В математике , то К (КдФ) представляет собой математическая модель волн на мелкой поверхности воды. Это особенно примечательно как прототипный пример точно решаемой модели , то есть нелинейного уравнения в частных производных , решения которого могут быть точно и точно определены. KdV может быть решена с помощью преобразования обратной задачи рассеяния . Математическая теория, лежащая в основе уравнения КдФ, является предметом активных исследований. Уравнение KdV было впервые введено Буссинеском ( 1877 , сноска на стр. 360) и открыто Дидериком Кортевегом и Густавом де Фризом. ( 1895 ). [2]
Определение
Уравнение КдФ - это нелинейное дисперсионное уравнение в частных производных для функции двух вещественных переменных, пространства x и времени t : [3]
где ∂ x и ∂ t обозначают частные производные по x и t .
Константа 6 перед последним членом условна, но не имеет большого значения: умножение t , x и by константы может использоваться, чтобы сделать коэффициенты любого из трех членов равными любым заданным ненулевым константам.
Солитонные решения
Рассмотрим решения, в которых фиксированная форма волны (заданная f ( X )) сохраняет свою форму при движении вправо с фазовой скоростью c . Такое решение дается формулой φ ( x , t ) = f ( x - ct - a ) = f ( X ). Подставляя его в уравнение КдФ, получаем обыкновенное дифференциальное уравнение
или, интегрируя по X ,
где A - постоянная интегрирования . Интерпретируя вышеприведенную независимую переменную X как виртуальную переменную времени, это означает, что f удовлетворяет уравнению движения Ньютона частицы единичной массы в кубическом потенциале.
Если
тогда потенциальная функция V ( f ) имеет локальный максимум при f = 0, есть решение, в котором f ( X ) начинается в этой точке в `` виртуальном времени '' −∞, в конечном итоге скатывается до локального минимума , а затем возвращается другая сторона, достигая такой же высоты, затем меняет направление, снова оказываясь на локальном максимуме в момент времени ∞. Другими словами, f ( X ) стремится к 0 при X → ± ∞. Это характерная форма решения уединенной волны .
Точнее, решение
где sech обозначает гиперболический секанс, а a - произвольная постоянная. [4] Это описывает правый солитон .
Интегралы движения
Уравнение КдФ имеет бесконечно много интегралов движения ( Miura, Gardner & Kruskal 1968 ), которые не меняются со временем. Их можно явно задать как
где многочлены P n рекурсивно определяются как
Первые несколько интегралов движения:
- масса
- импульс
- энергия
Только члены с нечетными номерами P (2 n +1) приводят к нетривиальным (т.е. ненулевым) интегралам движения ( Dingemans 1997 , стр. 733).
Слабые пары
Уравнение КдФ
можно переформулировать как уравнение Лакса
с L оператором Штурма – Лиувилля :
и этим объясняется бесконечное число первых интегралов уравнения КдФ ( Lax 1968 ).
Принцип наименьшего действия
Уравнение Кортевега – де Фриза
- уравнение движения Эйлера – Лагранжа, полученное из плотности лагранжиана ,
( 1 )
с участием определяется
Поскольку лагранжиан (уравнение (1)) содержит вторые производные, уравнение движения Эйлера – Лагранжа для этого поля имеет вид
( 2 )
где является производной по составная часть.
Сумма более подразумевается, поэтому уравнение (2) действительно читается,
( 3 )
Оцените пять членов уравнения (3), подставив уравнение (1),
Помните определение , поэтому используйте это, чтобы упростить приведенные выше термины,
Наконец, подставьте эти три ненулевых члена обратно в уравнение (3), чтобы увидеть
что и есть уравнение КдФ
Долговременная асимптотика
Можно показать, что любое достаточно быстро затухающее гладкое решение в конечном итоге разделится на конечную суперпозицию солитонов, движущихся вправо, и убывающую дисперсную часть, движущуюся влево. Это было впервые замечено Забуски и Крускалом (1965) и может быть строго доказано с помощью нелинейного анализа наискорейшего спуска для осциллирующих задач Римана – Гильберта . [5]
История
История уравнения KdV началась с экспериментов Джона Скотта Рассела в 1834 году, за которыми последовали теоретические исследования лорда Рэлея и Джозефа Буссинеска около 1870 года и, наконец, Кортевега и Де Фриза в 1895 году.
