Потенциал Морзе

Вычислительная физика
Механика  · Электромагнетизм  · Термодинамика  · Моделирование
Возможности Потенциал Морзе / Дальнего действия  · Потенциал Леннарда-Джонса  · Потенциал Юкавы  · Потенциал Морзе
Динамика жидкостей Конечная разница  · Конечный объем Конечный элемент  · Граничный элемент Решетка Больцмана  · Решатель Римана Динамика диссипативных частиц Гидродинамика сглаженных частиц Модели турбулентности
Методы Монте-Карло Интеграция  · Выборка Гиббса  · Алгоритм Метрополиса
Частицы N-тело  · Частица в клетке Молекулярная динамика
Ученые Годунов  · Улам  · фон Нейман  · Галеркин  · Лоренц  · Уилсон  · Ольха  · Рихтмайер
v т е

Потенциал Морзе , названный в честь физика Филипп М. Морс , является удобным межатомным модель взаимодействия для потенциальной энергии в виде двухатомной молекулы . Это лучшее приближение для колебательной структуры молекулы, чем квантовый гармонический осциллятор, поскольку он явно включает эффекты разрыва связи, такие как существование несвязанных состояний. Он также учитывает ангармонизм реальных облигаций и ненулевую вероятность перехода для обертоновых и комбинированных полос.. Потенциал Морзе также можно использовать для моделирования других взаимодействий, таких как взаимодействие между атомом и поверхностью. Из-за своей простоты (всего три подгоночных параметра) он не используется в современной спектроскопии. Однако его математическая форма вдохновила на создание потенциала MLR ( Морзе / дальнего действия ), который является наиболее популярной функцией потенциальной энергии, используемой для подбора спектроскопических данных.

Функция потенциальной энергии [ править ]

Функция потенциальной энергии Морзе имеет вид

${\ Displaystyle V '(г) = D_ {е} (1-е ^ {- а (г-р_ {е})}) ^ {2}}$

Вот расстояние между атомами, это расстояние между равновесными связями, это глубина ямы (определенная относительно диссоциированных атомов) и контролирует «ширину» потенциала (чем меньше , тем больше яма). Энергия диссоциации связи может быть рассчитана путем вычитания энергии нулевой точки из глубины ямы. Постоянная силы (жесткость) облигаций может быть найдено с помощью разложения Тейлора по всему ко второй производной от функции потенциальной энергии, из которого он может быть показан , что параметр, является${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r_ {e}}$${\ displaystyle D_ {e}}$${\ displaystyle a}$${\ displaystyle a}$ ${\ displaystyle E_ {0}}$${\ Displaystyle V '(г)}$${\ displaystyle r = r_ {e}}$${\ displaystyle a}$

${\ displaystyle a = {\ sqrt {k_ {e} / 2D_ {e}}},}$

где - силовая постоянная в минимуме скважины.${\ displaystyle k_ {e}}$

Поскольку ноль потенциальной энергии является произвольным , уравнение для потенциала Морзе можно переписать любым количеством способов, добавляя или вычитая постоянное значение. Когда он используется для моделирования взаимодействия атома с поверхностью, нулевую энергию можно переопределить так, чтобы потенциал Морзе стал

${\ displaystyle V (r) = V '(r) -D_ {e} = D_ {e} (1-e ^ {- a (r-r_ {e})}) ^ {2} -D_ {e} }$

который обычно записывается как

${\ displaystyle V (r) = D_ {e} (e ^ {- 2a (r-r_ {e})} - 2e ^ {- a (r-r_ {e})})}$

где теперь координата, перпендикулярная поверхности. Эта форма стремится к нулю при бесконечном и равна в минимуме, то есть . Он ясно показывает, что потенциал Морзе представляет собой комбинацию краткосрочного члена отталкивания (первый) и дальнодействующего члена притяжения (второй), аналогично потенциалу Леннарда-Джонса .${\ displaystyle r}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle -D_ {e}}$${\ displaystyle r = r_ {e}}$

Колебательные состояния и энергии [ править ]

Подобно квантовому гармоническому осциллятору , энергии и собственные состояния потенциала Морзе могут быть найдены с помощью операторных методов. ^[1] Один из подходов включает применение метода факторизации к гамильтониану.

