Нормальный режим

Эта статья включает в себя список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( Декабрь 2010 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

«Нормальный режим» колебательной системы - это модель движения, при которой все части системы движутся синусоидально с одинаковой частотой и с фиксированным соотношением фаз. Свободное движение, описываемое нормальными модами, происходит на фиксированных частотах. Эти фиксированные частоты нормальных режимов системы известны как ее собственные частоты или резонансные частоты . Физический объект, такой как здание, мост или молекула, имеет набор нормальных режимов и их собственные частоты, которые зависят от его структуры, материалов и граничных условий. В музыке обычные формы вибрирующих инструментов (струн, воздуховодов, барабанов и т.д.) называются «гармониками» или «обертонами».

Наиболее общее движение системы - это суперпозиция ее нормальных режимов. Эти моды являются нормальными в том смысле, что они могут перемещаться независимо, то есть возбуждение одной моды никогда не вызовет движение другой моды. С математической точки зрения нормальные режимы ортогональны друг другу.

Вибрация одиночной нормальной моды круглого диска с закрепленным граничным условием по всей внешней кромке. Смотрите другие режимы .

Фотовспышка чашки черного кофе, вибрирующей в нормальных режимах

Воспроизвести медиа

Возбуждение нормальных мод в капле воды при эффекте Лейденфроста

Общие определения [ править ]

Режим [ править ]

В волновой теории физики и инженерии, А режим в динамической системе является стоячей волной состояние возбуждения, в котором все компоненты системы будут затронуты синусоидально на фиксированной частоте , связанной с этим режимом.

Поскольку никакая реальная система не может идеально вписаться в структуру стоячей волны, концепция режима используется как общая характеристика конкретных состояний колебаний, таким образом, рассматривая динамическую систему в линейном порядке, в котором может выполняться линейная суперпозиция состояний.

Классические примеры включают

• В механической динамической системе вибрирующий канат является наиболее ярким примером режима, в котором канат является средой, напряжение на канате является возбуждением, а смещение каната относительно его статического состояния является модальным. Переменная.
• В акустической динамической системе единая высота звука - это режим, в котором воздух является средой, звуковое давление в воздухе является возбуждением, а смещение молекул воздуха является модальной переменной.
• В структурной динамической системе высокое высотное здание, колеблющееся под своей максимальной осью изгиба, является режимом, в котором весь материал здания - при надлежащих численных упрощениях - является средой, сейсмические / ветровые / экологические воздействия являются возбуждениями и смещения являются модальной переменной.
• В электрической динамической системе резонансная полость, сделанная из тонких металлических стенок, заключающая в себе полое пространство, для ускорителя частиц является чистой системой стоячих волн и, следовательно, примером режима, в котором полое пространство полости является средой. , источник RF (клистрон или другой источник RF) - это возбуждение, а электромагнитное поле - модальная переменная.
• Применительно к музыке обычные режимы вибрирующих инструментов (струн, воздуховодов, барабанов и т. Д.) Называются « гармониками » или « обертонами ».
• Концепция нормальных режимов также находит применение в оптике , квантовой механике и молекулярной динамике .

Большинство динамических систем можно возбуждать в нескольких режимах, возможно, одновременно. Каждая мода характеризуется одной или несколькими частотами, ^{[ сомнительно - обсудить ] в} зависимости от модального переменного поля. Например, вибрирующий канат в двухмерном пространстве определяется одной частотой (одномерное осевое смещение), а вибрирующий канат в трехмерном пространстве определяется двумя частотами (двухмерное осевое смещение).

Для данной амплитуды модальной переменной каждый режим будет хранить определенное количество энергии из-за синусоидального возбуждения.

Нормальный или доминирующий режим системы с несколькими режимами будет режим хранения минимального количества энергии для заданной амплитуды модальных переменного, или, что эквивалентно, для данного сохраненного количества энергии, доминирующий режим будет режимом наложения максимальная амплитуда модальной переменной.

