В математике , то проблема Шоттки, имя Фридрих Шоттки , является классическим вопросом алгебраической геометрии , прося характеризациями якобиевых многообразий среди абелевых многообразий .
Геометрическая формулировка
Точнее, следует рассматривать алгебраические кривые данного рода , и их якобианцы . Есть пространство модулей таких кривых и пространство модулей абелевых многообразий ,, размерности , которые принципиально поляризованы . Есть морфизм
который на точках ( точнее, геометрических точках ) принимает класс изоморфизма к . Содержание теоремы Торелли состоит в том, чтоинъективно (опять же по баллам). Задача Шоттки требует описания образа, обозначенный . [1]
Размер является , [2] для, а размерность равно g ( g + 1) / 2. Это означает, что размеры одинаковы (0, 1, 3, 6) для g = 0, 1, 2, 3. Следовательно,это первый случай изменения размеров, который исследовал Ф. Шоттки в 1880-х годах. Шоттки применил тета-константы , которые являются модульными формами для верхнего полупространства Зигеля , чтобы определить локус Шоттки в. Более точная форма вопроса - определить, действительно ли изображениепо существу совпадает с локусом Шоттки (иными словами, плотно ли оно там по Зарисскому ).
Размер 1 кейс
Все эллиптические кривые являются якобианом сами по себе, следовательно, набор модулей эллиптических кривых модель для .
Размеры 2 и 3
В случае абелевых поверхностей существует два типа абелевых многообразий: [3] якобиан кривой рода 2 или произведение якобианов эллиптических кривых . Это означает, что пространства модулей
вставлять в . Аналогичное описание существует для размерности 3, поскольку абелево многообразие может быть произведением якобианов.
Формулировка решетки периодов
Если описать пространство модулей Если говорить интуитивно, как параметры, от которых зависит абелево многообразие, тогда проблема Шоттки просто спрашивает, какое условие на параметры подразумевает, что абелево многообразие происходит из якобиана кривой. Классический случай, связанный с полем комплексных чисел, получил наибольшее внимание, и тогда абелево многообразие A - это просто комплексный тор определенного типа, возникающий из решетки в C g . В относительно конкретных условиях, то спрашивается , которые решетки являются период решетки из компактных римановых поверхностей .
Формулировка матрицы Римана
Обратите внимание, что матрица Римана сильно отличается от любого тензора Римана
Одним из главных достижений Бернхарда Римана была его теория комплексных торов и тета-функций . Используя тета-функцию Римана, Риман выписал необходимые и достаточные условия на решетку для того, чтобы решетка в C g имела соответствующий тор, вложенный в комплексное проективное пространство . (Интерпретация могла быть позже, с Соломоном Лефшецем , но теория Римана была окончательной.) Данные представляют собой то, что сейчас называется матрицей Римана . Поэтому комплексная проблема Шоттки становится вопросом характеристики матриц периодов компактных римановых поверхностей рода g , образованных интегрированием базиса абелевых интегралов вокруг базиса первой группы гомологий среди всех римановых матриц. Ее решил Такахиро Шиота в 1986 году [4].
Геометрия задачи
Существует несколько геометрических подходов, и было также показано, что этот вопрос подразумевает уравнение Кадомцева – Петвиашвили , относящееся к теории солитонов .
Смотрите также
Рекомендации
- ↑ Грушевский, Самуэль (29 сентября 2010). «Проблема Шоттки». arXiv : 1009.0369 [ math.AG ].
- ^ следует из элементарной теории деформации
- ^ Оорт, Ф. (1973). Принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности два или три являются якобиевыми многообразиями (PDF) . Орхусский университет. Matematisk Institut. OCLC 897746916 . Архивировано из оригинала 9 июня 2020.
- ^ Сиота, Такахиро (1986). «Характеризация якобиевых многообразий в терминах солитонных уравнений». Inventiones Mathematicae . 83 (2): 333–382. Bibcode : 1986InMat..83..333S . DOI : 10.1007 / BF01388967 . S2CID 120739493 .
- Бовиль, Арно (1987), «Проблема Шоттки и гипотеза Новикова» , Astérisque , Séminaire Bourbaki (152): 101–112, ISSN 0303-1179 , MR 0936851
- Дебарр, Оливье (1995), "Проблема Шоттки: обновление" , Текущие темы в сложной алгебраической геометрии (Беркли, Калифорния, 1992/93) , Math. Sci. Res. Inst. Publ., 28 , Cambridge University Press , стр. 57–64, MR 1397058
- Geer, G. van der (2001) [1994], "Проблема Шоттки" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Грушевский, Самуэль (2011), «Проблема Шоттки» (PDF) , в Caporaso, Lucia ; МакКернан, Джеймс; Попа, Михня; и другие. (ред.), Текущие разработки в алгебраической геометрии , Публикации ИИГС, 59 , ISBN 978-0-521-76825-2