Для записи стационарных состояний на потенциал Морзе, то есть решения и из следующего уравнения Шредингера :${\ Displaystyle \ Пси _ {п} (г)}$${\ displaystyle E_ {n}}$

${\ displaystyle \ left (- {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2m}} {\ frac {\ partial ^ {2}} {\ partial r ^ {2}}} + V (r) \ right ) \ Psi _ {n} (r) = E_ {n} \ Psi _ {n} (r),}$

удобно ввести новые переменные:

${\displaystyle x=ar{\text{; }}x_{e}=ar_{e}{\text{; }}\lambda ={\frac {\sqrt {2mD_{e}}}{a\hbar }}{\text{; }}\varepsilon _{n}={\frac {2m}{a^{2}\hbar ^{2}}}E_{n}.}$

Тогда уравнение Шредингера принимает простой вид:

${\displaystyle \left(-{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}+V(x)\right)\Psi _{n}(x)=\varepsilon _{n}\Psi _{n}(x),}$

${\displaystyle V(x)=\lambda ^{2}\left(e^{-2\left(x-x_{e}\right)}-2e^{-\left(x-x_{e}\right)}\right).}$

Его собственные значения и собственные состояния могут быть записаны как: ^[2]

${\displaystyle \varepsilon _{n}=-\left(\lambda -n-{\frac {1}{2}}\right)^{2},}$

где

${\displaystyle n=0,1,\ldots ,\left[\lambda -{\frac {1}{2}}\right],}$

где [x] обозначает наибольшее целое число, меньшее x.

${\displaystyle \Psi _{n}(z)=N_{n}z^{\lambda -n-{\frac {1}{2}}}e^{-{\frac {1}{2}}z}L_{n}^{(2\lambda -2n-1)}(z),}$

где и - обобщенный многочлен Лагерра :${\displaystyle z=2\lambda e^{-\left(x-x_{e}\right)}{\text{; }}N_{n}=\left[{\frac {n!\left(2\lambda -2n-1\right)}{\Gamma (2\lambda -n)}}\right]^{\frac {1}{2}}}$${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)}$

${\displaystyle L_{n}^{(\alpha )}(z)={\frac {z^{-\alpha }e^{z}}{n!}}{\frac {d^{n}}{dz^{n}}}\left(z^{n+\alpha }e^{-z}\right)={\frac {\Gamma (\alpha +n+1)/\Gamma (\alpha +1)}{n!}}\,_{1}F_{1}(-n,\alpha +1,z),}$

Также существует следующее важное аналитическое выражение для матричных элементов координатного оператора (здесь предполагается, что и ) ^[3]${\displaystyle m>n}$${\displaystyle N=\lambda -{\frac {1}{2}}}$

${\displaystyle \left\langle \Psi _{m}|x|\Psi _{n}\right\rangle ={\frac {2(-1)^{m-n+1}}{(m-n)(2N-n-m)}}{\sqrt {\frac {(N-n)(N-m)\Gamma (2N-m+1)m!}{\Gamma (2N-n+1)n!}}}.}$

Собственные энергии в начальных переменных имеют вид:

${\displaystyle E_{n}=h\nu _{0}(n+1/2)-{\frac {\left[h\nu _{0}(n+1/2)\right]^{2}}{4D_{e}}}}$

где - колебательное квантовое число, имеет единицы частоты и математически связано с массой частицы , и константами Морса через${\displaystyle n}$${\displaystyle \nu _{0}}$${\displaystyle m}$

${\displaystyle \nu _{0}={\frac {a}{2\pi }}{\sqrt {2D_{e}/m}}.}$

В то время как интервал энергии между колебательными уровнями в квантовом гармоническом осцилляторе постоянен при , энергия между соседними уровнями уменьшается с увеличением в осцилляторе Морзе. Математически интервал уровней Морзе равен${\displaystyle h\nu _{0}}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle E_{n+1}-E_{n}=h\nu _{0}-(n+1)(h\nu _{0})^{2}/2D_{e}.\,}$

Эта тенденция соответствует ангармонизму реальных молекул. Однако это уравнение не работает выше некоторого значения, где вычисляется как нулевое или отрицательное. Конкретно,${\displaystyle n_{m}}$${\displaystyle E(n_{m}+1)-E(n_{m})}$

${\displaystyle n_{m}={\frac {2D_{e}-h\nu _{0}}{h\nu _{0}}}}$ целая часть.

