Обратное преобразование рассеяния

В математике , то обратное преобразование рассеяния является метод решения некоторых нелинейных уравнений с частными производными . Этот метод является нелинейным аналогом и в некотором смысле обобщением преобразования Фурье , которое само применяется для решения многих линейных уравнений в частных производных. Название «метод обратной задачи рассеяния» происходит от ключевой идеи восстановления временной эволюции потенциала из временной эволюции его данных рассеяния: обратное рассеяние относится к проблеме восстановления потенциала из его матрицы рассеяния, в отличие от прямого рассеяния. проблема нахождения матрицы рассеяния по потенциалу.

Обратное преобразование рассеяния может применяться ко многим так называемым точно решаемым моделям , то есть полностью интегрируемым бесконечномерным системам.

Обзор [ править ]

Обратное преобразование рассеяния было впервые введено Клиффордом С. Гарднером, Джоном М. Грином и Мартином Д. Крускалом и др. ( 1967 , 1974 ) для Кортевега-де Фриза , и вскоре распространяется на нелинейного уравнения Шредингера , в уравнения синус-Гордона , и Тода решетки уравнения. Позднее он был использован для решения многих других уравнений, таких как уравнение Кадомцева-Петвиашвили , в уравнении Ишимори , в уравнении Dym , и так далее. Следующее семейство примеров дается уравнениями Богомольного (для данной калибровочной группы и ориентированного трехмерного риманова пространства):${\ Displaystyle L ^ {2}}$решениями которых являются магнитные монополи .

Характерной чертой решений, полученных методом обратной задачи рассеяния, является наличие солитонов , решений, похожих на частицы и волны, не имеющих аналогов для линейных уравнений в частных производных. Термин «солитон» возник из нелинейной оптики.

Обратная задача рассеяния может быть записана как проблема факторизации Римана – Гильберта , по крайней мере, в случае уравнений одного измерения пространства. Эта формулировка может быть обобщена на дифференциальные операторы порядка выше 2, а также на периодические потенциалы. В более высоких измерениях пространства вместо этого возникает «нелокальная» проблема факторизации Римана – Гильберта (со сверткой вместо умножения) или проблема d-стержня.

Пример: уравнение Кортевега – де Фриза [ править ]

Уравнение Кортевега – де Фриза представляет собой нелинейное эволюционное уравнение в частных производных с дисперсией для функции u ; двух вещественных переменных, одной пространственной переменной x и одной временной переменной t  :

${\ displaystyle u_ {t} -6uu_ {x} + u_ {xxx} = 0}$

с и обозначая частные производные по отношению к т и х , соответственно.${\ displaystyle u_ {t}}$${\ displaystyle u_ {x}}$

Чтобы решить задачу начального значения для этого уравнения, где - известная функция от x , с этим уравнением связывают уравнение для собственных значений Шредингера${\ Displaystyle и (х, 0)}$

${\ displaystyle \ psi _ {xx} -u \ psi = \ lambda \ psi.}$

где - неизвестная функция от t и x, а u - решение уравнения Кортевега – де Фриза, которое неизвестно, кроме точки . Константа - это собственное значение.${\ displaystyle \ psi}$${\ displaystyle t = 0}$${\ displaystyle \ lambda}$

Из уравнения Шредингера получаем

${\ displaystyle u = {\ frac {1} {\ psi}} \ psi _ {xx} - \ lambda.}$

Подставляя это в уравнение Кортевега – де Фриза и интегрируя, получаем уравнение

${\ Displaystyle \ psi _ {t} + \ psi _ {xxx} -3 (u- \ lambda) \ psi _ {x} = C \ psi + D \ psi \ int {\ frac {1} {\ psi ^ {2}}} dx}$

где C и D - постоянные.

Метод решения [ править ]

Шаг 1. Определите нелинейное уравнение в частных производных. Обычно это достигается путем анализа физики изучаемой ситуации.

Шаг 2. Используйте рассеяние вперед . Это состоит в поиске пары Лакса . Пара Лакса состоит из двух линейных операторов , и , таких что и . Чрезвычайно важно, чтобы собственное значение не зависело от времени; т.е. необходимые и достаточные условия для того, чтобы это произошло, определяются следующим образом: возьмите производную по времени, чтобы получить${\ displaystyle L}$${\ displaystyle M}$${\ displaystyle Lv = \ lambda v}$${\ displaystyle v_ {t} = Mv}$ ${\ displaystyle \ lambda}$${\ displaystyle \ lambda _ {t} = 0.}$${\ displaystyle Lv = \ lambda v}$

