Противоположное кольцо

В математике , в частности , абстрактная алгебре , то противоположное из кольца является еще одним кольцом с одними и теми же элементами и операциями сложения, но с умножением выполняется в обратном порядке. Более точно, в противоположность кольца ( R , +, ⋅ ) является кольцом ( R +, *) , умножение которой * определяется в * Ь = Ь ⋅ с для всех а , б в R . ^{[1] [2]} Противоположное кольцо можно использовать для определениямультимодули , обобщение бимодулей . Они также помогают прояснить отношения между левым и правым модулями (см. § Свойства ).

Моноиды , группы , кольца и алгебры можно рассматривать как категории с одним объектом . Конструкция противоположной категории обобщает противоположную группу , противоположное кольцо и т. Д.

Примеры [ править ]

Свободная алгебра с двумя образующими [ править ]

В свободной алгебре над полем с образующими есть умножение из умножения слов. Например,${\ Displaystyle к \ langle х, у \ rangle}$ ${\ displaystyle k}$${\ displaystyle x, y}$

${\ displaystyle {\ begin {align} (2x ^ {2} yx + 3yxy) \ cdot (xyxy + 1) = & {\ text {}} 2x ^ {2} yx ^ {2} yxy + 2x ^ {2 } yx \\ & + 3yxyxyxy + 3yxy \ end {выровненный}}}$

Тогда в противоположной алгебре умножение задается формулой

${\ displaystyle {\ begin {align} (2x ^ {2} yx + 3yxy) * (xyxy + 1) & = (xyxy + 1) \ cdot (2x ^ {2} yx + 3yxy) \\ & = 2xyxyx ^ {2} yx + 3xyxy ^ {2} xy + 2x ^ {2} yx + 3yxy \ end {align}}}$

которые не являются равными элементами.

Кватернионная алгебра [ править ]

Алгебра кватернионов ^[3] над полем - это алгебра с делением, определяемая тремя образующими с соотношениями${\ Displaystyle Н (а, Ь)}$${\ displaystyle k}$${\ displaystyle i, j, k}$

${\displaystyle i^{2}=a}$, И${\displaystyle j^{2}=b}$${\displaystyle k=ij=-ji}$

Все элементы имеют форму${\displaystyle x\in H(a,b)}$

${\displaystyle x=x_{0}+x_{i}i+x_{j}j+x_{k}k}$

Если умножение обозначаются , то есть таблица умножения${\displaystyle H(a,b)}$${\displaystyle \cdot }$

${\displaystyle \cdot }$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle aj}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle -bi}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle -aj}$	${\displaystyle bi}$	${\displaystyle -ab}$

Тогда противоположная алгебра с обозначенным умножением имеет таблицу${\displaystyle H(a,b)^{\text{op}}}$${\displaystyle *}$

${\displaystyle *}$	${\displaystyle i}$	${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$
${\displaystyle i}$	${\displaystyle a}$	${\displaystyle -k}$	${\displaystyle -aj}$
${\displaystyle j}$	${\displaystyle k}$	${\displaystyle b}$	${\displaystyle bi}$
${\displaystyle k}$	${\displaystyle aj}$	${\displaystyle -bi}$	${\displaystyle -ab}$

Коммутативная алгебра [ править ]

Коммутативная алгебра является изоморфной к противоположной алгебре , так как для всех и в .${\displaystyle (R,\cdot )}$${\displaystyle (R,*)=R^{\text{op}}}$${\displaystyle x\cdot y=y\cdot x=x*y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle R}$

Свойства [ править ]

• Два кольца R ₁ и R ₂ являются изоморфны тогда и только тогда , когда их соответствующие противоположные кольца изоморфны
• Противоположно противоположной части кольца R изоморфна R .
• Кольцо и противоположное ему кольцо антиизоморфны .
• Кольцо коммутативно тогда и только тогда, когда его действие совпадает с его противоположной операцией. ^[2]
• Левые идеалы кольца - правые идеалы его противоположности. ^[4]
• Противоположное кольцо уплотнительного кольца - это уплотнительное кольцо. ^[5]
• Левый модуль над кольцом - это правый модуль над своей противоположностью, и наоборот. ^[6]

Цитаты [ править ]

Ссылки [ править ]

• Беррик, AJ; Китинг, ME (2000). Введение в кольца и модули с учетом K-теории . Кембриджские исследования в области высшей математики. 65 . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-63274-4.
• Николя, Бурбаки (1989). Алгебра я . Берлин: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-64243-5. OCLC  18588156 .

См. Также [ править ]

• Противоположная группа
• Противоположная категория