В математике модульное многообразие Зигеля или пространство модулей Зигеля - это алгебраическое многообразие , параметризующее определенные типы абелевых многообразий фиксированной размерности . Точнее, Siegel модульные сорта являются пространством модулей из главно поляризованных абелевых многообразий фиксированного размера. Они названы в честь Карла Людвига Зигеля , немецкого теоретика чисел 20-го века, который представил эти разновидности в 1943 году. [2] [3]
Модульные разновидности Siegel - самые основные примеры разновидностей Shimura . [4] Модулярные многообразия Зигеля обобщают пространства модулей эллиптических кривых на более высокие измерения и играют центральную роль в теории модулярных форм Зигеля , которые обобщают классические модулярные формы на более высокие измерения. [1] У них также есть приложения к энтропии черной дыры и конформной теории поля . [5]
Строительство
Сигел модульного разнообразия г , который в основном параметризует поляризованный абелевые многообразия размерности г , может быть построен как комплексные аналитическими пространства , построенных как частное от Siegel верхнего полупространства степени г по действию симплектической группы . Сложные аналитические пространства естественным образом связаны алгебраические многообразия по Серра «S GAGA . [1]
Модулярное многообразие Зигеля A g ( n ), которое параметризует принципиально поляризованные абелевы многообразия размерности g с n -структурой уровня , возникает как фактор верхнего полупространства Зигеля по действию главной конгруэнтной подгруппы уровня n множества a. симплектическая группа. [1]
Модульное многообразие Зигеля также может быть построено как многообразие Шимуры, определенное данными Шимуры, связанными с симплектическим векторным пространством . [4]
Характеристики
Модульное многообразие Зигеля A g имеет размерность g ( g + 1) / 2. [1] [6] Кроме того, Юнг-Шенг Тай, Эберхард Фрейтаг и Дэвид Мамфорд показали, что A g имеет общий тип при g ≥ 7. [1] [7] [8] [9]
Модулярные многообразия Зигеля можно компактифицировать, чтобы получить проективные многообразия . [1] В частности, компактификацией A 2 (2) является бирационально к Сегре кубической который фактически рациональным . [1] Точно так же компактификация A 2 (3) бирационально эквивалентна квартике Буркхардта, которая также рациональна. [1] Другое модулярное многообразие Зигеля, обозначенное A 1,3 (2), имеет компактификацию, которая бирационально эквивалентна квинтике Барта – Ньето, которая бирационально эквивалентна модулярному многообразию Калаби – Яу с размерностью Кодаира нуль. [1]
Приложения
Модулярные формы Зигеля возникают как векторнозначные дифференциальные формы на модулярных многообразиях Зигеля. [1] Модулярные многообразия Зигеля использовались в конформной теории поля через теорию модулярных форм Зигеля. [10] В теории струн функция, которая естественным образом фиксирует микросостояния энтропии черной дыры в системе суперсимметричных черных дыр D1D5P, является модульной формой Зигеля. [5]
В 1968 году Алексей Паршин показал, что гипотеза Морделла (теперь известная как теорема Фальтингса) будет верна, если гипотеза Шафаревича о конечности верна, путем введения трюка Паршина. [11] [12] В 1983 и 1984 годах Герд Фалтингс завершил доказательство гипотезы Морделла, доказав гипотезу Шафаревича о конечности. [13] [14] [12] Основная идея доказательства Фальтингса - это сравнение высот Фальтингса и наивных высот с помощью модулярных многообразий Зигеля. [15]
Смотрите также
- Модульная поверхность Гильберта
- Схема гильберта
- Якобиева многообразие
Рекомендации
- ^ Б с д е е г ч я J K Hulek, Клаус; Шанкаран, ГК (2002). "Геометрия модульных многообразий Зигеля" . Многомерная бирациональная геометрия . Углубленные исследования чистой математики. 35 . С. 89–156. arXiv : math / 9810153 . DOI : 10.2969 / ASPM / 03510089 . ISBN 978-4-931469-85-3. S2CID 119595519 .
- ^ Ода, Такаяки (2014). "Пересечения двух стенок фундаментальной области Готчлинга модульной группы Зигеля второго рода". В Хайме Бернхард; Аль-Баали, Мехиддин; Рупп, Флориан (ред.). Автоморфные формы, исследования в области теории чисел из Омана . Springer Proceedings по математике и статистике. 115 . Springer. С. 193–221. DOI : 10.1007 / 978-3-319-11352-4_15 . ISBN 978-3-319-11352-4.
