В топологии и смежных областях математики , пространство Стоун , также известные как проконечное пространство , [1] представляет собой компактную полностью отсоединен хаусдорфовая . [2] Пространства камня названы в честь Маршалла Харви Стоуна, который ввел и изучил их в 1930-х годах в ходе своего исследования булевых алгебр , которое завершилось его теоремой о представлении для булевых алгебр .
Эквивалентные условия
Следующие условия на топологическое пространство X эквивалентны: [2] [1]
- X - каменное пространство;
- Х является гомеоморфной к проективному пределу (в категории топологических пространств ) обратной системы конечных дискретных пространств ;
- X компактен и полностью разделен ;
- X компактно, T 0 и нульмерно (в смысле малой индуктивной размерности );
- X является когерентным и Хаусдорфом.
Примеры
Важные примеры каменных пространств включают в себя конечные дискретные пространства , то множество Cantor и пространство Z р о р -адических чисел , где р является любым простым числом . Обобщая эти примеры, можно сказать, что любое произведение конечных дискретных пространств является пространством Стоуна, а топологическое пространство, лежащее в основе любой проконечной группы, является пространством Стоуна. Камень-чеховское из натуральных чисел с дискретной топологией, или действительно любое дискретного пространства, является пространством Стоун.
Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр
С каждой булевой алгеброй B мы можем связать пространство Стоуна S ( B ) следующим образом: элементы S ( B ) являются ультрафильтрами на B , а топология на S ( B ), называемая топологией Стоуна , порождается множествами вида { F ∈ S ( B ): б ∈ F }, где Ь является элементом B .
Теорема Стоуна о представлении булевых алгебр утверждает, что каждая булева алгебра изоморфна булевой алгебре открыто-замкнутых множеств пространства Стоуна S ( B ); и , кроме того, каждый камень пространство X гомеоморфно каменного пространства , принадлежащего к булевой алгебре замкнутых множеств X . Эти сопоставления являются функториальными , и мы получаем теоретико-категориальную двойственность между категорией булевых алгебр (с гомоморфизмами как морфизмы) и категорией пространств Стоуна (с непрерывными отображениями как морфизмами).
Теорема Стоуна породила ряд подобных дуальностей, теперь все вместе известных как дуальности Стоуна .
дальнейшее чтение
- Питер Джонстон , Stone Spaces , Cambridge University Press, 1982
Смотрите также
Рекомендации
- ^ a b Каменное пространство в nLab
- ^ a b «Каменное пространство» , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]