Модульная форма Siegel

В математике , Siegel модульные формы являются основным типом автоморфной формы . Они обобщают обычные эллиптические модульные формы, которые тесно связаны с эллиптическими кривыми . Комплексные многообразия, построенные в теории модулярных форм Зигеля, являются модулярными многообразиями Зигеля , которые являются основными моделями того, каким должно быть пространство модулей для абелевых многообразий (с некоторой дополнительной структурой уровня ), и строятся как частные от верхнего полупространства Зигеля, а не чем верхняя полуплоскость по дискретным группам .

Модулярные формы Зигеля - это голоморфные функции на множестве симметричных матриц размера n × n с положительно определенной мнимой частью; формы должны удовлетворять условию автоморфности. Siegel модульные формы можно рассматривать как многомерные модулярные формы, то есть как специальные функции от нескольких комплексных переменных .

Модульные формы Зигеля были впервые исследованы Карлом Людвигом Зигелем  ( 1939 ) с целью аналитического изучения квадратичных форм . В первую очередь они возникают в различных разделах теории чисел , таких как арифметическая геометрия и эллиптические когомологии . Модульные формы Зигеля также использовались в некоторых областях физики , таких как конформная теория поля и термодинамика черных дыр в теории струн .

Определение [ править ]

Предварительные мероприятия [ править ]

Позвольте и определить${\ displaystyle g, N \ in \ mathbb {N}}$

${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}=\left\{\tau \in M_{g\times g}(\mathbb {C} )\ {\big |}\ \tau ^{\mathrm {T} }=\tau ,{\textrm {Im}}(\tau ){\text{ positive definite}}\right\},}$

Сигел верхнее полупространство . Определим симплектическую группу уровня , обозначенную как ${\displaystyle N}$${\displaystyle \Gamma _{g}(N),}$

${\displaystyle \Gamma _{g}(N)=\left\{\gamma \in GL_{2g}(\mathbb {Z} )\ {\big |}\ \gamma ^{\mathrm {T} }{\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}}\gamma ={\begin{pmatrix}0&I_{g}\\-I_{g}&0\end{pmatrix}},\ \gamma \equiv I_{2g}\mod N\right\},}$

где - единичная матрица . Наконец, пусть ${\displaystyle I_{g}}$${\displaystyle g\times g}$

${\displaystyle \rho :{\textrm {GL}}_{g}(\mathbb {C} )\rightarrow {\textrm {GL}}(V)}$

- рациональное представление , где - конечномерное комплексное векторное пространство .${\displaystyle V}$

Модульная форма Siegel [ править ]

Данный

${\displaystyle \gamma ={\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}}}$

и

${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N),}$

определить обозначения

${\displaystyle (f{\big |}\gamma )(\tau )=(\rho (C\tau +D))^{-1}f(\gamma \tau ).}$

Тогда голоморфная функция

${\displaystyle f:{\mathcal {H}}_{g}\rightarrow V}$

является модульной формой Зигеля степени (иногда называемой родом), веса и уровня, если ${\displaystyle g}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle N}$

${\displaystyle (f{\big |}\gamma )=f}$

для всех . В этом случае мы дополнительно требуем, чтобы он был голоморфен «на бесконечности». Это предположение не является необходимым из-за принципа Кохера, описанного ниже. Обозначим пространство модулярных форм Зигеля веса , степени и уровня через ${\displaystyle \gamma \in \Gamma _{g}(N)}$${\displaystyle g=1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle g}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle M_{\rho }(\Gamma _{g}(N)).}$

Примеры [ править ]

Некоторые методы построения модульных форм Зигеля включают:

• Серия Эйзенштейна
• Тета-функции решеток (возможно, с плюригармоническим многочленом)
• Подъемник Сайто – Курокавы на степень 2
• Икеда лифт
• Лифт Мияваки
• Изделия модульных форм Siegel.

Уровень 1, малая степень [ править ]

Для степени 1 модульные формы Siegel уровня 1 аналогичны модульным формам уровня 1. Кольцо таких форм является кольцом многочленов C [ E ₄ , E ₆ ] в рядах Эйзенштейна (степени 1) E ₄ и E ₆ .

Для степени 2 (Игуса  1962 , 1967 ) показал, что кольцо модульных форм Зигеля уровня 1 порождается рядами Эйзенштейна (степени 2) E ₄ и E ₆ и еще тремя формами с весами 10, 12 и 35. Идеал отношений между ними порождается квадратом формы веса 35 за вычетом одного полинома в других.

Для степени 3 Цуюминь (1986) описал кольцо модульных форм Зигеля уровня 1, дав набор из 34 генераторов.

Для степени 4 были найдены модульные формы малых весов Зигеля 1-го уровня. Не существует кусп-форм веса 2, 4 или 6. Пространство куспид-форм веса 8 одномерно и натянуто на форму Шоттки . Пространство куспид-форм веса 10 имеет размерность 1, пространство куспид-форм веса 12 имеет размерность 2, пространство куспид-форм веса 14 имеет размерность 3, а пространство куспид-форм веса 16 имеет размерность 7 ( Плохо & Yuen 2007 ) . harv error: no target: CITEREFPoorYuen2007 (help)

Для степени 5 пространство форм куспида имеет размерность 0 для веса 10, размерность 2 для веса 12. Пространство форм веса 12 имеет размерность 5.