Уравнение КдФ после этого мало изучалось, пока Забуски и Крускал (1965) не обнаружили численно, что его решения, казалось, распадались на больших временах на совокупность «солитонов»: хорошо разделенных уединенных волн. Более того, кажется, что солитоны почти не изменяют форму, проходя друг через друга (хотя это может вызвать изменение их положения). Они также связались с более ранними численными экспериментами Ферми, Паста, Улама и Цинго , показав, что уравнение КдФ является континуальным пределом системы FPUT . Разработка аналитического решения с помощью преобразования обратной задачи рассеяния была проведена в 1967 году Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой. [6] [7]
Теперь видно, что уравнение КдФ тесно связано с принципом Гюйгенса . [8] [9]
Приложения и подключения
Уравнение КдФ имеет несколько связей с физическими проблемами. Помимо того, что оно является определяющим уравнением струны в задаче Ферми – Паста – Улама – Цинго в континуальном пределе, оно приближенно описывает эволюцию длинных одномерных волн во многих физических условиях, включая:
- волны на мелкой воде со слабо нелинейным восстанавливающих сил,
- длинные внутренние волны в стратифицированном по плотности океане ,
- ионно-звуковые волны в плазме ,
- акустические волны на кристаллической решетке .
Уравнение КдФ также может быть решено с использованием обратного преобразования рассеяния, такого как те, которые применяются к нелинейному уравнению Шредингера .
Уравнение КдФ и уравнение Гросса – Питаевского.
Рассматривая упрощенные решения вида
получаем уравнение КдФ в виде
или же
Интегрируя и рассматривая частный случай, когда постоянная интегрирования равна нулю, мы имеем:
какой частный случай обобщенного стационарного уравнения Гросса – Питаевского (ОБУ).
Следовательно, для определенного класса решений обобщенного ГПО ( для истинного одномерного конденсата и при использовании трехмерного уравнения в одном измерении) два уравнения равны одному. Кроме того, принимая случай со знаком минус и В действительности получается привлекательное самодействие, которое должно давать яркий солитон . [ необходима цитата ]
Вариации
Было изучено множество различных вариантов уравнений КдФ. Некоторые из них перечислены в следующей таблице.
Имя | Уравнение |
---|---|
Кортевег – Де Фрис (KdV) | |
КдВ (цилиндрический) | |
КдВ (деформированный) | |
КдВ (обобщенный) | |
КдВ (обобщенный) | |
KdV (Лакс 7-е) Дарвиши, Хейбари и Хани (2007) | |
КдВ (модифицированный) | |
КдВ (доработанный доработанный) | |
КдВ (сферический) | |
КдВ (супер) | |
КдВ (переходный) | |
КдВ (переменные коэффициенты) | |
Уравнение Кортевега – Де Фриза – Бюргерса [10] | |
неоднородный КдВ |
q-аналоги
О q-аналоге уравнения КдФ см. Frenkel (1996)
и Хесин, Любашенко и Роджер (1997) .Смотрите также
- Уравнение Бенджамина – Бона – Махони
- Приближение Буссинеска (волны на воде)
- Кноидальная волна
- Дисперсия (волны на воде)
- Бездисперсионное уравнение
- Уравнение Кортевега – де Фриза пятого порядка
- Уравнение Кадомцева – Петвиашвили.
- Модифицированное уравнение КдФ – Бюргерса.
- Уравнение Новикова – Веселова.
- Уравнение Кортевега – де Фриза седьмого порядка
- Номер урселла
- Векторный солитон
Заметки
- ^ NJ Zabusky и MD Kruskal, Phy. Rev. Lett. , 15 , 240 (1965)
- ^ Darrigol, О. (2005), Миры Flow: История гидродинамике от Бернулли до Прандтля , Oxford University Press, стр. 84 , ISBN 9780198568438
- ^ См., Например, Ньюэлл, Алан К. (1985), Солитоны в математике и физике , SIAM, ISBN 0-89871-196-7, п. 6. Или Лакс (1968), без множителя 6.
- ^ Александр Ф. Вакакис (31 января 2002 г.). Нормальные режимы и локализация в нелинейных системах . Springer. С. 105–108. ISBN 978-0-7923-7010-9. Проверено 27 октября 2012 года .
- ^ См., Например, Grunert & Teschl (2009)
- ^ Гарднер, CS; Грин, JM; Крускал, MD; Миура, RM (1967), «Метод решения уравнения Кортевега – де Фриза», Physical Review Letters , 19 (19): 1095–1097, Bibcode : 1967PhRvL..19.1095G , doi : 10.1103 / PhysRevLett.19.1095 .
- ^ Доксуа, Тьерри; Пейрард, Мишель (2006), Физика солитонов , Cambridge University Press, ISBN 0-521-85421-0
- ^ Фабио ACC Chalub и Хорхе П. Зубелли, "Принцип Гюйгенса для гиперболических операторов и интегрируемых иерархий "
- ^ Берест, Юрий Юрьевич .; Луценко, Игорь М. (1997). "Принцип Гюйгенса в пространствах Минковского и солитонные решения уравнения Кортевега – де Фриза". Сообщения по математической физике . 190 : 113–132. arXiv : solv-int / 9704012 . DOI : 10.1007 / s002200050235 . S2CID 14271642 .