- ^ Сигель, Карл Людвиг (1943). «Симплектическая геометрия». Американский журнал математики . Издательство Университета Джона Хопкинса. 65 (1): 1–86. DOI : 10.2307 / 2371774 . JSTOR 2371774 .
- ^ а б Милн, Джеймс С. (2005). «Введение в многообразие Симура» (PDF) . В Артуре, Джеймсе; Элвуд, Дэвид; Коттвиц, Роберт (ред.). Гармонический анализ, формула следов и разновидности симуры . Труды по математике из глины. 4 . Американское математическое общество и Институт математики Клэя. С. 265–378. ISBN 978-0-8218-3844-0.
- ^ а б Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (11 апреля 2017 г.). «Модульные формы Зигеля и энтропия черной дыры» (PDF) . Журнал физики высоких энергий . 2017 (4): 57. arXiv : 1611.04588 . Bibcode : 2017JHEP ... 04..057B . DOI : 10.1007 / JHEP04 (2017) 057 . S2CID 53684898 . См. Раздел 1 статьи.
- ^ ван дер Гир, Жерар (2013). «Когомологии пространства модулей абелевых многообразий». В Фаркасе, Гаврил; Моррисон, Ян (ред.). Справочник модулей, Том 1 . 24 . Сомервилль, Массачусетс: International Press. arXiv : 1112.2294 . ISBN 9781571462572.
- ^ Тай, Юнг-Шэн (1982). «О размерности Кодаира пространства модулей абелевых многообразий» . Inventiones Mathematicae . 68 (3): 425–439. Bibcode : 1982InMat..68..425T . DOI : 10.1007 / BF01389411 . S2CID 120441933 .
- ^ Фрейтаг, Эберхард (1983). Siegelsche Modulfunktionen . Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (на немецком языке). 254 . Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-3-642-68649-8 . ISBN 978-3-642-68650-4.
- ^ Мамфорд, Дэвид (1983). «О размерности Кодаира модульного многообразия Зигеля». In Ciliberto, C .; Ghione, F .; Ореккья, Ф. (ред.). Алгебраическая геометрия - Открытые вопросы, Труды конференции , состоявшейся в Равелло, 31 мая - 5 июня 1982 года . Конспект лекций по математике. 997 . Springer. С. 348–375. DOI : 10.1007 / BFb0061652 . ISBN 978-3-540-12320-0.
- ^ Белин, Александр; Кастро, Алехандра; Гомеш, Жуан; Келлер, Кристоф А. (7 ноября 2018 г.). «Парамодульные формы Зигеля и разреженность в AdS3 / CFT2». Журнал физики высоких энергий . 2018 (11): 37. arXiv : 1805.09336 . Bibcode : 2018JHEP ... 11..037B . DOI : 10.1007 / JHEP11 (2018) 037 . S2CID 54936474 .
- ^ Паршин, АН (1968). «Алгебраические кривые над функциональными полями I» (PDF) . Изв. Акад. Наук. СССР сер. Математика. 32 (5): 1191–1219. Bibcode : 1968IzMat ... 2.1145P . DOI : 10.1070 / IM1968v002n05ABEH000723 .
- ^ а б Корнелл, Гэри; Сильверман, Джозеф Х. , ред. (1986). Арифметическая геометрия. Доклады с конференции , состоявшейся в Университете штата Коннектикут, Сторрс, штат Коннектикут, 30 июля - 10 августа 1984 года . Нью-Йорк: Springer-Verlag. DOI : 10.1007 / 978-1-4613-8655-1 . ISBN 0-387-96311-1. Руководство по ремонту 0861969 .
- ^ Фальтингс, Герд (1983). "Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" [Теоремы конечности для абелевых многообразий над числовыми полями]. Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 73 (3): 349–366. Bibcode : 1983InMat..73..349F . DOI : 10.1007 / BF01388432 . Руководство по ремонту 0718935 . S2CID 121049418 .
- ^ Фальтингс, Герд (1984). "Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern" . Inventiones Mathematicae (на немецком языке). 75 (2): 381. DOI : 10.1007 / BF01388572 . Руководство по ремонту 0732554 .
- ^ «Фальтингс связывает два понятия высоты с помощью пространства модулей Зигеля ... Это основная идея доказательства». Блох, Спенсер (1984). "Доказательство гипотезы Морделла" (PDF) . Математический интеллигент . 6 (2): 44. DOI : 10.1007 / BF03024155 . S2CID 306251 . Архивировано из оригинального (PDF) на 2019-03-03.