Тета-функция

Исходная тета-функция Якоби θ ₁ с u = i π z и с nome q = e ^{i π τ} = 0,1 e ^{0,1 i π} . Условные обозначения (Mathematica): ${\ displaystyle {\ begin {align} \ theta _ {1} (u; q) & = 2q ^ {\ frac {1} {4}} \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} (- 1 ) ^ {n} q ^ {n (n + 1)} \ sin (2n + 1) u \\ & = \ sum _ {n = - \ infty} ^ {\ infty} (- 1) ^ {n- {\ frac {1} {2}}} q ^ {\ left (n + {\ frac {1} {2}} \ right) ^ {2}} e ^ {(2n + 1) iu} \ end {выровнено }}}$

В математике , тэта - функции являются специальными функциями от нескольких комплексных переменных . Они важны во многих областях, включая теории абелевых многообразий и пространств модулей , а также квадратичных форм . Они также были применены к теории солитонов . При обобщении на алгебру Грассмана они также появляются в квантовой теории поля . ^[1]

Наиболее распространенная форма тета-функции встречается в теории эллиптических функций . Что касается одной из комплексных переменных (обычно называемой z ), тета-функция имеет свойство, выражающее ее поведение по отношению к добавлению периода к связанным эллиптическим функциям, что делает ее квазипериодической функцией . В абстрактной теории это происходит из условия спуска линейного пучка .

Тета-функция Якоби [ править ]

Якоби тета 1

Якоби тета 2

Существует несколько тесно связанных функций, называемых тета-функциями Якоби, и множество различных и несовместимых систем обозначений для них. Одна тета-функция Якоби (названная в честь Карла Густава Якоба Якоби ) - это функция, определенная для двух комплексных переменных z и τ , где z может быть любым комплексным числом, а τ - отношение полупериодов , ограниченное верхней полуплоскостью , что означает он имеет положительную мнимую часть. Он задается формулой

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp \left(\pi in^{2}\tau +2\pi inz\right)\\&=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\left(e^{\pi i\tau }\right)^{n^{2}}\cos(2\pi nz)\\&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{n^{2}}\eta ^{n}\end{aligned}}}$

где Q = ехр (π iτ ) является нома и η = ехр (2π из- ) . Это форма Якоби . При фиксированном τ это ряд Фурье для 1-периодической целой функции от z . Соответственно, тета-функция 1-периодична по z :

${\displaystyle \vartheta (z+1;\tau )=\vartheta (z;\tau ).}$

Он также оказывается τ -квазипериодическим по z , причем

${\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=\exp[-\pi i(\tau +2z)]\vartheta (z;\tau ).}$

Таким образом, в целом

${\displaystyle \vartheta (z+a+b\tau ;\tau )=\exp \left(-\pi ib^{2}\tau -2\pi ibz\right)\vartheta (z;\tau )}$

для любых целых чисел a и b .

Вспомогательные функции [ править ]

Определенная выше тета-функция Якоби иногда рассматривается вместе с тремя вспомогательными тета-функциями, и в этом случае она записывается с двойным индексом 0:

${\displaystyle \vartheta _{00}(z;\tau )=\vartheta (z;\tau )}$

Вспомогательные (или полупериодные) функции определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z;\tau )&=\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}};\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi iz\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau ;\tau \right)\\[3pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=\exp \left({\tfrac {1}{4}}\pi i\tau +\pi i\left(z+{\tfrac {1}{2}}\right)\right)\vartheta \left(z+{\tfrac {1}{2}}\tau +{\tfrac {1}{2}};\tau \right).\end{aligned}}}$

Это обозначение следует Риману и Мамфорду ; Якоби первоначальная формулировка «ы была в терминах нома ц = е ^{я л т} , а не т . В обозначениях Якоби θ- функции записываются:

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{1}(z;q)&=-\vartheta _{11}(z;\tau )\\\theta _{2}(z;q)&=\vartheta _{10}(z;\tau )\\\theta _{3}(z;q)&=\vartheta _{00}(z;\tau )\\\theta _{4}(z;q)&=\vartheta _{01}(z;\tau )\end{aligned}}}$

Приведенные выше определения тета-функций Якоби ни в коем случае не уникальны. См. Тета-функции Якоби (варианты обозначений) для дальнейшего обсуждения.

Если мы установим z = 0 в приведенных выше тета-функциях, мы получим только четыре функции от τ , определенные на верхней полуплоскости (иногда называемые тета-константами). Их можно использовать для определения множества модульных форм и параметризации некоторых кривые; в частности, тождество Якоби есть

${\displaystyle \vartheta _{00}(0;\tau )^{4}=\vartheta _{01}(0;\tau )^{4}+\vartheta _{10}(0;\tau )^{4}}$

что является кривой Ферма четвертой степени.

