Полиномы Лагерра

В математике , в Многочлены Лагерра , после того, как названные Лагерр (1834-1886), являются решениями уравнения Лагерра:

${\ displaystyle xy '' + (1-x) y '+ ny = 0}$

которое является линейным дифференциальным уравнением второго порядка . Это уравнение имеет невырожденные решения только в том случае, если n - целое неотрицательное число.

Иногда называют полиномами Лагерра решения

${\ displaystyle xy '' + (\ alpha + 1-x) y '+ ny = 0 ~.}$

где n по-прежнему является неотрицательным целым числом. Затем они также называются обобщенными полиномами Лагерра , как это будет сделано здесь (альтернативно ассоциированными полиномами Лагерра или, реже, полиномами Сонина , в честь их изобретателя ^[1] Николая Яковлевича Сонина ).

В более общем смысле функция Лагерра - это решение, когда n не обязательно является неотрицательным целым числом.

Многочлены Лагерра также используются для квадратур Гаусса для численного вычисления интегралов вида

${\ displaystyle \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) e ^ {- x} \, dx.}$

Эти полиномы, обычно обозначаемые L ₀ ,  L ₁ , ..., представляют собой полиномиальную последовательность, которая может быть определена формулой Родригеса ,

${\ displaystyle L_ {n} (x) = {\ frac {e ^ {x}} {n!}} {\ frac {d ^ {n}} {dx ^ {n}}} \ left (e ^ { -x} x ^ {n} \ right) = {\ frac {1} {n!}} \ left ({\ frac {d} {dx}} - 1 \ right) ^ {n} x ^ {n} ,}$

сводя к закрытому виду следующего раздела.

Они являются ортогональными многочленами относительно скалярного произведения

${\ displaystyle \ langle f, g \ rangle = \ int _ {0} ^ {\ infty} f (x) g (x) e ^ {- x} \, dx.}$

Последовательность многочленов Лагерра n ! L _n - последовательность Шеффера ,

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} L_ {n} = \ left ({\ frac {d} {dx}} - 1 \ right) L_ {n-1}.}$

В ладья многочлены в комбинаторике более или менее такой же , как полиномов Лагерра, вплоть до элементарных изменений переменных. Далее см. Многочлены Трикоми – Карлица .

Полиномы Лагерра возникают в квантовой механике в радиальной части решения уравнения Шредингера для одноэлектронного атома. Они также описывают статические функции Вигнера систем осцилляторов в квантовой механике в фазовом пространстве . Они также входят в квантовую механику потенциала Морзе и трехмерного изотропного гармонического осциллятора .

Иногда физики используют определение полиномов Лагерра, которое больше в n раз ! чем определение, используемое здесь. (Точно так же некоторые физики могут использовать несколько иные определения так называемых ассоциированных многочленов Лагерра.)

Первые несколько полиномов [ править ]

Это первые несколько полиномов Лагерра:

п	${\ Displaystyle L_ {п} (х) \,}$
0	${\ displaystyle 1 \,}$
1	${\ displaystyle -x + 1 \,}$
2	${\ Displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (х ^ {2} -4x + 2) \,}$
3	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {6}} (- x ^ {3} + 9x ^ {2} -18x + 6) \,}$
4	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {24}} (x ^ {4} -16x ^ {3} + 72x ^ {2} -96x + 24) \,}$
5	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {120}} (- x ^ {5} + 25x ^ {4} -200x ^ {3} + 600x ^ {2} -600x + 120) \,}$
6	${\displaystyle {\tfrac {1}{720}}(x^{6}-36x^{5}+450x^{4}-2400x^{3}+5400x^{2}-4320x+720)\,}$
п	${\displaystyle {\tfrac {1}{n!}}((-x)^{n}+n^{2}(-x)^{n-1}+...+n({n!})(-x)+n!)\,}$

Первые шесть полиномов Лагерра.

