Теорема обращения Фурье

В математике , то теорема Фурье инверсии говорит , что для многих типов функций можно восстановить функцию от его преобразования Фурье . Интуитивно это можно рассматривать как утверждение, что если мы знаем всю информацию о частоте и фазе волны, то мы можем точно восстановить исходную волну.

Теорема говорит, что если у нас есть функция, удовлетворяющая определенным условиям, и мы используем соглашение для преобразования Фурье, что ${\ displaystyle f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {C}}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} f) (\ xi): = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot \ xi} \, f (y) \, dy,}$

тогда

${\ Displaystyle е (х) = \ int _ {\ mathbb {R}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, ({\ mathcal {F}} f) (\ xi) \, d \ xi.}$

Другими словами, теорема гласит, что

${\ Displaystyle е (х) = \ int \ int _ {\ mathbb {R} ^ {2}} e ^ {2 \ pi i (xy) \ cdot \ xi} \, f (y) \, dy \, d \ xi.}$

Это последнее уравнение называется интегральной теоремой Фурье .

Другой способ сформулировать теорему, что если оборотная оператор есть , то ${\ displaystyle R}$${\ Displaystyle (Rf) (х): = f (-x)}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} = {\ mathcal {F}} R = R {\ mathcal {F}}.}$

Теорема верна, если оба и их преобразование Фурье абсолютно интегрируемы (в смысле Лебега ) и непрерывны в точке . Однако даже при более общих условиях верны версии теоремы обращения Фурье. В этих случаях указанные выше интегралы могут не сходиться в обычном смысле.${\ displaystyle f}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle x}$

Заявление [ править ]

В этом разделе мы предполагаем, что это интегрируемая непрерывная функция. Используйте соглашение для преобразования Фурье, которое ${\ displaystyle f}$

${\ displaystyle ({\ mathcal {F}} f) (\ xi): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {- 2 \ pi iy \ cdot \ xi} \, f ( y) \, dy.}$

Кроме того, мы предполагаем, что преобразование Фурье также интегрируемо.

Обратное преобразование Фурье как интеграл [ править ]

Чаще всего в теореме обращения Фурье обратное преобразование формулируется как интеграл. Для любой интегрируемой функции и всего набора${\ displaystyle g}$${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\ displaystyle {\ mathcal {F}} ^ {- 1} g (x): = \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} e ^ {2 \ pi ix \ cdot \ xi} \, g (\ xi) \, d \ xi.}$

Тогда для всех у нас есть${\ Displaystyle х \ в \ mathbb {R} ^ {п}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Интегральная теорема Фурье [ править ]

Теорема может быть переформулирована как

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi i(x-y)\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Если f является действительным знаком, то, взяв действительную часть каждой стороны указанного выше, мы получим

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}\cos(2\pi (x-y)\cdot \xi )\,f(y)\,dy\,d\xi .}$

Обратное преобразование в терминах оператора переворота [ править ]

Для любой функции определите оператор переворота ^{[примечание 1] следующим} образом:${\displaystyle g}$ ${\displaystyle R}$

${\displaystyle Rg(x):=g(-x).}$

Тогда мы можем вместо этого определить

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f:=R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}Rf.}$

Из определения преобразования Фурье и оператора переворота следует, что оба и соответствуют интегральному определению , и, в частности, равны друг другу и удовлетворяют .${\displaystyle R{\mathcal {F}}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}Rf}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

Поскольку у нас есть и${\displaystyle Rf=R{\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}f=RR{\mathcal {FF}}f}$${\displaystyle R={\mathcal {F}}^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{3}.}$

Двусторонний обратный [ править ]

Форма сформулированной выше теоремы об обращении Фурье, как правило, такова:

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Другими словами, является левым обратным преобразованию Фурье. Однако он также является правым обратным преобразованию Фурье, т.е.${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(\xi )=f(\xi ).}$

Поскольку это так похоже на , это очень легко следует из теоремы об обращении Фурье (с заменой переменных ):${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle \zeta :=-\zeta }$

${\displaystyle {\begin{aligned}f&={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)\\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy\,d\xi \\[6pt]&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi ix\cdot \zeta }\,e^{2\pi iy\cdot \zeta }\,f(y)\,dy\,d\zeta \\[6pt]&={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x).\end{aligned}}}$