Номера режимов [ править ]

Режим вибрации характеризуется модальной частотой и формой моды. Он нумеруется в соответствии с количеством полуволн в вибрации. Например, если вибрирующая балка с обоими закрепленными концами отображает форму моды, равную половине синусоидальной волны (один пик на вибрирующей балке), она будет вибрировать в режиме 1. Если бы у нее была полная синусоида (один пик и одна впадина). ) он будет вибрировать в режиме 2.

В системе с двумя или более измерениями, такой как изображенный диск, каждому измерению присваивается номер режима. Используя полярные координаты , мы получаем радиальную координату и угловую координату. Если один измеряется от центра наружу по радиальной координате, можно встретить полную волну, поэтому номер моды в радиальном направлении равен 2. Другое направление сложнее, потому что только половина диска рассматривается из-за антисимметричной ( также называется кососимметрией) характер колебаний диска в угловом направлении. Таким образом, при измерении 180 ° в угловом направлении вы встретите полуволну, поэтому номер моды в угловом направлении равен 1. Таким образом, номер моды системы составляет 2–1 или 1-2, в зависимости от того, какая координата считается «первая» и которая считается «второй» координатой (поэтому важно всегда указывать, какой номер режима соответствует каждому направлению координат).

В линейных системах каждый режим полностью независим от всех других режимов. В общем, все режимы имеют разные частоты (более низкие моды имеют более низкие частоты) и разные формы колебаний.

Узлы [ править ]

В одномерной системе в данном режиме колебания будут иметь узлы или места, где смещение всегда равно нулю. Эти узлы соответствуют точкам формы колебаний, где форма колебаний равна нулю. Поскольку вибрация системы определяется формой моды, умноженной на функцию времени, смещение узловых точек всегда остается нулевым.

При расширении до двухмерной системы эти узлы становятся линиями, где смещение всегда равно нулю. Если вы посмотрите анимацию выше, вы увидите два круга (один примерно на полпути между краем и центром, а другой - на самом краю) и прямую линию, разделяющую диск пополам, где смещение близко к нулю. В идеализированной системе эти линии в точности равны нулю, как показано справа.

В механических системах [ править ]

Связанные осцилляторы [ править ]

Рассмотрим два равных тела (не подверженных действию гравитации), каждое из которых имеет массу m , прикрепленные к трем пружинам, каждая из которых имеет жесткость k . Они прикрепляются следующим образом, образуя физически симметричную систему:

где краевые точки зафиксированы и не могут двигаться. Мы будем использовать x ₁ ( t ) для обозначения горизонтального смещения левой массы и x ₂ ( t ) для обозначения смещения правой массы.

Если обозначить ускорение (вторая производная от x ( t ) по времени) как , то уравнения движения будут:${\ displaystyle \ scriptstyle {\ ddot {x}}}$

${\ displaystyle {\ begin {align} m {\ ddot {x}} _ {1} & = - kx_ {1} + k (x_ {2} -x_ {1}) = - 2kx_ {1} + kx_ { 2} \\ m {\ ddot {x}} _ {2} & = - kx_ {2} + k (x_ {1} -x_ {2}) = - 2kx_ {2} + kx_ {1} \ end { выровнено}}}$

Поскольку мы ожидаем колебательное движение нормального режима (где ω одинаково для обеих масс), мы пробуем:

${\ displaystyle {\ begin {align} x_ {1} (t) & = A_ {1} e ^ {i \ omega t} \\ x_ {2} (t) & = A_ {2} e ^ {i \ омега т} \ конец {выровнено}}}$

Подставляя их в уравнения движения, мы получаем:

${\ displaystyle {\ begin {align} - \ omega ^ {2} mA_ {1} e ^ {i \ omega t} & = - 2kA_ {1} e ^ {i \ omega t} + kA_ {2} e ^ {i \ omega t} \\ - \ omega ^ {2} mA_ {2} e ^ {i \ omega t} & = kA_ {1} e ^ {i \ omega t} -2kA_ {2} e ^ {i \ omega t} \ end {выровнено}}}$

