В математике двойственность Понтрягина - это двойственность между локально компактными абелевыми группами, которая позволяет обобщить преобразование Фурье на все такие группы, которые включают группу окружности (мультипликативная группа комплексных чисел по модулю один), конечные абелевы группы (с дискретной топологией) , а также аддитивная группа целых чисел (также с дискретной топологией), действительные числа и любое конечномерное векторное пространство над вещественными числами или p -адическим полем .
Понтрягинский двойного локально компактной абелевой группы, является группа , образованная непрерывными гомоморфизмами группы из группы к группе окружности. Теорема двойственности Понтрягина устанавливает двойственность Понтрягина, утверждая, что любая локально компактная абелева группа естественным образом изоморфна своему бидуалу (двойственному к своей двойственной). Теорема обращения Фурье является частным случаем этой теоремы.
Тема названа в честь Льва Понтрягина , заложившего основы теории локально компактных абелевых групп и их двойственности во время своих ранних математических работ в 1934 году. В трактовке Понтрягина учитывалась счетность второй группы, компактность или дискретность. Это было улучшено Эгбертом ван Кампеном в 1935 г. и Андре Вейлем в 1940 г. для покрытия общих локально компактных абелевых групп .
Вступление
Двойственность Понтрягина помещает в единый контекст ряд наблюдений о функциях на вещественной прямой или о конечных абелевых группах:
- Подходящие регулярные комплекснозначные периодические функции на вещественной прямой имеют ряды Фурье, и эти функции могут быть восстановлены из их рядов Фурье;
- Подходящие регулярные комплекснозначные функции на действительной прямой имеют преобразования Фурье, которые также являются функциями на действительной прямой, и, как и для периодических функций, эти функции могут быть восстановлены из их преобразований Фурье; а также
- Комплекснозначные функции на конечной абелевой группе имеют дискретные преобразования Фурье , которые являются функциями на двойственной группе , которая является (неканонически) изоморфной группой. Более того, любую функцию на конечной абелевой группе можно восстановить с помощью ее дискретного преобразования Фурье.
Теория, введенный Л. С. Понтрягина и в сочетании с мерой Хаара , введенной Джоном фон Нейманом , Вейль и другие , зависит от теории двойственной группы в виде локально компактной абелевой группы.
Это аналогично двойственному векторному пространству векторного пространства: конечномерное векторное пространство V и его двойственное векторное пространство V * естественно не изоморфны, но алгебра эндоморфизмов (матричная алгебра) одного изоморфна противоположному эндоморфизму алгебра другого:через транспонирование. Аналогично группа G и двойственная к ней группа в общем случае не изоморфны, но их кольца эндоморфизмов противоположны друг другу: . Более категорично, это не просто изоморфизм алгебр эндоморфизмов, а контравариантная эквивалентность категорий - см. Категорические соображения .
Определение
Топологическая группа является локально компактной группой , если топологическое пространство локально компактно и хаусдорфово ; топологическая группа абелева, если основная группа абелева . Примеры локально компактных абелевых групп включают конечные абелевы группы, целые числа (как для дискретной топологии , которая также индуцируется обычной метрикой), действительные числа, круговую группу T (обе с их обычной метрической топологией), а также p -адические числа (с их обычной p -адической топологией).
Для локально компактной абелевой группы G двойственной по Понтрягину группе является группанепрерывных гомоморфизмов группы из G к окружности группы Т . Это,
Понтрягин дуал обычно наделен топологией, задаваемой равномерной сходимостью на компактах (то есть топологией, индуцированной компактно-открытой топологией на пространстве всех непрерывных функций из к ).
Например,
Теорема двойственности Понтрягина
- Теорема. [1] [2] Существует канонический изоморфизм между любой локально компактной абелевой группой и его двойной дуал.