Рекурсивное определение, закрытая форма и производящая функция [ править ]

Можно также определить полиномы Лагерра рекурсивно, определив первые два полинома как

${\displaystyle L_{0}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}(x)=1-x}$

а затем используя следующее рекуррентное соотношение для любого k  ≥ 1:

${\displaystyle L_{k+1}(x)={\frac {(2k+1-x)L_{k}(x)-kL_{k-1}(x)}{k+1}}.}$

При решении некоторых краевых задач могут быть полезны характеристические значения:

${\displaystyle L_{k}(0)=1,L_{k}'(0)=-k.}$

Замкнутая форма является

${\displaystyle L_{n}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}{\frac {(-1)^{k}}{k!}}x^{k}.}$

Производящая функция для них также следует,

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}(x)={\frac {1}{1-t}}e^{-tx/(1-t)}.}$

Полиномы с отрицательным индексом можно выразить с помощью полиномов с положительным индексом:

${\displaystyle L_{-n}(x)=e^{x}L_{n-1}(-x).}$

Обобщенные полиномы Лагерра [ править ]

Для произвольного действительного α полиномиальные решения дифференциального уравнения ^[2]

${\displaystyle x\,y''+(\alpha +1-x)\,y'+n\,y=0}$

называются обобщенными многочленами Лагерра или ассоциированными многочленами Лагерра .

Можно также определить обобщенные многочлены Лагерра рекурсивно, определив первые два многочлена как

${\displaystyle L_{0}^{(\alpha )}(x)=1}$

${\displaystyle L_{1}^{(\alpha )}(x)=1+\alpha -x}$

а затем используя следующее рекуррентное соотношение для любого k  ≥ 1:

${\displaystyle L_{k+1}^{(\alpha )}(x)={\frac {(2k+1+\alpha -x)L_{k}^{(\alpha )}(x)-(k+\alpha )L_{k-1}^{(\alpha )}(x)}{k+1}}.}$

Простые многочлены Лагерра являются частным случаем α = 0 обобщенных многочленов Лагерра:

${\displaystyle L_{n}^{(0)}(x)=L_{n}(x).}$

Формула Родригеса для них такова:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&={x^{-\alpha }e^{x} \over n!}{d^{n} \over dx^{n}}\left(e^{-x}x^{n+\alpha }\right)\\[4pt]&=x^{-\alpha }{\frac {\left({\frac {d}{dx}}-1\right)^{n}}{n!}}x^{n+\alpha }.\end{aligned}}}$

Производящая функция для них

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }t^{n}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-tx/(1-t)}.}$

Первые несколько обобщенных многочленов Лагерра, L _n ^{( k )} ( x )

Явные примеры и свойства обобщенных многочленов Лагерра [ править ]

• Функции Лагерра определяются вырожденными гипергеометрическими функциями и преобразованием Куммера как ^[3]

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x):={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x).}$

${\displaystyle {n+\alpha \choose n}}$- обобщенный биномиальный коэффициент . Когда n является целым числом, функция сводится к полиному степени n . Имеет альтернативное выражение ^[4]

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {(-1)^{n}}{n!}}U(-n,\alpha +1,x)}$

в терминах функции Куммера второго рода .

• Замкнутая форма для этих обобщенных многочленов Лагерра степени n имеет вид ^[5]

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}{\frac {x^{i}}{i!}}}$

полученный путем применения теоремы Лейбница о дифференцировании продукта к формуле Родригеса.

• Первые несколько обобщенных многочленов Лагерра:

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{0}^{(\alpha )}(x)&=1\\L_{1}^{(\alpha )}(x)&=-x+(\alpha +1)\\L_{2}^{(\alpha )}(x)&={\frac {x^{2}}{2}}-(\alpha +2)x+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)}{2}}\\L_{3}^{(\alpha )}(x)&={\frac {-x^{3}}{6}}+{\frac {(\alpha +3)x^{2}}{2}}-{\frac {(\alpha +2)(\alpha +3)x}{2}}+{\frac {(\alpha +1)(\alpha +2)(\alpha +3)}{6}}\end{aligned}}}$

• Коэффициент ведущего термина (-1) ^п / п !;
• Термин константа , которая представляет собой значение в 0, является

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(0)={n+\alpha \choose n}={\frac {n^{\alpha }}{\Gamma (\alpha +1)}}+O\left(n^{\alpha -1}\right);}$

• Если α неотрицательно, то L _n ^{( α )} имеет n действительных , строго положительных корней (обратите внимание, что это цепь Штурма ), которые все находятся в интервале ^{[ необходимая ссылка ]}${\displaystyle \left((-1)^{n-i}L_{n-i}^{(\alpha )}\right)_{i=0}^{n}}$ ${\displaystyle \left(0,n+\alpha +(n-1){\sqrt {n+\alpha }}\,\right].}$
• Асимптотика полиномов для больших n , но фиксированных α и x > 0 дается формулой ^{[6] [7]}