Поскольку экспоненциальный множитель является общим для всех терминов, мы его опускаем и упрощаем:

${\ displaystyle {\ begin {align} (\ omega ^ {2} m-2k) A_ {1} + kA_ {2} & = 0 \\ kA_ {1} + (\ omega ^ {2} m-2k) A_ {2} & = 0 \ end {выровнено}}}$

И в матричном представлении:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\omega ^{2}m-2k&k\\k&\omega ^{2}m-2k\end{bmatrix}}{\begin{pmatrix}A_{1}\\A_{2}\end{pmatrix}}=0}$

Если матрица слева обратима, единственное решение - это тривиальное решение ( A ₁ ,  A ₂ ) = ( x ₁ ,  x ₂ ) = (0,0). Нетривиальные решения должны быть найдены для тех значений ω, при которых матрица слева является сингулярной, т.е. необратимой. Отсюда следует, что определитель матрицы должен быть равен 0, поэтому:

${\displaystyle (\omega ^{2}m-2k)^{2}-k^{2}=0}$

У нас есть два положительных решения:${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\omega _{1}&={\sqrt {\frac {k}{m}}}\\\omega _{2}&={\sqrt {\frac {3k}{m}}}\end{aligned}}}$

Если мы подставим ω ₁ в матрицу и решим относительно ( A ₁ ,  A ₂ ), мы получим (1, 1). Если подставить ω ₂ , получим (1, −1). (Эти векторы являются собственными векторами , а частоты - собственными значениями .)

Первый нормальный режим:

${\displaystyle {\vec {\eta }}_{1}={\begin{pmatrix}x_{1}^{1}(t)\\x_{2}^{1}(t)\end{pmatrix}}=c_{1}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{1}t+\varphi _{1})}}$

Это соответствует тому, что обе массы движутся в одном направлении одновременно. Этот режим называется антисимметричным.

Второй нормальный режим:

${\displaystyle {\vec {\eta }}_{2}={\begin{pmatrix}x_{1}^{2}(t)\\x_{2}^{2}(t)\end{pmatrix}}=c_{2}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}\cos {(\omega _{2}t+\varphi _{2})}}$

Это соответствует движению масс в противоположных направлениях, в то время как центр масс остается неподвижным. Этот режим называется симметричным.

Общее решение является суперпозицией из нормальных мод , где гр ₁ , с ₂ , φ ₁ и φ ₂ , определяются начальными условиями задачи.

Продемонстрированный здесь процесс может быть обобщен и сформулирован с использованием формализма лагранжевой механики или гамильтоновой механики .

Стоячие волны [ править ]

Стоячая волна является непрерывной формой нормального режима. В стоячей волне все пространственные элементы (т.е. координаты ( x ,  y ,  z )) колеблются с одинаковой частотой и синфазно (вместе достигают точки равновесия ), но каждый имеет разную амплитуду.

Общий вид стоячей волны:

${\displaystyle \Psi (t)=f(x,y,z)(A\cos(\omega t)+B\sin(\omega t))}$

где ƒ ( x ,  y ,  z ) представляет собой зависимость амплитуды от местоположения, а косинус \ синус - колебания во времени.

Физически стоячие волны образованы интерференцией (суперпозицией) волн и их отражениями (хотя можно сказать и обратное: движущаяся волна - это суперпозиция стоячих волн). Геометрическая форма среды определяет то, что будет интерференционной картиной, таким образом, определяет форму ƒ ( x , y ,  z ) стоячей волны. Эта пространственная зависимость называется нормальным режимом .

Обычно для задач с непрерывной зависимостью от ( x ,  y ,  z ) нет единственного или конечного числа нормальных режимов, но существует бесконечно много нормальных режимов. Если проблема ограничена (т.е. определена на конечном участке пространства), существует счетное количество нормальных режимов (обычно пронумерованных n = 1, 2, 3, ...). Если проблема не ограничена, существует непрерывный спектр нормальных режимов.

Эластичные тела [ править ]

В любом твердом теле при любой температуре первичные частицы (например, атомы или молекулы) не неподвижны, а скорее колеблются относительно средних положений. В изоляторах способность твердого тела накапливать тепловую энергию почти полностью обусловлена ​​этими колебаниями. Многие физические свойства твердого тела (например, модуль упругости) можно предсказать, зная частоты, с которыми колеблются частицы. Простейшее предположение (Эйнштейна) состоит в том, что все частицы колеблются вокруг своего среднего положения с одной и той же собственной частотой ν . Это эквивалентно предположению, что все атомы независимо колеблются с частотой ν . Эйнштейн также предположил, что разрешенные энергетические состояния этих колебаний являются гармониками или целыми кратными hν. Спектр форм волны можно описать математически, используя ряд Фурье синусоидальных флуктуаций плотности (или тепловых фононов ).

Впоследствии Дебай осознал, что каждый осциллятор всегда тесно связан со своими соседними осцилляторами. Таким образом, заменив идентичные несвязанные осцилляторы Эйнштейна на такое же количество связанных осцилляторов, Дебай коррелировал упругие колебания одномерного твердого тела с числом математически особых видов колебаний натянутой струны (см. Рисунок). Чистый тон самого низкого тона или частоты называется основным, а кратные этой частоте - его гармоническими обертонами. Он присвоил одному из осцилляторов частоту основной вибрации всего блока твердого тела. Он назначил оставшимся осцилляторам частоты гармоник этой основной гармоники, причем самая высокая из всех этих частот ограничивалась движением самого маленького первичного блока.

Нормальные моды колебаний кристалла, как правило, представляют собой суперпозицию многих обертонов, каждый из которых имеет соответствующую амплитуду и фазу. Более длинноволновые (низкочастотные) фононы - это как раз те акустические колебания, которые рассматриваются в теории звука. Как продольные, так и поперечные волны могут распространяться через твердое тело, в то время как, как правило, только продольные волны поддерживаются жидкостями.

В продольной моде смещение частиц из положения равновесия совпадает с направлением распространения волны. Механические продольные волны также называют волнами сжатия . Для поперечных мод отдельные частицы движутся перпендикулярно распространению волны.

Согласно квантовой теории, средняя энергия нормальной колебательной моды кристаллического твердого тела с характеристической частотой ν равна:

${\displaystyle E(v)={\frac {1}{2}}hv+{\frac {hv}{e^{hv/kT}-1}}}$

Член (1/2) hν представляет собой «энергию нулевой точки» или энергию, которую осциллятор будет иметь при абсолютном нуле. E ( ν ) стремится к классическому значению kT при высоких температурах

${\displaystyle E(v)=kT\left[1+{\frac {1}{12}}\left({\frac {hv}{kT}}\right)^{2}+O\left({\frac {hv}{kT}}\right)^{4}+\cdots \right]}$

Зная термодинамическую формулу,

${\displaystyle \left({\frac {\partial S}{\partial E}}\right)_{N,V}={\frac {1}{T}}}$

энтропия в нормальном режиме:

${\displaystyle {\begin{aligned}S\left(v\right)&=\int _{0}^{T}{\frac {d}{dT}}E\left(v\right){\frac {dT}{T}}\\[10pt]&={\frac {E\left(v\right)}{T}}-k\log \left(1-e^{-{\frac {hv}{kT}}}\right)\end{aligned}}}$

Бесплатная энергия:

${\displaystyle F(v)=E-TS=kT\log \left(1-e^{-{\frac {hv}{kT}}}\right)}$

которая при kT  >> hν стремится к:

${\displaystyle F(v)=kT\log \left({\frac {hv}{kT}}\right)}$

Чтобы вычислить внутреннюю энергию и теплоемкость, мы должны знать количество нормальных мод колебаний и частоту между значениями ν и ν  + dν . Пусть это число будет f ( ν ) d ν . Поскольку общее количество нормальных мод равно 3 N , функция f ( ν ) определяется выражением:

${\displaystyle \int f(v)\,dv=3N}$

Интегрирование производится по всем частотам кристалла. Тогда внутренняя энергия U будет выражаться как:

${\displaystyle U=\int f(v)E(v)\,dv}$

В квантовой механике [ править ]

В квантовой механике состояние системы описывается волновой функцией, которая решает уравнение Шредингера . Квадрат абсолютного значения , т.е.${\displaystyle \ |\psi \rangle }$ ${\displaystyle \ \psi (x,t)}$${\displaystyle \ \psi }$

${\displaystyle \ P(x,t)=|\psi (x,t)|^{2}}$

- это плотность вероятности измерения частицы в месте x в момент времени  t .

Обычно, когда задействован какой-либо потенциал , волновая функция раскладывается на суперпозицию собственных состояний энергии , каждое из которых колеблется с частотой . Таким образом, можно написать${\displaystyle \omega =E_{n}/\hbar }$

${\displaystyle |\psi (t)\rangle =\sum _{n}|n\rangle \left\langle n|\psi (t=0)\right\rangle e^{-iE_{n}t/\hbar }}$

Собственные состояния имеют физический смысл не только ортонормированный базис . Когда энергия системы измеряется , волновая функция коллапсирует до одного из своих собственных состояний, и поэтому волновая функция частицы описывается чистым собственным состоянием, соответствующим измеренной энергии .

В сейсмологии [ править ]

Нормальные моды генерируются в земле из-за длинноволновых сейсмических волн от сильных землетрясений, мешающих формированию стоячих волн.

Для упругой, изотропной, однородной сферы возникают сфероидальный, тороидальный и радиальный (или дышащий) режимы. Сфероидальные моды включают только волны P и SV (например, волны Рэлея ) и зависят от номера обертона n и углового порядка l, но имеют вырождение азимутального порядка m . Увеличение l концентрирует фундаментальную ветвь ближе к поверхности, а при больших l стремится к волнам Рэлея. Тороидальные моды включают только волны SH (например, волны Лява ) и не существуют во внешнем жидком ядре. Радиальные моды - это всего лишь подмножество сфероидальных мод с l = 0. Вырождения не существует на Земле, поскольку оно нарушается вращением, эллиптичностью и трехмерной неоднородной структурой скорости и плотности.

Мы либо предполагаем, что каждая мода может быть изолирована, приближение самосвязи, либо что многие моды близки по частотному резонансу , приближение перекрестной связи. Самосвязь изменит только фазовую скорость, а не количество волн вокруг большого круга, что приведет к растяжению или сжатию картины стоячей волны. Перекрестная связь может быть вызвана вращением Земли, приводящим к смешению фундаментальных сфероидальных и тороидальных мод, или асферической структурой мантии или эллиптичностью Земли.

См. Также [ править ]

• Антирезонанс
• Критическая скорость
• Гармонический осциллятор
• Гармонический ряд (музыка)
• ИК-спектроскопия
• Утечный режим
• Механический резонанс
• Модальный анализ
• Режим (электромагнетизм)
• Квазинормальный режим
• Теория Штурма – Лиувилля
• Крутильные колебания
• Колебания круговой мембраны

Источники [ править ]

• Блевинс, Роберт Д. (2001). Формулы для собственной частоты и формы колебаний (переиздание). Малабар, Флорида: паб Krieger. ISBN 978-1575241845.
• Цзоу, HS; Бергман, Л.А., ред. (2008). Динамика и управление распределенными системами . Кембридж [Англия]: Издательство Кембриджского университета . ISBN 978-0521033749.
• Ширер, Питер М. (2009). Введение в сейсмологию (2-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. С. 231–237. ISBN 9780521882101.

Внешние ссылки [ править ]

• Конспект лекций Гарварда о нормальных режимах