Канонический означает, что существует естественно определенная карта ; что еще более важно, карта должна быть функториальной в. Канонический изоморфизм определяется на следующим образом:
Другими словами, каждый элемент группы идентифицируется с оценочным персонажем на дуальном. Это сильно аналогично каноническому изоморфизму между конечномерным векторным пространством и его двойным двойным ,, и стоит отметить, что любое векторное пространство является абелевой группой . Если конечная абелева группа, то но этот изоморфизм не каноничен. Чтобы сделать это утверждение точным (в общем), необходимо подумать о дуализации не только на группах, но и на отображениях между группами, чтобы рассматривать дуализацию как функтор и доказать, что функтор тождества и функтор дуализации не являются естественно эквивалентными. Также из теоремы двойственности следует, что для любой группы (не обязательно конечной) функтор дуализации является точным функтором.
Двойственность Понтрягина и преобразование Фурье
Мера Хаара
Один из самых замечательных фактов о локально компактной группе G является то , что она несет в себе , по существу уникальную природную меру , в меру Хаара , что позволяет один последовательно измерять «размер» достаточно регулярных подмножеств G . «Достаточно регулярное подмножество» здесь означает борелевское множество ; то есть элемент σ-алгебры, порожденный компактами . Более точно, правая мера Хаара на локально компактной группе G - это счетно-аддитивная мера μ, определенная на борелевских множествах группы G, которая инвариантна справа в том смысле, что μ ( Ax ) = μ ( A ) для x - элемента группы G и A является борелевским подмножеством G и также удовлетворяет некоторым условиям регулярности (подробно изложенным в статье о мере Хаара ). За исключением положительных масштабных коэффициентов мера Хаара на G единственна.
Мера Хаара на G позволяет нам определить понятие интеграла для ( комплекснозначных ) борелевских функций, определенных на группе. В частности, можно рассматривать различные L p- пространства, ассоциированные с мерой Хаара µ. Конкретно,
Заметим, что, поскольку любые две меры Хаара на G равны с точностью до масштабного множителя, это L p -пространство не зависит от выбора меры Хаара и, следовательно, может быть записано как L p (G) . Однако L p -норма в этом пространстве зависит от выбора меры Хаара, поэтому, если кто-то хочет говорить об изометриях, важно отслеживать используемую меру Хаара.
Преобразование Фурье и формула обращения Фурье для L 1 -функций
Двойственная группа локально компактной абелевой группы используется в качестве основного пространства для абстрактной версии преобразования Фурье . Если, то преобразование Фурье - это функция на определяется
где интеграл относительно меры Хаара на . Это также обозначается. Обратите внимание, что преобразование Фурье зависит от выбора меры Хаара. Нетрудно показать, что преобразование Фурье функционировать на - ограниченная непрерывная функция на который исчезает на бесконечности .
- Формула обращения Фурье для -Функции. Для каждой меры Хаара на существует единственная мера Хаара на так что всякий раз, когда а также , у нас есть
- Если непрерывно, то это тождество выполняется для всех .
Обратное преобразование Фурье интегрируемой функции на дан кем-то
где интеграл относительно меры Хаара на дуальной группе . Мера на фигурирующая в формуле обращения Фурье, называется двойственной мерой к и может быть обозначен .
Различные преобразования Фурье можно классифицировать с точки зрения их области определения и области преобразования (группа и двойственная группа) следующим образом (обратите внимание, что это группа Круг ):
Преобразовать | Исходный домен | Преобразовать домен | Мера |
---|---|---|---|
преобразование Фурье | |||
Ряд Фурье | |||
Дискретное преобразование Фурье (ДВПФ) | |||
Дискретное преобразование Фурье (ДПФ) |
В качестве примера предположим , так что мы можем думать о в виде спариванием Если - мера Лебега на евклидовом пространстве, получаем обычное преобразование Фурье наи двойственная мера, необходимая для формулы обращения Фурье, есть. Если мы хотим получить формулу обращения Фурье с одинаковой мерой с обеих сторон (то есть, поскольку мы можем думать о как собственное двойное пространство, мы можем попросить в равной ) то нам нужно использовать
Однако, если мы изменим способ идентификации с его дуальной группой, используя спаривание
то мера Лебега на равняется своей собственной двойственной мере . Это соглашение сводит к минимуму количество факторовкоторые появляются в разных местах при вычислении преобразований Фурье или обратных преобразований Фурье в евклидовом пространстве. (По сути, это ограничивает только в показателе степени, а не как предварительный множитель вне знака интеграла.) Обратите внимание, что выбор способа идентификации с его дуальной группой влияет на значение термина «самодвойственная функция», которая является функцией на равный своему собственному преобразованию Фурье: с использованием классического спаривания функция самодуальна. Но, используя спаривание, которое сохраняет предварительный фактор как единицу, делает вместо этого самодвойственный. Это второе определение преобразования Фурье имеет то преимущество, что оно отображает мультипликативное тождество в тождество свертки, которое полезно в качествеявляется сверточной алгеброй. См. Следующий раздел о групповой алгебре . Кроме того, эта форма также обязательно изометрична напробелы. Ниже в Планшереле и L 2 теоремы Фурьх инверсий
Групповая алгебра
Пространство интегрируемых функций на локально компактной абелевой группе G - это алгебра , где умножение - это свертка: свертка двух интегрируемых функций f и g определяется как
- Теорема. Банахово пространство является ассоциативной и коммутативной алгеброй относительно свертки.