${\displaystyle {\begin{aligned}&L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{\sqrt {\pi }}}{\frac {e^{\frac {x}{2}}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}\sin \left(2{\sqrt {nx}}-{\frac {\pi }{2}}\left(\alpha -{\frac {1}{2}}\right)\right)+O\left(n^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {3}{4}}}\right),\\[6pt]&L_{n}^{(\alpha )}(-x)={\frac {(n+1)^{{\frac {\alpha }{2}}-{\frac {1}{4}}}}{2{\sqrt {\pi }}}}{\frac {e^{-x/2}}{x^{{\frac {\alpha }{2}}+{\frac {1}{4}}}}}e^{2{\sqrt {x(n+1)}}}\cdot \left(1+O\left({\frac {1}{\sqrt {n+1}}}\right)\right),\end{aligned}}}$

и резюмируя

${\displaystyle {\frac {L_{n}^{(\alpha )}\left({\frac {x}{n}}\right)}{n^{\alpha }}}\approx e^{x/2n}\cdot {\frac {J_{\alpha }\left(2{\sqrt {x}}\right)}{{\sqrt {x}}^{\alpha }}},}$

где - функция Бесселя .${\displaystyle J_{\alpha }}$

Как контурный интеграл [ править ]

С учетом производящей функции, указанной выше, многочлены могут быть выражены через контурный интеграл

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={\frac {1}{2\pi i}}\oint _{C}{\frac {e^{-xt/(1-t)}}{(1-t)^{\alpha +1}\,t^{n+1}}}\;dt,}$

где контур обходит начало координат один раз против часовой стрелки, не ограничивая существенную особенность в точке 1

Отношения повторения [ править ]

Формула сложения для многочленов Лагерра: ^[8]

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +\beta +1)}(x+y)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{n-i}^{(\beta )}(y)}$.

Многочлены Лагерра удовлетворяют рекуррентным соотношениям

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{n-i}^{(\alpha +i)}(y){\frac {(y-x)^{i}}{i!}},}$

особенно

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{i=0}^{n}L_{i}^{(\alpha )}(x)}$

и

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n-i-1 \choose n-i}L_{i}^{(\beta )}(x),}$

или же

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n}{\alpha -\beta +n \choose n-i}L_{i}^{(\beta -i)}(x);}$

более того

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)-\sum _{j=0}^{\Delta -1}{n+\alpha \choose n-j}(-1)^{j}{\frac {x^{j}}{j!}}&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(\alpha +\Delta )}(x)\\[6pt]&=(-1)^{\Delta }{\frac {x^{\Delta }}{(\Delta -1)!}}\sum _{i=0}^{n-\Delta }{\frac {n+\alpha -i-1 \choose n-\Delta -i}{(n-i){n \choose i}}}L_{i}^{(n+\alpha +\Delta -i)}(x)\end{aligned}}}$

Их можно использовать для вывода четырех правил из трех точек.

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=L_{n}^{(\alpha +1)}(x)-L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)=\sum _{j=0}^{k}{k \choose j}L_{n-j}^{(\alpha +k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha )}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-xL_{n-1}^{(\alpha +1)}(x),\\[10pt]&{\text{or }}\\{\frac {x^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\sum _{i=0}^{k}(-1)^{i}{n+i \choose i}{n+\alpha \choose k-i}L_{n+i}^{(\alpha -k)}(x),\\[10pt]nL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n-x)L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)+(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]xL_{n}^{(\alpha +1)}(x)&=(n+\alpha )L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-(n-x)L_{n}^{(\alpha )}(x);\end{aligned}}}$

вместе они дают дополнительные полезные рекуррентные соотношения

${\displaystyle {\begin{aligned}L_{n}^{(\alpha )}(x)&=\left(2+{\frac {\alpha -1-x}{n}}\right)L_{n-1}^{(\alpha )}(x)-\left(1+{\frac {\alpha -1}{n}}\right)L_{n-2}^{(\alpha )}(x)\\[10pt]&={\frac {\alpha +1-x}{n}}L_{n-1}^{(\alpha +1)}(x)-{\frac {x}{n}}L_{n-2}^{(\alpha +2)}(x)\end{aligned}}}$