Этот сбой происходит из-за конечного числа связанных уровней в потенциале Морса и некоторого максимума, который остается связанным. Для энергий, указанных выше , разрешены все возможные уровни энергии, и уравнение для больше не действует.${\displaystyle n_{m}}$${\displaystyle n_{m}}$${\displaystyle E_{n}}$

Ниже , является хорошим приближением для истинной колебательной структуры в невращающихся двухатомных молекулах. Фактически, реальные молекулярные спектры в целом соответствуют виду ¹${\displaystyle n_{m}}$${\displaystyle E_{n}}$

${\displaystyle E_{n}/hc=\omega _{e}(n+1/2)-\omega _{e}\chi _{e}(n+1/2)^{2}\,}$

в котором константы и могут быть напрямую связаны с параметрами для потенциала Морзе.${\displaystyle \omega _{e}}$${\displaystyle \omega _{e}\chi _{e}}$

Как ясно из анализа размерностей , по историческим причинам последнее уравнение использует спектроскопические обозначения, которые представляют подчиняющееся волновое число , а не угловую частоту, заданную формулой .${\displaystyle \omega _{e}}$${\displaystyle E=hc\omega }$${\displaystyle E=\hbar \omega }$

Потенциал Морзе / дальнего действия [ править ]

Важным расширением потенциала Морзе, сделавшим форму Морзе очень полезной для современной спектроскопии, является потенциал MLR ( Morse / Long-range ). ^[4] Потенциал MLR используется в качестве стандарта для представления спектроскопических и / или вириальных данных двухатомных молекул кривой потенциальной энергии. Он был использован на N ₂ , ^[5] Ca ₂ , ^[6] KLi, ^[7] MgH, ^{[8] [9] [10]} нескольких электронных состояниях Li ₂ , ^{[4] [11] [12] [ 13] [9]} Cs ₂ , ^{[14] [15]} Sr ₂, ^[16] ArXe, ^{[9] [17]} LiCa, ^[18] LiNa, ^[19] Br ₂ , ^[20] Mg ₂ , ^[21] HF, ^{[22] [23]} HCl, ^{[22] [23]} HBr, ^{[22] [23]} HI, ^{[22] [23]} MgD, ^[8] Be ₂ , ^[24] BeH, ^[25] и NaH. ^[26] Для многоатомных молекул используются более сложные версии.

См. Также [ править ]

• Морзе / дальний потенциал
• Потенциал Леннарда-Джонса
• Молекулярная механика

Ссылки [ править ]

• ¹ Справочник по химии и физике CRC, Эд Дэвид Р. Лид, 87-е изд., Раздел 9, СПЕКТРОСКОПИЧЕСКИЕ КОНСТАНТЫ ДИАТОМНЫХ МОЛЕКУЛ, стр. 9–82
• Морс, PM (1929). «Двухатомные молекулы согласно волновой механике. II. Колебательные уровни». Phys. Ред . 34 . С. 57–64. Bibcode : 1929PhRv ... 34 ... 57М . DOI : 10.1103 / PhysRev.34.57 .
• Гирифалько, Луизиана; Вейзер, Г.В. (1959). «Применение потенциальной функции Морзе к кубическим металлам». Phys. Ред . 114 (3). п. 687. Bibcode : 1959PhRv..114..687G . DOI : 10.1103 / PhysRev.114.687 .
• Шор, Брюс В. (1973). «Сравнение матричных методов, примененных к радиальному уравнению собственных значений Шредингера: потенциал Морса». J. Chem. Phys . 59 (12). п. 6450. Полномочный код : 1973JChPh..59.6450S . DOI : 10.1063 / 1.1680025 .
• Киз, Роберт В. (1975). «Связывающие и разрыхляющие потенциалы в полупроводниках IV группы». Phys. Rev. Lett . 34 (21). С. 1334–1337. Bibcode : 1975PhRvL..34.1334K . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.34.1334 .
• Линкольн, RC; Киловад, км; Гейт, ПБ (1967). «Оценка потенциала Морзе упругих постоянных второго и третьего порядка некоторых кубических металлов». Phys. Ред . 157 (3). С. 463–466. Bibcode : 1967PhRv..157..463L . DOI : 10.1103 / PhysRev.157.463 .
• Донг, Ши-Хай; Lemus, R .; Франк, А. (2001). «Лестничные операторы для потенциала Морзе». Int. J. Quantum Chem . 86 (5). С. 433–439. DOI : 10.1002 / qua.10038 .
• Чжоу, Яоци; Карплюс, Мартин; Болл, Кейт Д.; Бери, Р. Стивен (2002). «Критерий флуктуации расстояния для плавления: сравнение моделей с квадратными ямами и потенциала Морзе для кластеров и гомополимеров». J. Chem. Phys . 116 (5). С. 2323–2329. DOI : 10.1063 / 1.1426419 .
• И.Г. Каплан, Справочник по молекулярной физике и квантовой химии, Wiley, 2003, стр. 207.