Эта алгебра называется групповой алгебры из G . По теореме Фубини – Тонелли свертка субмультипликативна относительно норма, делая банахово алгебра . Банахова алгебраимеет мультипликативный единичный элемент тогда и только тогда, когда G - дискретная группа, а именно функция, которая равна 1 в единице и нулю где-либо еще. В общем, однако, он имеет приблизительную идентичность, которая представляет собой сеть (или обобщенную последовательность) индексируется на направленном наборе такой, что
Преобразование Фурье переводит свертку в умножение, т.е. это гомоморфизм абелевых банаховых алгебр. (нормы ≤ 1):
В частности, каждому групповому характеру на G соответствует единственный мультипликативный линейный функционал на групповой алгебре, определяемый формулой
Важным свойством групповой алгебры является то, что они исчерпывают множество нетривиальных (т. Е. Не тождественно нулевых) мультипликативных линейных функционалов на групповой алгебре; см. раздел 34 ( Loomis 1953 ). Это означает, что преобразование Фурье является частным случаем преобразования Гельфанда .
Планшерелевой и L 2 теоремы Фурье инверсии
Как мы заявляли, двойственная группа локально компактной абелевой группы является локально компактной абелевой группой сама по себе и, таким образом, имеет меру Хаара, или, точнее, целое семейство мер Хаара, связанных с масштабом.
- Теорема. Выберите меру Хаара на и разреши быть двойственной мерой на как определено выше. Если непрерывно с компактным носителем, то а также
- В частности, преобразование Фурье - это изометрии комплекснозначных непрерывных функций компактного носителя на G в -функции на (с помощью -нормы по μ для функций на G и -нормы по ν для функций на ).
Поскольку комплекснозначные непрерывные функции компактного носителя на G равны-плотно, существует уникальное расширение преобразования Фурье из этого пространства до унитарного оператора
и у нас есть формула
Отметим, что для некомпактных локально компактных групп G пространство не содержит , поэтому преобразование Фурье общего -функции на G «не» задаются никакими формулами интегрирования (или действительно любой явной формулой). Чтобы определитьПреобразование Фурье приходится прибегать к некоторым техническим приемам, например, начинать с плотного подпространства, такого как непрерывные функции с компактным носителем, а затем расширять изометрию по непрерывности на все пространство. Это унитарное расширение преобразования Фурье и есть то, что мы понимаем под преобразованием Фурье на пространстве функций, интегрируемых с квадратом.
Двойственная группа также имеет собственное обратное преобразование Фурье; его можно охарактеризовать как обратное (или сопряженное, поскольку оно унитарно)Преобразование Фурье. Это содержание Формула обращения Фурье, которая следует ниже.
- Теорема. Сопряжением преобразования Фурье, ограниченного непрерывными функциями компактного носителя, является обратное преобразование Фурье
- где двойственная мера к .
В случае дуальная группа естественно изоморфна группе целых чисел а преобразование Фурье специализируется на вычислении коэффициентов рядов Фурье периодических функций.
Если G конечная группа, мы восстанавливаем дискретное преобразование Фурье . Отметим, что этот случай очень легко доказать напрямую.
