Противоположная категория

В теории категорий , ветвь математики , противоположная категория или двойственная категория C ^op данной категории C формируется путем обращения морфизмов , т. Е. Перестановки источника и цели каждого морфизма. Выполнение разворота дважды дает исходную категорию, поэтому противоположностью противоположной категории является сама исходная категория. В символах, .${\ displaystyle (C ^ {\ text {op}}) ^ {\ text {op}} = C}$

Примеры [ править ]

• Примером может служить изменение направления неравенства в частичном порядке . Таким образом, если X - множество и ≤ отношение частичного порядка, мы можем определить новое отношение частичного порядка ≤ ^{op следующим} образом:

x ≤ ^op y тогда и только тогда, когда y ≤ x .

Новый порядок обычно называют двойственным порядком ≤ и обычно обозначают ≥. Следовательно, двойственность играет важную роль в теории порядка, и каждое чисто теоретическое понятие порядка имеет двойственность. Например, существуют противоположные пары ребенок / родитель, потомок / предок, инфимумом / супремумом , вниз набор / вверх-набор , идеальный / фильтр и т.д. Эта двойственность Теоретико порядок в свою очередь , особый случай конструкции противоположных категорий , как каждый Заказанный набор можно понимать как категорию.

• Учитывая полугруппа ( S , ·), как правило , один определяет противоположную полугруппу как ( S , ·) ^ор = ( S *) , где х * у ≔ у · х для всех х , у в S . Так и для полугрупп существует сильный принцип двойственности. Ясно, что та же конструкция работает и для групп, и известна также в теории колец , где она применяется к мультипликативной полугруппе кольца, чтобы получить противоположное кольцо. Опять же, этот процесс можно описать, дополнив полугруппу до моноида, взяв соответствующие противоположной категории, а затем, возможно, удалив единицу из этого моноида.
• Категория булевых алгебр и булевых гомоморфизмов является эквивалентом к противоположной категории каменных пространств и непрерывных функций .
• Категория аффинных схем является эквивалентом в противоположность категории коммутативных колец .
• В двойственности Понтрягина ограничивается до эквивалентности между категории компактных хаусдорфовых абелевых топологических групп и противоположной категории (дискретных) абелевых групп.
• По теореме Гельфанда – Ноймарка категория локализуемых измеримых пространств (с измеримыми отображениями ) эквивалентна категории коммутативных алгебр фон Неймана (с нормальными унитальными гомоморфизмами * -алгебр ). ^[1]

Свойства [ править ]

Напротив консервы продукты:

${\ displaystyle (C \ times D) ^ {\ text {op}} \ cong C ^ {\ text {op}} \ times D ^ {\ text {op}}}$(см. категорию продукта )

Напротив сохраняет функторы :

${\ displaystyle (\ mathrm {Funct} (C, D)) ^ {\ text {op}} \ cong \ mathrm {Funct} (C ^ {\ text {op}}, D ^ {\ text {op}} )}$^{[2] [3]} (см. Категорию функторов , противоположный функтор )

Напротив консервы ломтики:

${\ displaystyle (F \ downarrow G) ^ {\ text {op}} \ cong (G ^ {\ text {op}} \ downarrow F ^ {\ text {op}})}$(см. категорию запятых )

См. Также [ править ]

• Двойной объект
• Дуал (теория категорий)
• Двойственность (математика)
• Присоединенный функтор
• Контравариантный функтор
• Противоположный функтор

Ссылки [ править ]

• Противоположная категория в nLab
• Данилов В.И. (2001) [1994], «Двойная категория» , Энциклопедия математики , EMS Press
• Мак-Лейн, Сондерс (1978). Категории для рабочего математика (Второе изд.). Нью-Йорк, Нью-Йорк: Springer New York. п. 33. ISBN 1441931236. OCLC  851741862 .
• Awodey, Стив (2010). Теория категорий (2-е изд.). Оксфорд: Издательство Оксфордского университета. С.  53–55 . ISBN 978-0199237180. OCLC  740446073 .