В математике и физике , то уравнение Кадомцева-Петвиашвили (часто сокращенно уравнения КП ) представляет собой дифференциальное уравнение в частных для описания нелинейного волнового движения . Названное в честь Бориса Борисовича Кадомцева и Владимира Иосифовича Петвиашвили , уравнение КП обычно записывается как:
где . Приведенная выше форма показывает, что уравнение КП является обобщением на два пространственных измерения , x и y , одномерного уравнения Кортевега – де Фриза (КдВ) . Чтобы иметь физический смысл, направление распространения волны должно быть не слишком далеко от направления x , то есть только с медленными изменениями решений в направлении y .
Как и уравнение КдФ, уравнение КП полностью интегрируемо. [1] [2] [3] [4] [5] Его также можно решить с помощью обратного преобразования рассеяния, очень похожего на нелинейное уравнение Шредингера . [6]
История
Уравнение КП было впервые написано в 1970 году советскими физиками Борисом Б. Кадомцевым (1928–1998) и Владимиром И. Петвиашвили (1936–1993); оно явилось естественным обобщением уравнения КдФ (полученного Кортевегом и Де Фризом в 1895 г.). Если в уравнении КдФ волны строго одномерны, то в уравнении КП это ограничение ослаблено. Тем не менее, как в уравнении KdV , так и в уравнении КП волны должны распространяться в положительном направлении оси x .
Связь с физикой
Уравнение КП можно использовать для моделирования длинноволновых волн на воде со слабонелинейными восстанавливающими силами и частотной дисперсией . Если поверхностное натяжение слабое по сравнению с гравитационными силами ,используется; если поверхностное натяжение велико, то. Из-за асимметрии в способах включения членов x и y в уравнение, волны, описываемые уравнением КП, ведут себя по-разному в направлении распространения ( x -направление) и поперечном ( y ) направлении; колебания в направлении y имеют тенденцию быть более плавными (с небольшими отклонениями).
Уравнение КП также можно использовать для моделирования волн в ферромагнитных средах [7], а также двумерных импульсов материи-волны в конденсатах Бозе-Эйнштейна .
Ограничивающее поведение
Для , типичные x -зависимые колебания имеют длину волны дающий особый предельный режим при . Лимитназывается бездисперсионным пределом. [8] [9] [10]
Если мы также предположим, что решения не зависят от y как, то они также удовлетворяют невязкому уравнению Бюргерса :
Предположим, что амплитуда колебаний раствора асимптотически мала - - в бездисперсном пределе. Тогда амплитуда удовлетворяет уравнению среднего поля типа Дэви – Стюартсона .
Смотрите также
Рекомендации
- ^ Wazwaz, AM (2007). «Многосолитонные решения уравнения КП по билинейному методу Хироты и по методу tanh – coth». Прикладная математика и вычисления . 190 (1): 633–640. DOI : 10.1016 / j.amc.2007.01.056 .
- ^ Cheng, Y .; Ли, Ю.С. (1991). «Связь уравнения Кадомцева-Петвиашвили и его специальные решения». Физика Буквы A . 157 (1): 22–26. DOI : 10.1016 / 0375-9601 (91) 90403-U .
- ^ Ма, WX (2015). «Комковидные решения уравнения Кадомцева – Петвиашвили». Физика Буквы A . 379 (36): 1975–1978. DOI : 10.1016 / j.physleta.2015.06.061 .
- ^ Кодама, Ю. (2004). «Диаграммы Юнга и N-солитонные решения уравнения КП». Журнал физики A: математический и общий . 37 (46): 11169–11190. arXiv : nlin / 0406033 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 37/46/006 .
- ^ Дэн, СФ; Chen, DY; Чжан, DJ (2003). «Многосолитонные решения уравнения КП с самосогласованными источниками». Журнал Физического общества Японии . 72 (9): 2184–2192. DOI : 10,1143 / JPSJ.72.2184 .
- ^ Ablowitz, MJ; Сегур, Х. (1981). Солитоны и обратное преобразование рассеяния . СИАМ.
- ^ Леблон, Х. (2002). «Комки КП в ферромагнетиках: трехмерная модель КдФ – Бюргерса». Журнал физики A: математический и общий . 35 (47): 10149–10161. DOI : 10,1088 / 0305-4470 / 35/47/313 .
- ^ Захаров, В.Е. (1994). «Бездисперсный предел интегрируемых систем в 2 + 1 измерениях». Особые пределы дисперсионных волн . Бостон: Спрингер. С. 165–174. ISBN 0-306-44628-6.
- ^ Страчан, И.А. (1995). «Скобка Мойала и бездисперсионный предел иерархии КП». Журнал физики A: математический и общий . 28 (7): 1967. arXiv : hep-th / 9410048 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 28/7/018 .
- ^ Takasaki, K .; Такебе, Т. (1995). «Интегрируемые иерархии и бездисперсионный предел». Обзоры по математической физике . 7 (5): 743–808. arXiv : hep-th / 9405096 . DOI : 10.1142 / S0129055X9500030X .
дальнейшее чтение
- Кадомцев, ББ; Петвиашвили, В.И. (1970). «Об устойчивости уединенных волн в слабодисперсных средах». Сов. Phys. Докл . 15 : 539–541. Bibcode : 1970SPhD ... 15..539K .. Перевод "Об устойчивости волн в слабо диспергирующих средах". Доклады Академии Наук СССР . 192 : 753–756.
- Кодама, Ю. (2017). К.П. Солитоны и грассманианы: комбинаторика и геометрия двумерных волновых структур . Springer. ISBN 978-981-10-4093-1.
- Lou, SY; Ху, XB (1997). «Бесконечно много пар Лакса и ограничения симметрии уравнения КП». Журнал математической физики . 38 (12): 6401–6427. DOI : 10.1063 / 1.532219 .
- Минзони, AA; Смит, Н. Ф. (1996). «Эволюция единовременных решений уравнения КП». Волновое движение . 24 (3): 291–305. DOI : 10.1016 / S0165-2125 (96) 00023-6 .
- Накамура, А. (1989). «Билинейная N-солитонная формула для уравнения КП». Журнал Физического общества Японии . 58 (2): 412–422. DOI : 10,1143 / JPSJ.58.412 .
- Превиато, Эмма (2001) [1994], "KP-уравнение" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Xiao, T .; Цзэн, Ю. (2004). «Обобщенные преобразования Дарбу для уравнения КП с самосогласованными источниками». Журнал физики A: математический и общий . 37 (28): 7143. arXiv : nlin / 0412070 . DOI : 10.1088 / 0305-4470 / 37/28/006 .
Внешние ссылки
- Вайсштейн, Эрик В. «Уравнение Кадомцева – Петвиашвили» . MathWorld .
- Джиони Биондини и Дмитрий Пелиновский (ред.). «Уравнение Кадомцева – Петвиашвили» . Scholarpedia .
- Бернард Деконинк. «Страница КП» . Вашингтонский университет , факультет прикладной математики. Архивировано из оригинала на 2006-02-06 . Проверено 27 февраля 2006 .