Компактификация Бора и почти периодичность
Одним из важных приложений двойственности Понтрягина является следующая характеризация компактных абелевых топологических групп:
- Теорема . Локально компактная абелева группа G компактна тогда и только тогда, когда двойственная группа дискретно. Наоборот, G дискретна тогда и только тогда, когда компактный.
Это G будучи компактным подразумеваетдискретна, или из дискретности G следует, что компактно является элементарным следствием определения компактно-открытой топологии на и не нуждается в двойственности Понтрягина. Для доказательства обратного используется двойственность Понтрягина.
Компактификация Бора определяется для любой топологической группы G , независимо от того, является ли G локально компактно или абелева. Одно из применений двойственности Понтрягина между компактными абелевыми группами и дискретными абелевыми группами состоит в том, чтобы охарактеризовать боровскую компактификацию произвольной абелевой локально компактной топологической группы. Компактификация Бора В (G) из G является, где H имеет групповую структуру, но с учетом дискретной топологии . Поскольку карта включения
является непрерывным и гомоморфизмом, двойственный морфизм
является морфизмом в компактную группу, которая, как легко показать, удовлетворяет требуемому универсальному свойству .
См. Также почти периодическую функцию .
Категориальные соображения
Двойственность Понтрягина также может быть выгодно рассмотрена функториально . В дальнейшем LCA - это категория локально компактных абелевых групп и непрерывных гомоморфизмов групп. Двойственная групповая конструкция- контравариантный функтор LCA → LCA , представленный (в смысле представимых функторов ) группой окружностей в виде В частности, двойной двойственный функтор является ковариантны . Категорическая формулировка двойственности Понтрягина утверждает, что естественное преобразование между тождественным функтором на LCA и двойным двойственным функтором является изоморфизмом. [3] Разворачивая понятие естественного преобразования, это означает, что отображения-изоморфизмы для любой локально компактной абелевой группы G , и эти изоморфизмы функториальны в G . Этот изоморфизм является аналогом двойной двойной из конечномерных векторных пространств (частный случай, для вещественных и комплексных векторных пространств).
Непосредственным следствием этой формулировки является другая распространенная категориальная формулировка двойственности Понтрягина: двойственный групповой функтор является эквивалентностью категорий от LCA до LCA op .
Двойственность меняет местами подкатегории дискретных групп и компактных групп . Если R представляет собой кольцо и G является левым R - модуль , двойной группыстанет правильным R -модулем; таким образом мы также видим, что дискретные левые R -модули будут двойственными по Понтрягину компактным правым R -модулям. Кольцо эндоморфизмов End ( G ) в LCA заменяется двойственностью на свое противоположное кольцо (поменять умножение на другой порядок). Например, если G - бесконечная циклическая дискретная группа, круговая группа: первая имеет так что это верно и для последнего.
Обобщения
Обобщения двойственности Понтрягина строятся в двух основных направлениях: для коммутативных топологических групп , не являющихся локально компактными , и для некоммутативных топологических групп. Теории в этих двух случаях очень разные.
Двойственности коммутативных топологических групп
Когда является хаусдорфовой абелевой топологической группой, группа с компактно-открытой топологией является хаусдорфовой абелевой топологической группой и естественным отображением из к своему двойному дуалу имеет смысл. Если это отображение является изоморфизмом, говорят, что удовлетворяет двойственность Понтрягина (или является рефлексивной группой , [4] или отражательные групп [5] ). Это было расширено во многих направлениях, помимо того, чтолокально компактно. [6]
В частности, Самуэль Каплан [7] [8] показал в 1948 и 1950 годах, что произвольные произведения и счетные обратные пределы локально компактных (хаусдорфовых) абелевых групп удовлетворяют двойственности Понтрягина. Отметим, что бесконечное произведение локально компактных некомпактных пространств не является локально компактным.
Позже, в 1975 году, Рангачари Венкатараман [9] показал, среди прочего, что каждая открытая подгруппа абелевой топологической группы, удовлетворяющая двойственности Понтрягина, сама удовлетворяет двойственности Понтрягина.
Совсем недавно Серджио Арданса-Тревихано и Мария Хесус Часко [10] расширили результаты Каплана, упомянутые выше. Они показали, что прямой и обратный пределы последовательностей абелевых групп, удовлетворяющих двойственности Понтрягина, также удовлетворяют двойственности Понтрягина, если группы метризуемы или-пространства, но не обязательно локально компактные, если последовательности удовлетворяют некоторым дополнительным условиям.