Поскольку - монический многочлен степени in , существует разложение на частичную дробь${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {n!\,L_{n}^{(\alpha )}(x)}{(\alpha +1)_{n}}}&=1-\sum _{j=1}^{n}(-1)^{j}{\frac {j}{\alpha +j}}{n \choose j}L_{n}^{(-j)}(x)\\&=1-\sum _{j=1}^{n}{\frac {x^{j}}{\alpha +j}}\,\,{\frac {L_{n-j}^{(j)}(x)}{(j-1)!}}\\&=1-x\sum _{i=1}^{n}{\frac {L_{n-i}^{(-\alpha )}(x)L_{i-1}^{(\alpha +1)}(-x)}{\alpha +i}}.\end{aligned}}}$

Второе равенство следует из следующего тождества, действительного для целых i и n и непосредственно из выражения в терминах полиномов Шарлье :${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)}$

${\displaystyle {\frac {(-x)^{i}}{i!}}L_{n}^{(i-n)}(x)={\frac {(-x)^{n}}{n!}}L_{i}^{(n-i)}(x).}$

Для третьего равенства применяются четвертый и пятый тождества этого раздела.

Производные обобщенных полиномов Лагерра [ править ]

Дифференцирование представления степенного ряда обобщенного многочлена Лагерра k раз приводит к

${\displaystyle {\frac {d^{k}}{dx^{k}}}L_{n}^{(\alpha )}(x)={\begin{cases}(-1)^{k}L_{n-k}^{(\alpha +k)}(x)&{\text{if }}k\leq n,\\0&{\text{otherwise.}}\end{cases}}}$

Это указывает на частный случай ( α = 0 ) приведенной выше формулы: для целого числа α = k можно записать обобщенный многочлен

${\displaystyle L_{n}^{(k)}(x)=(-1)^{k}{\frac {d^{k}L_{n+k}(x)}{dx^{k}}},}$

сдвиг на k иногда вызывает путаницу с обычными скобками для обозначения производной.

Кроме того, имеет место следующее уравнение:

${\displaystyle {\frac {1}{k!}}{\frac {d^{k}}{dx^{k}}}x^{\alpha }L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose k}x^{\alpha -k}L_{n}^{(\alpha -k)}(x),}$

которое обобщается с формулой Коши на

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha ')}(x)=(\alpha '-\alpha ){\alpha '+n \choose \alpha '-\alpha }\int _{0}^{x}{\frac {t^{\alpha }(x-t)^{\alpha '-\alpha -1}}{x^{\alpha '}}}L_{n}^{(\alpha )}(t)\,dt.}$

Производная по второй переменной α имеет вид ^[9]

${\displaystyle {\frac {d}{d\alpha }}L_{n}^{(\alpha )}(x)=\sum _{i=0}^{n-1}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{n-i}}.}$

Это видно из представленного ниже контурного интегрального представления.

Обобщенные полиномы Лагерра подчиняются дифференциальному уравнению

${\displaystyle xL_{n}^{(\alpha )\prime \prime }(x)+(\alpha +1-x)L_{n}^{(\alpha )\prime }(x)+nL_{n}^{(\alpha )}(x)=0,}$

которое можно сравнить с уравнением, которому подчиняется k- я производная обычного полинома Лагерра,

${\displaystyle xL_{n}^{[k]\prime \prime }(x)+(k+1-x)L_{n}^{[k]\prime }(x)+(n-k)L_{n}^{[k]}(x)=0,}$

где только для этого уравнения.${\displaystyle L_{n}^{[k]}(x)\equiv {\frac {d^{k}L_{n}(x)}{dx^{k}}}}$

В форме Штурма – Лиувилля дифференциальное уравнение имеет вид

${\displaystyle -\left(x^{\alpha +1}e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x)^{\prime }\right)^{\prime }=n\cdot x^{\alpha }e^{-x}\cdot L_{n}^{(\alpha )}(x),}$

что показывает, что L^(α)
_пявляется собственным вектором для собственного значения n .

Ортогональность [ править ]

Обобщенные полиномы Лагерра ортогональны над [0, ∞) относительно меры с весовой функцией x ^α e ^{- x} : ^[10]

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha }e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)dx={\frac {\Gamma (n+\alpha +1)}{n!}}\delta _{n,m},}$

что следует из

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha '-1}e^{-x}L_{n}^{(\alpha )}(x)dx={\alpha -\alpha '+n \choose n}\Gamma (\alpha ').}$

Если обозначает гамма-распределение, то соотношение ортогональности можно записать как${\displaystyle \Gamma (x,\alpha +1,1)}$

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{m}^{(\alpha )}(x)\Gamma (x,\alpha +1,1)dx={n+\alpha \choose n}\delta _{n,m},}$