Для степени 6 не существует параболических форм весов 0, 2, 4, 6, 8. Пространство модулярных форм Зигеля веса 2 имеет размерность 0, а пространства весов 4 или 6 имеют размерность 1.

Уровень 1, малый вес [ править ]

Для малых весов и уровня 1 Duke & Imamoḡlu (1998) дают следующие результаты (для любой положительной степени):

• Вес 0: Пространство форм одномерное, охватывается единицей.
• Вес 1: Единственная модульная форма Siegel - 0.
• Вес 2: Единственная модульная форма Siegel - 0.
• Вес 3: Единственная модульная форма Siegel - 0.
• Вес 4: Для любой степени пространство форм веса 4 является одномерным, натянутым на тета-функцию решетки E ₈ (соответствующей степени). Единственная форма возврата - 0.
• Вес 5: Единственная модульная форма Siegel - 0.
• Вес 6: Пространство форм веса 6 имеет размерность 1, если степень не больше 8, и размерность 0, если степень не меньше 9. Единственная форма возврата - 0.
• Вес 7: пространство куспидов исчезает, если степень равна 4 или 7.
• Вес 8: В роде 4 пространство куспид-форм одномерно, натянуто на форму Шоттки, а пространство форм двумерно. Если род 8, то куспидных форм нет.
• Бугорчатые формы отсутствуют, если вес рода превышает удвоенный вес.

Таблица размеров пространств 1-го уровня модульных форм Зигеля [ править ]

В следующей таблице объединены результаты выше информация из бедных и Yuen (2006) и Chenevier и Ланны (2014) и Таибите (2014) . harvtxt error: no target: CITEREFPoorYuen2006 (help)

Принцип Кохера [ править ]

Теорема, известная как принцип Кохера, утверждает, что если - модулярная форма Зигеля веса , уровня 1 и степени , то ограничена на подмножествах формы ${\displaystyle f}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle g>1}$${\displaystyle f}$${\displaystyle {\mathcal {H}}_{g}}$

${\displaystyle \left\{\tau \in {\mathcal {H}}_{g}\ |{\textrm {Im}}(\tau )>\epsilon I_{g}\right\},}$

где . Следствием этой теоремы является тот факт, что модулярные формы Зигеля степени имеют разложения Фурье и, таким образом, голоморфны на бесконечности. ^[1]${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle g>1}$

Приложения к физике [ править ]

В системе суперсимметричных черных дыр D1D5P в теории струн функция, которая естественным образом фиксирует микросостояния энтропии черной дыры, является модульной формой Зигеля. ^[2] В общем, модульные формы Зигеля были описаны как имеющие потенциал для описания черных дыр или других гравитационных систем. ^[2]

Модульные формы Зигеля также используются в качестве производящих функций для семейств CFT2 с увеличивающимся центральным зарядом в конформной теории поля , особенно в гипотетическом соответствии AdS / CFT . ^[3]

Ссылки [ править ]

• Шеневье, Гаэтан; Ланн, Жан (2014), Formes automorphes et voisins de Kneser des réseaux de Niemeier , arXiv : 1409.7616 , Bibcode : 2014arXiv1409.7616C
• Duke, W .; Имамоглу, Ö. (1998), "Модульные формы Зигеля малого веса", Матем. Анна. , 310 (1): 73-82, DOI : 10.1007 / s002080050137 , МР  1600030
• Freitag, E. (1983), Siegelsche Modulfunktionen , Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 254. Springer-Verlag, Berlin, doi : 10.1007 / 978-3-642-68649-8 , ISBN 978-3-540-11661-5, Руководство по ремонту  0871067
• van der Geer, Gerard (2008), «Модульные формы Siegel и их приложения», Модульные формы 1-2-3, 181–245 , Universitext, Берлин: Springer, стр. 181–245, arXiv : math / 0605346 , DOI : 10.1007 / 978-3-540-74119-0_3 , ISBN 978-3-540-74117-6, Руководство по ремонту  2409679
• Igusa, Jun-ichi (1962), "О модулярных формах Зигеля второго рода", Amer. J. Math. , 84 (1): 175-200, DOI : 10,2307 / 2372812 , JSTOR  2372812 , МР  0141643
• Клинген, Хельмут (2003), Вводные лекции по модульным формам Зигеля , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-35052-5
• Сигель, Карл Людвиг (1939), "Einführung in die Theorie der Modulfunktionen n-ten Grades", Math. Анна. , 116 : 617-657, DOI : 10.1007 / bf01597381 , МР  0001251
• Тайби, Оливье (2014), Измерения пространств автоморфных форм уровня один для расщепленных классических групп с использованием формулы следа , arXiv : 1406.4247 , Bibcode : 2014arXiv1406.4247T
• Tsuyumine, Shigeaki (1986), "О модульных формах Зигеля степени три", Amer. J. Math. , 108 (4): 755-862, DOI : 10,2307 / 2374517 , JSTOR  2374517 , МР  0853217