Однако есть фундаментальный аспект, который меняется, если мы хотим рассматривать двойственность Понтрягина вне локально компактного случая. Елена Мартин-Пейнадор [11] доказала в 1995 г., что если является хаусдорфовой абелевой топологической группой, удовлетворяющей двойственности Понтрягина, и естественным оценочным спариванием
(совместно) непрерывно, [12] толокально компактно. Как следствие, все нелокально компактные примеры двойственности Понтрягина - это группы, в которых спаривание не является (совместно) непрерывным.
Другой способ обобщить двойственность Понтрягина на более широкие классы коммутативных топологических групп - наделить двойственную группу с немного другой топологией, а именно топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах . Группы, удовлетворяющие тождествупри этом предположении [13] называются стереотипными группами . [5] Этот класс также очень широк (и он содержит локально компактные абелевы группы), но уже, чем класс рефлексивных групп. [5]
Двойственность Понтрягина для топологических векторных пространств
В 1952 г. Марианна Ф. Смит [14] заметила, что банаховы пространства и рефлексивные пространства , рассматриваемые как топологические группы (с аддитивной групповой операцией), удовлетворяют двойственности Понтрягина. Позднее Б. С. Брудовский, [15] Уильям К. Уотерхаус [16] и К. Браунер [17] показали, что этот результат может быть распространен на класс всех квазиполных бочкообразных пространств (в частности, на все пространства Фреше ). В 1990-е годы Сергей Акбаров [18] дал описание класса топологических векторных пространств, обладающих более сильным свойством, чем классическая рефлексивность Понтрягина, а именно тождеством
где означает пространство всех линейных непрерывных функционалов наделен топологией равномерной сходимости на вполне ограниченных множествах в (а также означает двойное к в том же смысле). Пространства этого класса называются стереотипными пространствами , и соответствующая теория нашла ряд приложений в функциональном анализе и геометрии, включая обобщение двойственности Понтрягина для некоммутативных топологических групп.
Двойственности для некоммутативных топологических групп
Для некоммутативных локально компактных групп классическая конструкция Понтрягина перестает работать по разным причинам, в частности из-за того, что персонажи не всегда разделяют точки , а неприводимые представления не всегда одномерны. В то же время неясно, как ввести умножение на множестве неприводимых унитарных представлений, и даже неясно, удастся ли это множество на роль дуального объекта для . Так что проблема построения двойственности в этой ситуации требует полного переосмысления.
Теории, построенные на сегодняшний день, делятся на две основные группы: теории, в которых дуальный объект имеет ту же природу, что и исходный (как в самой дуальности Понтрягина), и теории, в которых исходный объект и его двойник столь радикально отличаются друг от друга. что их нельзя считать объектами одного класса.
Теории второго типа исторически были первыми: вскоре после работы Понтрягина Тадао Таннака (1938) и Марк Крейн (1949) построили теорию двойственности для произвольных компактных групп, известную теперь как двойственность Таннаки – Крейна . [19] [20] В этой теории двойственный объект для группыне группа, а категория ее представлений .
Теории первого типа появились позже, и ключевым примером для них была теория двойственности для конечных групп. [21] [22] В этой теории категория конечных групп вкладывается операциейизучения групповой алгебры (над ) в категорию конечномерных алгебр Хопфа , так что функтор двойственности Понтрягина превращается в операцию взятия двойственного векторного пространства (которое является функтором двойственности в категории конечномерных алгебр Хопфа). [22]
В 1973 г. Леонид И. Вайнерман, Георгий И. Кац, Мишель Энок и Жан-Мари Шварц построили общую теорию этого типа для всех локально компактных групп. [23] С 1980-х годов исследования в этой области были возобновлены после открытия квантовых групп , на которые начали активно переноситься построенные теории. [24] Эти теории сформулированы на языке C * -алгебр , или алгебр фон Неймана , и одним из ее вариантов является недавняя теория локально компактных квантовых групп . [25] [24]
Однако один из недостатков этих общих теорий состоит в том, что в них объекты, обобщающие понятие группы, не являются алгебрами Хопфа в обычном алгебраическом смысле. [22] Этот недостаток может быть исправлен (для некоторых классов групп) в рамках теорий двойственности, построенных на основе понятия оболочки топологической алгебры. [22] [26]
Смотрите также
- Теорема Питера – Вейля
- Картье двойственность
- Пространство стереотипов
Заметки
- Перейти ↑ Hewitt & Ross 1963 , (24.2).