Соответствующий симметричный ядерный многочлен имеет представления ( формула Кристоффеля – Дарбу ) ^{[ необходимая ссылка ]}

${\displaystyle {\begin{aligned}K_{n}^{(\alpha )}(x,y)&:={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)L_{i}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +i \choose i}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(y)-L_{n+1}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{{\frac {x-y}{n+1}}{n+\alpha \choose n}}}\\[4pt]&={\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}\sum _{i=0}^{n}{\frac {x^{i}}{i!}}{\frac {L_{n-i}^{(\alpha +i)}(x)L_{n-i}^{(\alpha +i+1)}(y)}{{\alpha +n \choose n}{n \choose i}}};\end{aligned}}}$

рекурсивно

${\displaystyle K_{n}^{(\alpha )}(x,y)={\frac {y}{\alpha +1}}K_{n-1}^{(\alpha +1)}(x,y)+{\frac {1}{\Gamma (\alpha +1)}}{\frac {L_{n}^{(\alpha +1)}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)}{\alpha +n \choose n}}.}$

Более того, ^{[ требуется уточнение Предел, когда n стремится к бесконечности? ]}

${\displaystyle y^{\alpha }e^{-y}K_{n}^{(\alpha )}(\cdot ,y)\to \delta (y-\cdot ).}$

Здесь можно вывести неравенства Турана:

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)^{2}-L_{n-1}^{(\alpha )}(x)L_{n+1}^{(\alpha )}(x)=\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {\alpha +n-1 \choose n-k}{n{n \choose k}}}L_{k}^{(\alpha -1)}(x)^{2}>0.}$

Следующий интеграл необходим в квантовой механической обработке атома водорода ,

${\displaystyle \int _{0}^{\infty }x^{\alpha +1}e^{-x}\left[L_{n}^{(\alpha )}(x)\right]^{2}dx={\frac {(n+\alpha )!}{n!}}(2n+\alpha +1).}$

Расширения серий [ править ]

Пусть функция имеет разложение в (формальный) ряд

${\displaystyle f(x)=\sum _{i=0}^{\infty }f_{i}^{(\alpha )}L_{i}^{(\alpha )}(x).}$

потом

${\displaystyle f_{i}^{(\alpha )}=\int _{0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{i+\alpha \choose i}}\cdot {\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}\cdot f(x)\,dx.}$

Ряд сходится в ассоциированном гильбертовом пространстве L 2 [0, ∞) тогда и только тогда, когда

${\displaystyle \|f\|_{L^{2}}^{2}:=\int _{0}^{\infty }{\frac {x^{\alpha }e^{-x}}{\Gamma (\alpha +1)}}|f(x)|^{2}\,dx=\sum _{i=0}^{\infty }{i+\alpha \choose i}|f_{i}^{(\alpha )}|^{2}<\infty .}$

Дальнейшие примеры расширений [ править ]

Мономы представлены как

${\displaystyle {\frac {x^{n}}{n!}}=\sum _{i=0}^{n}(-1)^{i}{n+\alpha \choose n-i}L_{i}^{(\alpha )}(x),}$

в то время как двучлены имеют параметризацию

${\displaystyle {n+x \choose n}=\sum _{i=0}^{n}{\frac {\alpha ^{i}}{i!}}L_{n-i}^{(x+i)}(\alpha ).}$

Это приводит непосредственно к

${\displaystyle e^{-\gamma x}=\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {\gamma ^{i}}{(1+\gamma )^{i+\alpha +1}}}L_{i}^{(\alpha )}(x)\qquad {\text{convergent iff }}\Re (\gamma )>-{\tfrac {1}{2}}}$

для экспоненциальной функции. Неполная гамма - функция имеет представление

${\displaystyle \Gamma (\alpha ,x)=x^{\alpha }e^{-x}\sum _{i=0}^{\infty }{\frac {L_{i}^{(\alpha )}(x)}{1+i}}\qquad \left(\Re (\alpha )>-1,x>0\right).}$

В квантовой механике [ править ]

В квантовой механике уравнение Шредингера для водородоподобного атома точно решается путем разделения переменных в сферических координатах. Радиальная часть волновой функции представляет собой (обобщенный) полином Лагерра. ^[11]

Вибронные переходы в приближении Франка-Кондона также можно описать с помощью полиномов Лагерра. ^[12]

Теоремы умножения [ править ]

Эрдейи приводит следующие две теоремы умножения ^[13]