В качестве альтернативы, это может быть видно из соотношения между и флип - оператора и ассоциативности из композиции функций , так как${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}f}$

${\displaystyle f={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)={\mathcal {F}}R{\mathcal {F}}f={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f).}$

Условия функции [ править ]

При использовании в физике и технике теорема обращения Фурье часто используется в предположении, что все «ведет себя хорошо». В математике такие эвристические аргументы недопустимы, а теорема об обращении Фурье включает явное указание того, какой класс функций разрешен. Однако не существует «лучшего» класса функций для рассмотрения, поэтому существует несколько вариантов теоремы обращения Фурье, хотя и с совместимыми выводами.

Функции Шварца [ править ]

Теорема обращения Фурье верна для всех функций Шварца (грубо говоря, гладких функций, которые быстро убывают и все производные которых быстро убывают). Это условие имеет то преимущество, что оно представляет собой элементарное прямое утверждение о функции (в отличие от наложения условия на ее преобразование Фурье), а интеграл, определяющий преобразование Фурье, и его обратное преобразование абсолютно интегрируемы. Эта версия теоремы используется при доказательстве теоремы обращения Фурье для умеренных распределений (см. Ниже).

Интегрируемые функции с интегрируемым преобразованием Фурье [ править ]

Теорема обращения Фурье верна для всех непрерывных функций, которые являются абсолютно интегрируемыми (т. Е. С абсолютно интегрируемым преобразованием Фурье). Сюда входят все функции Шварца, так что это строго более сильная форма теоремы, чем предыдущая. Это условие используется выше в разделе операторов .${\displaystyle L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

Небольшой вариант - отказаться от условия непрерывности функции, но при этом требовать, чтобы она и ее преобразование Фурье были абсолютно интегрируемыми. Тогда почти всюду, где g - непрерывная функция, и для каждого .${\displaystyle f}$${\displaystyle f=g}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=g(x)}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

Интегрируемые функции в одном измерении [ править ]

Кусочно-гладкая; одно измерение

Если функция абсолютно интегрируема в одном измерении (т. Е. ) И кусочно гладкая, то верна версия теоремы об обращении Фурье. В этом случае мы определяем${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{-R}^{R}e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi .}$

Тогда для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)={\frac {1}{2}}(f(x_{-})+f(x_{+})),}$

т.е. равно среднему значению левого и правого пределов at . В точках, где непрерывно, это просто равно .${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$${\displaystyle f}$${\displaystyle x}$${\displaystyle f}$${\displaystyle f(x)}$

Имеет место и многомерный аналог этой формы теоремы, но, согласно Folland (1992), он «довольно тонкий и не очень полезный».

Кусочно-непрерывный; одно измерение

Если функция является абсолютно интегрируемой в одном измерении (т. Е. ), Но просто кусочно-непрерывной, то версия теоремы об обращении Фурье все еще остается в силе. В этом случае интеграл в обратном преобразовании Фурье определяется с помощью гладкой, а не точной отсекающей функции; конкретно мы определяем${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} )}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} }\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\xi ^{2}}.}$

Заключение теоремы тогда такое же, как и для рассмотренного выше кусочно-гладкого случая.

Непрерывный; любое количество измерений

Если является непрерывным и абсолютно интегрируемым на, то теорема об обращении Фурье все еще остается в силе до тех пор, пока мы снова определяем обратное преобразование с гладкой срезающей функцией, т. Е. ${\displaystyle f}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}g(x):=\lim _{R\to \infty }\int _{\mathbb {R} ^{n}}\varphi (\xi /R)\,e^{2\pi ix\cdot \xi }\,g(\xi )\,d\xi ,\qquad \varphi (\xi ):=e^{-\vert \xi \vert ^{2}}.}$

Вывод просто таков, что для всех ${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x).}$

Нет условия регулярности; любое количество измерений

Если мы отбросим все предположения о (кусочной) непрерывности и предположим просто, что она абсолютно интегрируема, то версия теоремы все еще верна. Обратное преобразование снова определяется с помощью гладкого обрезания, но с выводом, что ${\displaystyle f}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)=f(x)}$

почти для каждого ^[1]${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}.}$

Квадратные интегрируемые функции [ править ]