- ↑ Моррис 1977 , Глава 4.
- ^ Редер, David W. (1974), "Теория категорий применительно к Понтрягину" , Тихоокеанский журнал математика , 52 (2): 519-527, DOI : 10,2140 / pjm.1974.52.519
- ^ Онищик 1984 .
- ^ a b c Акбаров и Шавгулидзе 2003 .
- ^ Chasco, Dikranjan и Мартин-Peinador 2012 .
- ^ Каплан 1948 .
- ↑ Каплан 1950 .
- ^ Венкатараман 1975 .
- ^ Ardanza-Trevijano & Chasco 2005 .
- ^ Мартин-Peinador 1995 .
- ^ Совместная непрерывность означает здесь, что карта непрерывна как отображение топологических пространств, где наделен топологией декартова произведения. Этот результат не верен, если картаПредполагается, что она будет отдельно непрерывной или непрерывной в стереотипном смысле .
- ^ Где вторая двойная группа двойственен в том же смысле.
- ^ Смит 1952 .
- ^ Brudovski 1967 .
- ^ Уотерхаус 1968 .
- Перейти ↑ Brauner 1973 .
- ↑ Акбаров 2003 .
- Перейти ↑ Hewitt & Ross 1970 .
- ↑ Кириллов, 1976 .
- ↑ Кириллов 1976 , 12.3.
- ^ а б в г Акбаров 2009 .
- ^ Enock & Schwartz 1992 .
- ^ а б Тиммерманн 2008 .
- ^ Kustermans & Vaes 2000 .
- ^ Акбаров 2017 . ошибка sfn: несколько целей (2 ×): CITEREFAkbarov2017 ( справка )
Рекомендации
- Диксмье, Жак (1969). Les C * -algèbres et leurs Représentations . Готье-Виллар. ISBN 978-2-87647-013-2.
- Энок, Мишель; Шварц, Жан-Мари (1992). Алгебры Каца и двойственность локально компактных групп . С предисловием Алена Конна. С постфайсом Адриана Окнеану. Берлин: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-662-02813-1 . ISBN 978-3-540-54745-7. Руководство по ремонту 1215933 .
- Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1963). Абстрактный гармонический анализ. Vol. I: Структура топологических групп. Теория интеграции, представления групп . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 115 . Берлин-Геттинген-Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94190-5. Руководство по ремонту 0156915 .
- Хьюитт, Эдвин; Росс, Кеннет А. (1970). Абстрактный гармонический анализ . 2 . ISBN 978-3-662-24595-8. Руководство по ремонту 0262773 .
- Кириллов, Александр А. (1976) [1972]. Элементы теории представлений . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 220 . Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-07476-4. Руководство по ремонту 0412321 .
- Лумис, Линн Х. (1953). Введение в абстрактный гармонический анализ . D. van Nostrand Co. ISBN 978-0486481234.
- Моррис, С.А. (1977). Двойственность Понтрягина и строение локально компактных абелевых групп . Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521215435.
- Онищик А.Л. (1984). Понтрягинская двойственность . Энциклопедия математики . 4 . С. 481–482. ISBN 978-1402006098.
- Райтер, Ганс (1968). Классический гармонический анализ и локально компактные группы . ISBN 978-0198511892.
- Рудин, Вальтер (1962). Фурье-анализ на группах . D. van Nostrand Co. ISBN 978-0471523642.
- Тиммерманн, Т. (2008). Приглашение к квантовым группам и двойственности - от алгебр Хопфа к мультипликативным унитарным и не только . Учебники EMS по математике, Европейское математическое общество. ISBN 978-3-03719-043-2.
