Ангармонизм

Потенциальная энергия двухатомной молекулы как функция межатомного расстояния . Когда молекулы находятся слишком близко или слишком далеко, они испытывают восстанавливающую силу в направлении u ₀ . (Представьте себе шарик, катящийся взад и вперед по впадине.) Синяя кривая по форме близка к реальной потенциальной яме молекулы , а красная парабола - хорошее приближение для небольших колебаний. Красное приближение лечит молекулы как гармонический осциллятор, потому восстанавливающую силу, -V '(и) , является линейным по отношению к смещению ¯u .

В классической механике , энгармонизм это отклонение из системы от того , чтобы гармонического осциллятора . Генератора , который не колеблющиеся в гармоническом движении известно как ангармонический осциллятор , где система может быть аппроксимирована с гармоническим осциллятором и энгармонизм может быть вычислен с помощью теории возмущений . Если ангармонизм велик, необходимо использовать другие численные методы .

В результате появляются колебания с частотами и т. Д., Где - основная частота генератора. Кроме того, частота отклоняется от частоты гармонических колебаний. В первом приближении сдвиг частоты пропорционален квадрату амплитуды колебаний : ${\ displaystyle 2 \ omega}$ ${\ displaystyle 3 \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle \ Delta \ omega = \ omega - \ omega _ {0}}$ ${\ displaystyle A}$

{\ displaystyle \ Delta \ omega \ propto A ^ {2}}

В системе осцилляторов с собственными частотами , ... Результаты ангармонизмом дополнительных колебаний с частотами . ${\ displaystyle \ omega _ {\ alpha}}$ $\omega _{\beta }$ $\omega _{\alpha }\pm \omega _{\beta }$

Ангармоничность также изменяет энергетический профиль резонансной кривой, приводя к интересным явлениям, таким как эффект переплетения и супергармонический резонанс.

Общий принцип [ править ]

2 DOF упругий маятник с ангармоническим поведением.

Гармонические и ангармонические осцилляторы

Маятник представляет собой простой гармонический осциллятор. В зависимости от углового положения груза θ , восстанавливающая сила сдвигает координату θ назад к середине. Этот осциллятор является ангармоническим, потому что возвращающая сила пропорциональна не θ , а sin (θ) . Поскольку линейная функция y = θ аппроксимирует нелинейную функцию y = sin (θ), когда θ мало, систему можно моделировать как гармонический осциллятор для малых колебаний.

Осциллятор - это физическая система, характеризующаяся периодическим движением, такая как маятник, камертон или колеблющаяся двухатомная молекула . С математической точки зрения, основная особенность осциллятора состоит в том, что для некоторой координаты x системы сила, величина которой зависит от x, будет отталкивать x от крайних значений и обратно к некоторому центральному значению x ₀ , заставляя x колебаться между крайними значениями. Например, x может представлять смещение маятника из его положения покоя x = 0 . Поскольку абсолютное значение x увеличивается, так же как и восстанавливающая сила, действующая на вес маятника, который толкает его обратно в положение покоя.

В гармонических осцилляторах восстанавливающая сила пропорциональна по величине (и противоположна по направлению) смещению x из его естественного положения x ₀ . Полученное дифференциальное уравнение подразумевает, что x должен колебаться синусоидально с течением времени с периодом колебаний, который присущ системе. x может колебаться с любой амплитудой, но всегда будет иметь один и тот же период.

Однако для ангармонических осцилляторов характерна нелинейная зависимость восстанавливающей силы от смещения x. Следовательно, период колебаний ангармонического осциллятора может зависеть от его амплитуды колебаний.

В результате нелинейности ангармонических осцилляторов частота колебаний может изменяться в зависимости от смещения системы. Эти изменения частоты вибрации приводят к передаче энергии от основной частоты вибрации к другим частотам посредством процесса, известного как параметрическая связь. ^{[ требуется разъяснение ]}

Рассматривая нелинейную восстанавливающую силу как функцию F (xx ₀ ) смещения x из его естественного положения, мы можем заменить F его линейной аппроксимацией F ₁ = F '(0) * (xx ₀ ) при нулевом смещении. Аппроксимирующая функция F ₁ является линейной, поэтому она описывает простое гармоническое движение. Кроме того, эта функция F ₁ точна, когда xx ₀ мало. По этой причине ангармоническое движение можно аппроксимировать как гармоническое, если колебания малы.

Примеры в физике [ править ]

В физическом мире существует множество систем, которые можно смоделировать как ангармонические осцилляторы в дополнение к нелинейной системе масса-пружина. Например, атом, который состоит из положительно заряженного ядра, окруженного отрицательно заряженным электронным облаком, испытывает смещение между центром масс ядра и электронным облаком при наличии электрического поля. Величина этого смещения, называемая электрическим дипольным моментом, линейно связана с приложенным полем для малых полей, но по мере увеличения величины поля зависимость поле-дипольный момент становится нелинейной, как и в механической системе.

Другие примеры ангармонических осцилляторов включают в себя маятник с большим углом; неравновесные полупроводники с большой популяцией горячих носителей, которые демонстрируют нелинейное поведение различных типов, связанных с эффективной массой носителей; и ионосферная плазма, которая также демонстрирует нелинейное поведение, основанное на ангармонизме плазмы. Фактически, практически все осцилляторы становятся ангармоническими, когда их амплитуда накачки превышает некоторый порог, и в результате необходимо использовать нелинейные уравнения движения для описания их поведения.