${\displaystyle {\begin{aligned}&t^{n+1+\alpha }e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=n}^{\infty }{k \choose n}\left(1-{\frac {1}{t}}\right)^{k-n}L_{k}^{(\alpha )}(z),\\[6pt]&e^{(1-t)z}L_{n}^{(\alpha )}(zt)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(1-t)^{k}z^{k}}{k!}}L_{n}^{(\alpha +k)}(z).\end{aligned}}}$

Связь с полиномами Эрмита [ править ]

Обобщенные полиномы Лагерра связаны с полиномами Эрмита :

${\displaystyle {\begin{aligned}H_{2n}(x)&=(-1)^{n}2^{2n}n!L_{n}^{(-1/2)}(x^{2})\\[4pt]H_{2n+1}(x)&=(-1)^{n}2^{2n+1}n!xL_{n}^{(1/2)}(x^{2})\end{aligned}}}$

где H _n ( x ) - полиномы Эрмита, основанные на весовой функции exp (- x ² ), так называемой «версии физика».

Из-за этого при рассмотрении квантового гармонического осциллятора возникают обобщенные полиномы Лагерра .

Связь с гипергеометрическими функциями [ править ]

Многочлены Лагерра могут быть определены в терминах гипергеометрических функций , в частности конфлюэнтных гипергеометрических функций , как

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(x)={n+\alpha \choose n}M(-n,\alpha +1,x)={\frac {(\alpha +1)_{n}}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,x)}$

где - символ Поххаммера (который в данном случае представляет возрастающий факториал).${\displaystyle (a)_{n}}$

Формула Харди – Хилле [ править ]

Обобщенные полиномы Лагерра удовлетворяют формуле Харди – Хилле ^{[14] [15]}

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!\,\Gamma \left(\alpha +1\right)}{\Gamma \left(n+\alpha +1\right)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(1-t)^{\alpha +1}}}e^{-(x+y)t/(1-t)}\,_{0}F_{1}\left(;\alpha +1;{\frac {xyt}{(1-t)^{2}}}\right),}$

где ряд слева сходится при и . Использование идентичности${\displaystyle \alpha >-1}$${\displaystyle |t|<1}$

${\displaystyle \,_{0}F_{1}(;\alpha +1;z)=\,\Gamma (\alpha +1)z^{-\alpha /2}I_{\alpha }\left(2{\sqrt {z}}\right),}$

(см. обобщенную гипергеометрическую функцию ), это также можно записать как

${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {n!}{\Gamma (1+\alpha +n)}}L_{n}^{(\alpha )}(x)L_{n}^{(\alpha )}(y)t^{n}={\frac {1}{(xyt)^{\alpha /2}(1-t)}}e^{-(x+y)t/(1-t)}I_{\alpha }\left({\frac {2{\sqrt {xyt}}}{1-t}}\right).}$

Эта формула является обобщением ядра Мелера для полиномов Эрмита , которое может быть восстановлено из него с помощью соотношений между полиномами Лагерра и Эрмита, приведенными выше.

См. Также [ править ]

• Многочлены Анжелеску
• Поперечная мода , важное применение полиномов Лагерра для описания интенсивности поля в волноводе или профиле лазерного луча.

Заметки [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 22» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое издание). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 773. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN  64-60036 . Руководство по ремонту  0167642 . LCCN  65-12253 .
• Г. Сегё, Ортогональные многочлены , 4-е издание, Amer. Математика. Soc. Коллок. Publ. , т. 23, амер. Математика. Soc., Провиденс, Род-Айленд, 1975.
• Koornwinder, Tom H .; Wong, Roderick SC; Коэкоек, Рулоф; Свартту, Рене Ф. (2010), «Ортогональные многочлены» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Б. Спейн, М.Г. Смит, Функции математической физики , Van Nostrand Reinhold Company, Лондон, 1970. Глава 10 посвящена многочленам Лагерра.
• "Многочлены Лагерра" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Эрик В. Вайсштейн , « Полином Лагерра », из MathWorld - веб-ресурс Wolfram.
• Джордж Арфкен и Ханс Вебер (2000). Математические методы для физиков . Академическая пресса. ISBN 978-0-12-059825-0.

Внешние ссылки [ править ]

• Тимоти Джонс. «Полиномы Лежандра и Лагерра и элементарная квантово-механическая модель атома водорода» .
• Вайсштейн, Эрик В. «Многочлен Лагерра» . MathWorld .