В этом случае преобразование Фурье не может быть определено напрямую как интеграл, поскольку оно может не быть абсолютно сходящимся, поэтому вместо этого оно определяется аргументом плотности (см. Статью о преобразовании Фурье ). Например, положив

${\displaystyle g_{k}(\xi ):=\int _{\{y\in \mathbb {R} ^{n}:\left\vert y\right\vert \leq k\}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,\qquad k\in \mathbb {N} ,}$

мы можем установить, где берется предел в -норме. Обратное преобразование может быть определено посредством плотности таким же образом или путем определения его в терминах преобразования Фурье и оператора переворачивания. Тогда у нас есть${\displaystyle \textstyle {\mathcal {F}}f:=\lim _{k\to \infty }g_{k}}$${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle f(x)={\mathcal {F}}({\mathcal {F}}^{-1}f)(x)={\mathcal {F}}^{-1}({\mathcal {F}}f)(x)}$

в среднеквадратичной норме . В одном измерении (и только в одном измерении) также можно показать, что он сходится почти для каждого x ∈ℝ - это теорема Карлесона , но ее гораздо труднее доказать, чем сходимость в среднеквадратичной норме.

Закаленные дистрибутивы [ править ]

Преобразование Фурье может быть определено на пространстве умеренных распределений двойственностью преобразования Фурье на пространстве функций Шварца. Специально для и для всех тестовых функций мы устанавливаем${\displaystyle {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle f\in {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \varphi \in {\mathcal {S}}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \langle {\mathcal {F}}f,\varphi \rangle :=\langle f,{\mathcal {F}}\varphi \rangle ,}$

где определяется с помощью интегральной формулы. Если тогда это согласуется с обычным определением. Мы можем определить обратное преобразование либо двойственностью обратного преобразования функций Шварца таким же образом, либо определив его в терминах оператора переворота (где оператор переворота определяется двойственностью). Тогда у нас есть${\displaystyle {\mathcal {F}}\varphi }$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})\cap L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}^{-1}\colon {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})\to {\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle {\mathcal {F}}{\mathcal {F}}^{-1}={\mathcal {F}}^{-1}{\mathcal {F}}=\operatorname {Id} _{{\mathcal {S}}'(\mathbb {R} ^{n})}.}$

Связь с рядами Фурье [ править ]

При рассмотрении ряда Фурье функции принято масштабировать его так, чтобы он действовал (или был -периодическим). Вместо этого в этом разделе мы используем несколько необычное соглашение, чтобы действовать , поскольку оно соответствует соглашению преобразования Фурье, используемому здесь.${\displaystyle [0,2\pi ]}$${\displaystyle 2\pi }$${\displaystyle f}$${\displaystyle [0,1]}$

Теорема обращения Фурье аналогична сходимости рядов Фурье . В случае преобразования Фурье имеем

${\displaystyle f\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(\xi ):=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }\,{\hat {f}}(\xi )\,d\xi .}$

Вместо этого в случае рядов Фурье имеем

${\displaystyle f\colon [0,1]^{n}\to \mathbb {C} ,\quad {\hat {f}}\colon \mathbb {Z} ^{n}\to \mathbb {C} ,}$

${\displaystyle {\hat {f}}(k):=\int _{[0,1]^{n}}e^{-2\pi iy\cdot k}\,f(y)\,dy,}$

${\displaystyle f(x)=\sum _{k\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot k}\,{\hat {f}}(k).}$

В частности, в одном измерении сумма колеблется от до .${\displaystyle k\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle -\infty }$${\displaystyle \infty }$

Приложения [ править ]

В приложениях преобразования Фурье теорема обращения Фурье часто играет решающую роль. Во многих ситуациях основная стратегия заключается в применении преобразования Фурье, выполнении некоторых операций или упрощений, а затем применении обратного преобразования Фурье.

Говоря более абстрактно, теорема обращения Фурье - это утверждение о преобразовании Фурье как об операторе (см. Преобразование Фурье в функциональных пространствах ). Например, теорема обращения Фурье показывает, что преобразование Фурье является унитарным оператором на .${\displaystyle f\in L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle L^{2}(\mathbb {R} ^{n})}$

Свойства обратного преобразования [ править ]

Обратное преобразование Фурье очень похоже на исходное преобразование Фурье: как обсуждалось выше, оно отличается только применением оператора переворота. По этой причине свойства преобразования Фурье сохраняются для обратного преобразования Фурье, такие как теорема свертки и лемма Римана – Лебега .