- ^ Шу, Цзянь-Цзюнь (1987). «Правильное аналитическое решение уравнения Кортевега – де Фриза – Бюргерса». Журнал физики A: математический и общий . 20 (2): 49–56. arXiv : 1403,3636 . Bibcode : 1987JPhA ... 20L..49J . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 20/2/002 .
Рекомендации
- Буссинеск, J. (1877), Essai sur la theorie des eaux courantes , Memoires presentes par divers savants` l'Acad. des Sci. Inst. Nat. Франция, XXIII, стр. 1–680.
- де Ягер, Э.М. (2006). «О происхождении уравнения Кортевега – де Фриза». arXiv : math / 0602661v1 .
- Дингеманс, М.В. (1997), Распространение водных волн на неровном дне , Advanced Series on Ocean Engineering, 13 , World Scientific, Singapore, ISBN 981-02-0427-2, 2 части, 967 стр.
- Дразин, П.Г. (1983), Солитоны , Серия лекций Лондонского математического общества, 85 , Кембридж: Cambridge University Press, стр. Viii + 136 , DOI : 10.1017 / CBO9780511662843 , ISBN 0-521-27422-2, Руководство по ремонту 0716135
- Грунерт, Катрин; Тешл, Джеральд (2009), "Долговременная асимптотика для уравнения Кортевега – де Фриза посредством нелинейного наискорейшего спуска", Матем. Phys. Анальный. Геом. , 12 (3), стр. 287–324, arXiv : 0807.5041 , Bibcode : 2009MPAG ... 12..287G , doi : 10.1007 / s11040-009-9062-2 , S2CID 8740754
- Каппелер, Томас; Пешель, Юрген (2003), KdV & KAM , Ergebnisse der Mathematik и ихрер Гренцгебиете. 3. Фольге. Серия современных обзоров по математике [Результаты по математике и смежным областям. 3-я серия. Серия современных исследований по математике], 45 , Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , doi : 10.1007 / 978-3-662-08054-2 , ISBN 978-3-540-02234-3, Руководство по ремонту 1997070
- Кортевег, диджей; De Vries, G. (1895), "Об изменении формы длинных волн наступающих в прямоугольном канале, и на нового типа Long стоячих волн" , Философский журнал , 39 (240): 422-443, DOI : 10.1080 / 14786449508620739
- Лакс, П. (1968), "Интегралы нелинейных уравнений эволюции и уединенных волн", Сообщения по чистой и прикладной математике , 21 (5): 467–490, doi : 10.1002 / cpa.3160210503
- Майлз, Джон У. (1981), "Уравнение Кортевега-де Фриза: Исторический очерк", журнал Механика жидкости , 106 : 131-147, Bibcode : 1981JFM ... 106..131M , DOI : 10,1017 / S0022112081001559 .
- Миура, Роберт М .; Gardner, Clifford S .; Краскал, Мартин Д. (1968), "Уравнение Кортевега – Де Фриза и обобщения. II. Существование законов сохранения и постоянных движения", J. Math. Phys. , 9 (8): 1204-1209, Bibcode : 1968JMP ..... 9.1204M , DOI : 10,1063 / 1,1664701 , МР 0252826
- Тахтаджян, Л.А. (2001) [1994], "Уравнение Кортевега – де Фриза" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Забуски, штат Нью-Джерси; Крускал, М.Д. (1965), "Взаимодействие" солитонов "в бесстолкновительной плазме и повторяемость начальных состояний", Phys. Rev. Lett. , 15 (6): 240-243, Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z , DOI : 10,1103 / PhysRevLett.15.240
Внешние ссылки
- Уравнение Кортевега – де Фриза в EqWorld: мир математических уравнений.
- Уравнение Кортевега – Де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
- Цилиндрическое уравнение Кортевега – де Фриза в EqWorld: мир математических уравнений.
- Модифицированное уравнение Кортевега – де Фриза в EqWorld: мир математических уравнений.
- Модифицированное уравнение Кортевега – Де Фриза в NEQwiki, энциклопедии нелинейных уравнений.
- Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Кортевега – де Фриза» . MathWorld .
- Вывод уравнения Кортевега – де Фриза для узкого канала.
- Трехсолитонное решение уравнения КдФ - [1]
- Трехсолитонное (неустойчивое) решение уравнения КдФ - [2]
- Математические аспекты уравнений типа Кортевега – де Фриза обсуждаются на Dispersive PDE Wiki .
- Солитоны из уравнения Кортевега – де Фриза. Автор С.М. Блиндер, Демонстрационный проект Вольфрама .
- Солитоны и нелинейные волновые уравнения