Якобианский сорт

В математике многообразие Якоби J ( C ) неособой алгебраической кривой C рода g является пространством модулей линейных расслоений степени 0 . Это компонент связности единицы в группе Пикара C , следовательно , абелев многообразие .

Многообразие Якоби названо в честь Карла Густава Якоби , который доказал полную версию теоремы Абеля-Якоби , превратив утверждение об инъективности Нильса Абеля в изоморфизм. Это принципиально поляризованное абелево многообразие размерности g и , следовательно, над комплексными числами это комплексный тор . Если p является точкой C , то кривая C может быть отображена на подмногообразие J с заданной точкой p , отображающей единицу J , и C порождает Jкак группа .

Над комплексными числами многообразие Якоби можно реализовать как фактор-пространство V / L , где V — двойственное векторное пространство всех глобальных голоморфных дифференциалов на C , а L — решетка всех элементов V вида

со встроенным через приведенную выше карту. Это можно сделать явно с помощью тета-функций . ^[1] ${\ Displaystyle Н_ {1} (С)}$ ${\ Displaystyle Н ^ {0} (\ Омега _ {С} ^ {1}) ^ {*}}$

Якобиан кривой над произвольным полем был построен Вейлем (1948) как часть его доказательства гипотезы Римана для кривых над конечным полем.

Теорема Абеля – Якоби утверждает, что построенный таким образом тор является многообразием, классическим якобианом кривой, которое действительно параметризует линейные расслоения степени 0, то есть его можно отождествить с многообразием Пикара делителей степени 0 по модулю линейной эквивалентности.