Таблицы преобразований Фурье можно легко использовать для обратного преобразования Фурье, составив искомую функцию с оператором переворота. Например, просматривая преобразование Фурье функции rect, мы видим, что

${\displaystyle f(x)=\operatorname {rect} (ax)\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}f)(\xi )={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left({\frac {\xi }{a}}\right)\!,}$

так что соответствующий факт для обратного преобразования равен

${\displaystyle g(\xi )=\operatorname {rect} (a\xi )\quad \Rightarrow \quad ({\mathcal {F}}^{-1}g)(x)={\frac {1}{|a|}}\operatorname {sinc} \left(-{\frac {x}{a}}\right)\!.}$

Доказательство [ править ]

Доказательство использует несколько фактов, приведенных и .${\displaystyle f(y)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}f(\xi )=\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-2\pi iy\cdot \xi }f(y)\,dy}$

1. Если и , то .${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle g(\xi )=e^{2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }\psi (\xi )}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}g)(y)=({\mathcal {F}}\psi )(y-x)}$
2. Если и , то .${\displaystyle \varepsilon \in \mathbb {R} }$${\displaystyle \psi (\xi )=\varphi (\varepsilon \xi )}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}\psi )(y)=({\mathcal {F}}\varphi )(y/\varepsilon )/|\varepsilon |}$
3. Действительно , из теоремы Фубини следует это .${\displaystyle f,g\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle \textstyle \int g(\xi )\cdot ({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int ({\mathcal {F}}g)(y)\cdot f(y)\,dy}$
4. Определить ; тогда .${\displaystyle \varphi (\xi )=e^{-\pi \vert \xi \vert ^{2}}}$${\displaystyle ({\mathcal {F}}\varphi )(y)=\varphi (y)}$
5. Определить . Затем с обозначая свертку , является приближением к идентичности : для любых непрерывных и точек , (где сходимость точечно).${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }(y)=\varphi (y/\varepsilon )/\varepsilon ^{n}}$${\displaystyle \ast }$${\displaystyle \varphi _{\varepsilon }}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }\ast f)(x)=f(x)}$

Поскольку по предположению, то по теореме о мажорируемой сходимости следует, что${\displaystyle {\mathcal {F}}f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\lim _{\varepsilon \to 0}\int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi .}$

Определить . Применяя факты 1, 2 и 4, если необходимо, многократно для кратных интегралов, получаем${\displaystyle g_{x}(\xi )=e^{-\pi \varepsilon ^{2}\vert \xi \vert ^{2}+2\pi \mathrm {i} x\cdot \xi }}$

${\displaystyle ({\mathcal {F}}g_{x})(y)={\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}=\varphi _{\varepsilon }(x-y).}$

Используя факт 3 и для каждого из них , мы имеем${\displaystyle f}$${\displaystyle g_{x}}$${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{-\pi \varepsilon ^{2}|\xi |^{2}+2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =\int _{\mathbb {R} ^{n}}{\frac {1}{\varepsilon ^{n}}}e^{-{\frac {\pi }{\varepsilon ^{2}}}|x-y|^{2}}f(y)\,dy=(\varphi _{\varepsilon }*f)(x),}$

свертка с приблизительным тождеством. Но поскольку факт 5 говорит, что${\displaystyle f}$${\displaystyle f\in L^{1}(\mathbb {R} ^{n})}$

${\displaystyle \lim _{\varepsilon \to 0}(\varphi _{\varepsilon }*f)(x)=f(x).}$

Объединив все вышесказанное, мы показали, что

${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{n}}e^{2\pi ix\cdot \xi }({\mathcal {F}}f)(\xi )\,d\xi =f(x).\qquad \square }$

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

Эта статья включает в себя список литературы , связанной литературы или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

• Фолланд, Великобритания (1992). Фурье-анализ и его приложения . Белмонт, Калифорния, США: Уодсворт. ISBN 0-534-17094-3.
• Фолланд, Великобритания (1995). Введение в уравнения с частными производными (2-е изд.). Принстон, США: Princeton Univ. Нажмите. ISBN 978-0-691-04361-6.