- Kustermans, J .; Ваес, С. (2000). «Локально компактные квантовые группы» . Annales Scientifiques de l'École Normale Supérieure . 33 (6): 837–934. DOI : 10.1016 / s0012-9593 (00) 01055-7 .
- Арданца-Тревихано, Серхио; Часко, Мария Хесус (2005). «Двойственность Понтрягина секвенциальных пределов топологических абелевых групп». Журнал чистой и прикладной алгебры . 202 (1–3): 11–21. DOI : 10.1016 / j.jpaa.2005.02.006 . hdl : 10171/1586 . Руководство по ремонту 2163398 .
- Часко, Мария Хесус; Дикранджан, Дикран; Мартин-Пейнадор, Елена (2012). «Обзор рефлексивности абелевых топологических групп» . Топология и ее приложения . 159 (9): 2290–2309. DOI : 10.1016 / j.topol.2012.04.012 . Руководство по ремонту 2921819 .
- Каплан, Самуэль (1948). «Расширения двойственности Понтрягина. Часть I: бесконечные произведения». Математический журнал герцога . 15 : 649–658. DOI : 10.1215 / S0012-7094-48-01557-9 . Руководство по ремонту 0026999 .
- Каплан, Самуэль (1950). «Расширения двойственности Понтрягина. Часть II: прямые и обратные пределы». Математический журнал герцога . 17 : 419–435. DOI : 10.1215 / S0012-7094-50-01737-6 . Руководство по ремонту 0049906 .
- Венкатараман, Рангачари (1975). «Расширения двойственности Понтрягина». Mathematische Zeitschrift . 143 (2): 105–112. DOI : 10.1007 / BF01187051 . S2CID 123627326 .
- Мартин-Пейнадор, Елена (1995). «Рефгибкая допустимая топологическая группа должна быть локально компактной». Труды Американского математического общества . 123 (11): 3563–3566. DOI : 10.2307 / 2161108 . hdl : 10338.dmlcz / 127641 . JSTOR 2161108 .
- Смит, Марианна Ф. (1952). «Теорема двойственности Понтрягина в линейных пространствах». Анналы математики . 56 (2): 248–253. DOI : 10.2307 / 1969798 . JSTOR 1969798 . Руководство по ремонту 0049479 .
- Брудовский, Б.С. (1967). «О k- и c-рефлексивности локально выпуклых векторных пространств». Литовский математический журнал . 7 (1): 17–21.
- Уотерхаус, Уильям К. (1968). «Двойственные группы векторных пространств» . Тихоокеанский математический журнал . 26 (1): 193–196. DOI : 10,2140 / pjm.1968.26.193 .
- Браунер, Кальман (1973). «Двойники пространств Фреше и обобщение теоремы Банаха – Дьедонне». Математический журнал герцога . 40 (4): 845–855. DOI : 10.1215 / S0012-7094-73-04078-7 .
- Акбаров, С.С. (2003). «Двойственность Понтрягина в теории топологических векторных пространств и в топологической алгебре». Журнал математических наук . 113 (2): 179–349. DOI : 10,1023 / А: 1020929201133 . S2CID 115297067 .
- Акбаров, Сергей С .; Шавгулидзе, Евгений Т. (2003). «О двух классах пространств, рефлексивных по Понтрягина» . Математический сборник . 194 (10): 3–26.
- Акбаров, Сергей С. (2009). «Голоморфные функции экспоненциального типа и двойственности для групп Штейна с алгебраической связной компонентой единицы». Журнал математических наук . 162 (4): 459–586. arXiv : 0806.3205 . DOI : 10.1007 / s10958-009-9646-1 . S2CID 115153766 .
- Акбаров, Сергей С. (2017). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 1». Журнал математических наук . 227 (5): 531–668. arXiv : 1303,2424 . DOI : 10.1007 / s10958-017-3599-6 . Руководство по ремонту 3790317 . S2CID 126018582 .
- Акбаров, Сергей С. (2017). «Непрерывные и гладкие оболочки топологических алгебр. Часть 2». Журнал математических наук . 227 (6): 669–789. arXiv : 1303,2424 . DOI : 10.1007 / s10958-017-3600-4 . Руководство по ремонту 3796205 . S2CID 128246373 .