Ангармонизм играет роль в колебаниях решетки и молекул, в квантовых колебаниях ^[1] и в акустике . Атомы в молекуле или твердом теле колеблются около своего положения равновесия. Когда эти колебания имеют малую амплитуду, их можно описать гармоническими осцилляторами . Однако, когда амплитуды колебаний велики, например, при высоких температурах, ангармонизм становится важным. Примером эффектов ангармонизма является тепловое расширение твердых тел, которое обычно изучается в рамках квазигармонического приближения.. Изучение колеблющихся ангармонических систем с помощью квантовой механики является сложной вычислительной задачей, потому что ангармонизм не только усложняет потенциал, испытываемый каждым осциллятором, но также вводит связь между осцилляторами. Для картирования ангармонического потенциала, испытываемого атомами как в молекулах ^{[2], так} и в твердых телах, можно использовать методы из первых принципов, такие как теория функционала плотности . ^[3] Точные энергии ангармонических колебаний могут быть затем получены путем решения уравнений ангармонических колебаний для атомов в рамках теории среднего поля . Наконец, можно использовать теорию возмущений Меллера – Плессе, чтобы выйти за рамки формализма среднего поля.

Потенциальная энергия от периода колебаний [ править ]

Рассмотрим потенциальную яму . Предполагая, что кривая симметрична относительно оси -оси, форма кривой может быть неявно определена из периода колебаний частиц с энергией по формуле: ^[^{необходима цитата}^] $U(x)$ $U=U(x)$ $U$ $T(E)$ $E$

U(x)={\frac {1}{2\pi {\sqrt {2m}}}}\int _{0}^{U}{\frac {T(E)\,dE}{\sqrt {U(x)-E}}}

.

И наоборот, период колебаний может быть получен ^[4]

T={\sqrt {2m}}\int _{x_{-}}^{x_{+}}{\frac {dx}{\sqrt {E-U}}}

См. Также [ править ]

Негармоничность
Гармонический осциллятор
Квантовый гармонический осциллятор
Музыкальная акустика
Нелинейный резонанс

Ссылки [ править ]

Ландау, ЛД ; Лифшиц, EM (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 978-0-08-021022-3
Filipponi, A .; Cavicchia, DR (2011), "Ангармоническая динамика массового O-пружинный осциллятор", Американский журнал физика , 79 (7): 730-735, DOI : 10.1119 / 1,3579129

^ Лим, Киран Ф .; Коулман, Уильям Ф. (август 2005 г.), "Влияние ангармоничности на двухатомную вибрацию: моделирование в электронной таблице" , J. Chem. Educ. , 82 (8): 1263, Bibcode : 2005JChEd..82.1263F , DOI : 10.1021 / ed082p1263.1
^ Юнг, JO; Бенни Гербер, Р. (1996), "Колебательные волновые функции и спектроскопия (H ₂ O) _n , n = 2,3,4,5: Колебательное самосогласованное поле с корреляционными поправками", J. Chem. Phys. , 105 (23): 10332, Bibcode : 1996JChPh.10510332J , DOI : 10,1063 / 1,472960
^ Монсеррат, B .; Драммонд, Северная Дакота; Needs, RJ (2013), "Ангармонические колебательные свойства в периодических системах: энергия, электрон-фононная связь и напряжение", Phys. Ред. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode : 2013PhRvB..87n4302M , doi : 10.1103 / PhysRevB.87.144302
^ Аморе, Паоло; Фернандес, Франсиско М. (2005). «Точные и приближенные выражения для периода ангармонических осцилляторов». Европейский журнал физики . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph / 0409034 . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 26/4/004 .

Внешние ссылки [ править ]

Элмер, Франц-Йозеф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс , Базельский университет , заархивировано из оригинала 13 июня 2011 г. , извлечено 28 октября 2010 г.

[1] Лим, Киран Ф .; Коулман, Уильям Ф. (август 2005 г.), "Влияние ангармоничности на двухатомную вибрацию: моделирование в электронной таблице" , J. Chem. Educ. , 82 (8): 1263, Bibcode : 2005JChEd..82.1263F , DOI : 10.1021 / ed082p1263.1

[2] Юнг, JO; Бенни Гербер, Р. (1996), "Колебательные волновые функции и спектроскопия (H ₂ O) _n , n = 2,3,4,5: Колебательное самосогласованное поле с корреляционными поправками", J. Chem. Phys. , 105 (23): 10332, Bibcode : 1996JChPh.10510332J , DOI : 10,1063 / 1,472960

[3] Монсеррат, B .; Драммонд, Северная Дакота; Needs, RJ (2013), "Ангармонические колебательные свойства в периодических системах: энергия, электрон-фононная связь и напряжение", Phys. Ред. B , 87 (14): 144302, arXiv : 1303.0745 , Bibcode : 2013PhRvB..87n4302M , doi : 10.1103 / PhysRevB.87.144302

[4] Аморе, Паоло; Фернандес, Франсиско М. (2005). «Точные и приближенные выражения для периода ангармонических осцилляторов». Европейский журнал физики . 26 (4): 589–601. arXiv : math-ph / 0409034 . DOI : 10.1088 / 0143-0807 / 26/4/004 .

[1]