Спектральное пространство

В математике , А спектральное пространство является топологическим пространством , который гомеоморфный к спектру коммутативного кольца . Иногда его также называют когерентным пространством из-за связи с когерентными топосами .

Определение [ править ]

Пусть X топологическое пространство , и пусть K ( X ) множество всех компактных открытых подмножеств в X . Тогда X называется спектральным, если он удовлетворяет всем следующим условиям:^{${\ displaystyle \ circ}$}

Х является компактным и Т ₀ .
К ( Х ) представляет собой базис открытых подмножеств X .^{${\ displaystyle \ circ}$}
K ( X ) замкнуто относительно конечных пересечений.^{${\ displaystyle \ circ}$}
Х является трезвой , т.е. каждое непустое неприводимое замкнутое подмножество из X имеет (обязательно единственное) общую точку .

Эквивалентные описания [ править ]

Пусть X - топологическое пространство. Каждое из следующих свойств эквивалентно свойству X быть спектральным:

Х является гомеоморфными к проективному пределу конечных Т ₀ -пространств .
Х гомеоморфно спектра в виде ограниченной распределительной решетки L . В этом случае L изоморфна (как ограниченная решетка) решетке K ( X ) (это называется стоуновским представлением дистрибутивных решеток ).^{${\ displaystyle \ circ}$}
X гомеоморфно спектру коммутативного кольца .
X - топологическое пространство, определяемое пространством Пристли .
X - это пространство T _0, чей фрейм открытых множеств когерентен (и каждый когерентный фрейм происходит таким образом из уникального спектрального пространства).

Свойства [ править ]

Пусть X - спектральное пространство, и пусть K ( X ) такая же, как и раньше. Потом:^{${\ displaystyle \ circ}$}

К ( Х ) является ограниченной подрешеткой подмножеств X .^{${\ displaystyle \ circ}$}
Каждое замкнутое подпространство в X спектрально.
Произвольное пересечение компактного и открытого подмножеств X (следовательно, элементов из K ( X )) снова спектрально.^{${\ displaystyle \ circ}$}
X является T ₀ по определению, но в общем случае не T ₁ . ^[1] На самом деле спектральное пространство является T ₁ тогда и только тогда, когда оно хаусдорфово (или T ₂ ) тогда и только тогда, когда оно является булевым пространством тогда и только тогда, когда K ( X ) является булевой алгеброй .^{${\ displaystyle \ circ}$}
X можно рассматривать как попарное каменное пространство . ^[2]

Спектральные карты [ править ]

Спектральное отображение F: X → Y между спектральными пространствами X и Y представляет собой непрерывное отображение такое , что прообраз каждого открытого и компактного подмножества Y при е снова компактно.

Категория спектральных пространств, в которой спектральные отображения являются морфизмами, двойственно эквивалентна категории ограниченных дистрибутивных решеток (вместе с морфизмами таких решеток). ^[3] В этой антиэквивалентности спектральное пространство X соответствует решетке K ( X ).^{${\ displaystyle \ circ}$}

Ссылки [ править ]

М. Хохстер (1969). Структура простых идеалов в коммутативных кольцах. Пер. Амер. Математика. Soc. , 142 43—60
Джонстон, Питер (1982), «II.3 Связанные места», Stone Spaces , Cambridge University Press, стр. 62–69, ISBN 978-0-521-33779-3.
Дикманн, Макс; Шварц, Нильс; Трессл, Маркус (2019). Спектральные пространства . Новые математические монографии. 35 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета . DOI : 10.1017 / 9781316543870 . ISBN 9781107146723.

Сноски [ править ]

^ А. В. Архангельский, Л. С. Понтрягин (ред.) Общая топология I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 (см. Пример 21, раздел 2.6.)
^ Г. Бежанишвили, Н. Бежанишвили, Д. Габелая, А. Курц, (2010). «Битопологическая двойственность для дистрибутивных решеток и алгебр Гейтинга». Математические структуры в информатике , 20.
^ ( Джонстон 1982 )

[1] А. В. Архангельский, Л. С. Понтрягин (ред.) Общая топология I (1990) Springer-Verlag ISBN 3-540-18178-4 (см. Пример 21, раздел 2.6.)

[2] Г. Бежанишвили, Н. Бежанишвили, Д. Габелая, А. Курц, (2010). «Битопологическая двойственность для дистрибутивных решеток и алгебр Гейтинга». Математические структуры в информатике , 20.

[3] ( Джонстон 1982 )

[1]