${\displaystyle L_{t}v+Lv_{t}=\lambda _{t}v+\lambda v_{t}.}$

Включение для урожайности${\displaystyle Mv}$${\displaystyle v_{t}}$

${\displaystyle L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+\lambda Mv.}$

Перестановка на крайний правый член дает нам

${\displaystyle L_{t}v+LMv=\lambda _{t}v+MLv.}$

Таким образом,

${\displaystyle L_{t}v+LMv-MLv=\lambda _{t}v.}$

Поскольку это означает, что тогда и только тогда, когда${\displaystyle v\not =0}$${\displaystyle \lambda _{t}=0}$

${\displaystyle L_{t}+LM-ML=0.\,}$

Это уравнение Лакса . В уравнении Лакса это производная по времени от того, от чего она явно зависит . Причина такого определения дифференцирования мотивирована простейшим примером , которым является оператор Шредингера (см. Уравнение Шредингера ):${\displaystyle L_{t}}$${\displaystyle L}$${\displaystyle t}$${\displaystyle L}$

${\displaystyle L=\partial _{xx}+u,}$

где u - «потенциал». Сравнение выражения с показывает нам, что таким образом игнорируется первый член.${\displaystyle L_{t}v+Lv_{t}}$${\displaystyle \partial _{t}\left(v_{xx}+uv\right)}$${\displaystyle L_{t}=u_{t},}$

После составления соответствующей пары Лакса должно получиться так, что уравнение Лакса восстанавливает исходное нелинейное уравнение в частных производных.

Шаг 3. Определите временную эволюцию собственных функций, связанных с каждым собственным значением , нормирующими константами и коэффициентом отражения, все три составляющих так называемые данные рассеяния. Эта временная эволюция задается системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений, которые могут быть решены.${\displaystyle \lambda }$

Шаг 4. Выполните процедуру обратной задачи рассеяния , решив интегральное уравнение Гельфанда – Левитана – Марченко ( Израиль Моисеевич Гельфанд и Борис Моисеевич Левитан ; ^[1] Владимир Александрович Марченко ^[2] ), линейное интегральное уравнение , чтобы получить окончательное решение уравнения оригинальные нелинейные уравнения в частных производных. Для этого требуются все данные о рассеянии. Если коэффициент отражения равен нулю, процесс становится намного проще. Этот шаг работает, если является дифференциальным или разностным оператором второго порядка, но не обязательно для более высоких порядков. Однако во всех случаях обратная задача рассеяния сводится к${\displaystyle L}$Проблема факторизации Римана – Гильберта . (Для любого подхода см. Ablowitz-Clarkson (1991). См. Строгую математическую трактовку в Marchenko (1986).)

Примеры интегрируемых уравнений [ править ]

• Уравнение Кортевега – де Фриза
• нелинейное уравнение Шредингера
• Уравнение Камассы-Холма
• Уравнение синус-Гордона
• Решетка Тоды
• Уравнение Ишимори
• Уравнение Дима

Другие примеры интегрируемых уравнений можно найти в статье Интегрируемая система .

Ссылки [ править ]

• М. Абловиц, Х. Сегур, Солитоны и обратное преобразование рассеяния , SIAM, Филадельфия, 1981.
• Н. Асано, Ю. Като, Алгебраические и спектральные методы для нелинейных волновых уравнений , Longman Scientific & Technical, Эссекс, Англия, 1990.
• М. Абловиц, П. Кларксон, Солитоны, уравнения нелинейной эволюции и обратное рассеяние , Издательство Кембриджского университета, Кембридж, 1991.
• Gardner, Clifford S .; Грин, Джон М .; Крускал, Мартин Д .; Миура, Роберт М. (1967), «Метод решения уравнения Кортевега-деФриза», Physical Review Letters , 19 : 1095–1097, Bibcode : 1967PhRvL..19.1095G , doi : 10.1103 / PhysRevLett.19.1095
• Gardner, Clifford S .; Грин, Джон М .; Крускал, Мартин Д .; Миура, Роберт М. (1974), "Уравнение Кортевега-де Фриза и его обобщение. VI. Методы точного решения", Comm. Pure Appl. Математика. , 27 : 97-133, DOI : 10.1002 / cpa.3160270108 , MR  0336122
• В.А. Марченко, "Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения", Биркхойзер, Базель, 1986.
• Дж. Шоу, Математические основы оптоволоконной связи , SIAM, Филадельфия, 2004.
• Редакторы: RK Bullough, PJ Caudrey. «Солитоны» в современной физике. 17. Springer Verlag, Берлин-Гейдельберг-Нью-Йорк, 1980.

Внешние ссылки [ править ]

• «Вводная математическая статья по IST» (PDF) . (300  КБ )
• Обратное преобразование рассеяния и теория солитонов.