серия по математике. Компания ван Ностранд. Zbl 0087.04403 .
- Келли, Джон Л. (1985). Общая топология . Тексты для выпускников по математике . 27 (2-е изд.). Birkhäuser. ISBN 978-0-387-90125-1.
- Мункрес, Джеймс Р. (2000). Топология (Второе изд.). Верхний Saddle River, NJ : Prentice Hall, Inc . ISBN 978-0-13-181629-9. OCLC 42683260 .
Эта статья включает в себя материал из Fiber on PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .