В физике , нелинейный резонанс является возникновение резонанса в нелинейной системе . В нелинейном резонансе поведение системы - резонансные частоты и режимы - зависит от амплитуды из колебаний , в то время как для линейных систем это не зависит от амплитуды. Смешивание мод в нелинейных системах называется резонансным взаимодействием .
Описание
Обычно следует различать два типа резонансов - линейные и нелинейные. С физической точки зрения они определяются тем, совпадает ли внешняя сила с собственной частотой системы (линейный и нелинейный резонанс соответственно). Колебательные моды могут взаимодействовать в резонансном взаимодействии, когда сохраняется как энергия, так и импульс взаимодействующих мод. Сохранение энергии подразумевает, что сумма частот мод должна равняться нулю:
с возможно разными собственные частоты линейной части некоторого нелинейного уравнения в частных производных . В- волновой вектор, связанный с модой; целые индексыявляющиеся индексами гармоник Фурье - или собственных мод - см. ряды Фурье . Соответственно, условие частотного резонанса эквивалентно диофантову уравнению со многими неизвестными. Проблема нахождения их решений эквивалентна десятой проблеме Гильберта, которая, как доказано, алгоритмически неразрешима.
Основными понятиями и результатами теории нелинейных резонансов являются: [1]
- Использование дисперсионных соотношений Появление в различных физических приложениях позволяет находить решения условия частотного резонанса.
- Набор резонансов для данной дисперсионной функции и вида условий резонанса разбивается на непересекающиеся резонансные кластеры; динамику каждого кластера можно изучать независимо (в соответствующем масштабе времени). Их часто называют «связанными волнами», которые не могут взаимодействовать, в отличие от «свободных волн», которые могут. Известный пример является солитоном из уравнения К : солитоны могут перемещаться друг к другу, без взаимодействия. При разложении на собственные моды высокочастотные моды солитона не взаимодействуют (не удовлетворяют уравнениям резонансного взаимодействия ), они «привязаны» к основной. [2]
- Каждый набор связанных мод (резонансный кластер) может быть представлен своей NR-диаграммой, которая представляет собой плоский граф специальной структуры. Это представление позволяет однозначно восстановить 3а) динамическую систему, описывающую поведение кластера в зависимости от времени, и 3б) набор его полиномиальных законов сохранения; это обобщение констант движения Мэнли – Роу на простейшие группы ( трезвучия и квартеты).
- Динамические системы, описывающие некоторые типы кластеров, могут быть решены аналитически; это точно решаемые модели .
- Эти теоретические результаты могут быть использованы непосредственно для описания реальных физических явлений (например, внутрисезонных колебаний в атмосфере Земли) или различных режимов волновой турбулентности в теории волновой турбулентности . Еще много примеров приведено в статье о резонансных взаимодействиях .
Нелинейный резонансный сдвиг
Нелинейные эффекты могут существенно изменить форму резонансных кривых гармонических осцилляторов . Прежде всего, резонансная частота сдвигается от своего "естественного" значения в соответствии с формулой
где - амплитуда колебаний, а - постоянная, определяемая ангармоническими коэффициентами. Во-вторых, искажается форма резонансной кривой ( эффект складывания ). Когда амплитуда (синусоидальной) внешней силы достигает критического значения появляются нестабильности. Критическое значение дается формулой
где - масса осциллятора и - коэффициент затухания. Кроме того, появляются новые резонансы, в которых колебания с частотой, близкой к возбуждаются внешней силой с частотой, совершенно отличной от
Нелинейные функции частотной характеристики
Обобщенные функции частотной характеристики и функции нелинейной выходной частотной характеристики [3] позволяют пользователю принципиальным образом изучать сложное нелинейное поведение в частотной области. Эти функции выявляют резонансные гребни, гармоники , интермодуляцию и эффекты передачи энергии таким образом, чтобы пользователь мог связать эти термины из сложных нелинейных моделей дискретного и непрерывного времени с частотной областью и наоборот.
Смотрите также
Примечания и ссылки
Заметки
- ^ Карташова, Е. (2010), Нелинейный резонансный анализ , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-76360-8
- ^ Янссен, PAEM (2009). «О некоторых следствиях канонического преобразования в гамильтоновой теории волн на воде». J. Fluid Mech . 637 : 1–44. Bibcode : 2009JFM ... 637 .... 1J . DOI : 10.1017 / S0022112009008131 .
- ^ Биллингс С.А. "Нелинейная идентификация систем: методы NARMAX во временной, частотной и пространственно-временной областях". Вайли, 2013
Рекомендации
- Ландау, ЛД ; Лифшиц, EM (1976), Механика (3-е изд.), Pergamon Press, ISBN 0-08-021022-8, (твердая обложка). и ISBN 0-08-029141-4 ( мягкая обложка )
- Rajasekar, S .; Санджуан, MAF (2016), Нелинейные резонансы (1-е изд.), Springer, ISBN 978-3-319-24886-8, (электронная книга)
Внешние ссылки
- Элмер, Франц-Йозеф (20 июля 1998 г.), Нелинейный резонанс , Базельский университет , получено 27 октября 2010 г.