В математике модулярное многообразие Зигеля или пространство модулей Зигеля — это алгебраическое многообразие , которое параметризует определенные типы абелевых многообразий фиксированной размерности . Точнее, модулярные многообразия Зигеля — это пространства модулей принципиально поляризованных абелевых многообразий фиксированной размерности. Они названы в честь Карла Людвига Зигеля , немецкого теоретика чисел 20-го века , который представил разновидности в 1943 году. [2] [3]
Модульные многообразия Зигеля являются самыми основными примерами многообразий Шимуры . [4] Модульные многообразия Зигеля обобщают пространства модулей эллиптических кривых на более высокие измерения и играют центральную роль в теории модулярных форм Зигеля , которые обобщают классические модулярные формы на более высокие измерения. [1] У них также есть приложения к энтропии черных дыр и конформной теории поля . [5]
Модулярное многообразие Зигеля Ag , параметризующее главно поляризованные абелевы многообразия размерности g , может быть построено как комплексно-аналитическое пространство , построенное как фактор верхнего полупространства Зигеля степени g по действию симплектической группы . Комплексные аналитические пространства имеют естественно связанные алгебраические многообразия по GAGA Серра . [1]
Модулярное многообразие Зигеля Ag ( n ) , параметризующее главно поляризованные абелевы многообразия размерности g с n-структурой уровня , возникает как фактор верхнего полупространства Зигеля по действию главной подгруппы конгруэнций уровня n симплектическая группа. [1]
Модульное многообразие Зигеля также может быть построено как многообразие Шимуры, определяемое данными Шимуры, связанными с симплектическим векторным пространством . [4]
Модульное многообразие Зигеля Ag имеет размерность g ( g + 1)/2 . [1] [6] Кроме того, Юнг-Шенг Тай, Эберхард Фрайтаг и Дэвид Мамфорд показали, что A g имеет общий тип , когда g ≥ 7. [1] [7] [8] [9]