Личности Якоби [ править ]

Тождества Якоби описывают, как тета-функции преобразуются под модулярной группой , которая порождается τ ↦ τ + 1 и τ ↦ -1/τ. Уравнения для первого преобразования легко найти, поскольку добавление единицы к τ в экспоненте имеет тот же эффект, что и добавление1/2к z ( n ≡ n ² mod 2 ). Во-вторых, пусть

${\displaystyle \alpha =(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\exp \left({\frac {\pi }{\tau }}iz^{2}\right).}$

потом

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{00}(z;\tau )\quad &\vartheta _{01}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{10}(z;\tau )\\[3pt]\vartheta _{10}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=\alpha \,\vartheta _{01}(z;\tau )\quad &\vartheta _{11}\!\left({\frac {z}{\tau }};{\frac {-1}{\tau }}\right)&=-i\alpha \,\vartheta _{11}(z;\tau ).\end{aligned}}}$

Тета-функции в терминах нома [ править ]

Вместо того , чтобы выразить функции Theta через г и т , мы можем выразить их в терминах аргументов ш и нома д , где ш = е ^{π из-} и д = е ^{π iτ} . В таком виде функции становятся

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\quad &\vartheta _{01}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n}q^{n^{2}}\\[3pt]\vartheta _{10}(w,q)&=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}\quad &\vartheta _{11}(w,q)&=i\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}(w^{2})^{n+{\frac {1}{2}}}q^{\left(n+{\frac {1}{2}}\right)^{2}}.\end{aligned}}}$

Мы видим, что тета-функции также могут быть определены в терминах w и q без прямой ссылки на экспоненциальную функцию. Таким образом, эти формулы можно использовать для определения тета-функций в других полях, где экспоненциальная функция может быть определена не везде, например в полях p -адических чисел .

Представления продуктов [ править ]

Тройное произведение Jacobi (частный случай из тождеств Макдональда ) говорит нам , что для комплексных чисел ш и д с | q | <1 и w ≠ 0 имеем

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+w^{2}q^{2m-1}\right)\left(1+w^{-2}q^{2m-1}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

Это можно доказать элементарными средствами, как, например, в книге Харди и Райта « Введение в теорию чисел» .

Если мы выразим тета-функцию через число q = e ^{π iτ} (отмечая, что некоторые авторы вместо этого ^{положили} q = e ^{2π iτ} ) и возьмем w = e ^{π iz,} то

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\exp(\pi i\tau n^{2})\exp(2\pi izn)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }w^{2n}q^{n^{2}}.}$

Таким образом, мы получаем формулу произведения для тета-функции в виде

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }{\big (}1-\exp(2m\pi i\tau ){\big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau +2\pi iz{\big )}{\Big )}{\Big (}1+\exp {\big (}(2m-1)\pi i\tau -2\pi iz{\big )}{\Big )}.}$

В терминах w и q :

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z;\tau )&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+q^{2m-1}w^{2}\right)\left(1+{\frac {q^{2m-1}}{w^{2}}}\right)\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-w^{2}q;q^{2}\right)_{\infty }\,\left(-{\frac {q}{w^{2}}};q^{2}\right)_{\infty }\\&=\left(q^{2};q^{2}\right)_{\infty }\,\theta \left(-w^{2}q;q^{2}\right)\end{aligned}}}$

где (;) _∞ - q- символ Почхаммера, а θ (;) - q- тета-функция . Раскрывая члены, тройное произведение Якоби также можно записать

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right){\Big (}1+\left(w^{2}+w^{-2}\right)q^{2m-1}+q^{4m-2}{\Big )},}$

который мы также можем написать как

${\displaystyle \vartheta (z\mid q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right).}$

Эта форма действительна в целом, но, очевидно, представляет особый интерес, когда z является действительным. Аналогичные формулы произведения для вспомогательных тета-функций:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{01}(z\mid q)&=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m-1}+q^{4m-2}\right),\\[3pt]\vartheta _{10}(z\mid q)&=2q^{\frac {1}{4}}\cos(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1+2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right),\\[3pt]\vartheta _{11}(z\mid q)&=-2q^{\frac {1}{4}}\sin(\pi z)\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{2m}\right)\left(1-2\cos(2\pi z)q^{2m}+q^{4m}\right).\end{aligned}}}$

Интегральные представления [ править ]

Тета-функции Якоби имеют следующие интегральные представления:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{00}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{01}(z;\tau )&=-i\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{10}(z;\tau )&=-ie^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi u+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u;\\[6pt]\vartheta _{11}(z;\tau )&=e^{iz+{\frac {1}{4}}i\pi \tau }\int _{i-\infty }^{i+\infty }e^{i\pi \tau u^{2}}{\frac {\cos(2uz+\pi \tau u)}{\sin(\pi u)}}\mathrm {d} u.\end{aligned}}}$

Явные значения [ править ]

См. Yi (2004). ^{[2] [3]}

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (e^{-\pi x})&=\vartheta (0;ix)=\theta _{3}(0;e^{-\pi x})=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{-x\pi n^{2}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-2\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{6+4{\sqrt {2}}}}{2}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-3\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{27+18{\sqrt {3}}}}{3}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-4\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt[{4}]{8}}+2}{4}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-5\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{225+100{\sqrt {5}}}}{5}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-6\pi }\right)&={\frac {{\sqrt[{3}]{3{\sqrt {2}}+3{\sqrt[{4}]{3}}+2{\sqrt {3}}-{\sqrt[{4}]{27}}+{\sqrt[{4}]{1728}}-4}}\cdot {\sqrt[{8}]{243{\pi }^{2}}}}{6{\sqrt[{6}]{1+{\sqrt {6}}-{\sqrt {2}}-{\sqrt {3}}}}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}}}{\sqrt[{8}]{1728}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-7\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\sqrt {{\frac {{\sqrt {13+{\sqrt {7}}}}+{\sqrt {7+3{\sqrt {7}}}}}{14}}\cdot {\sqrt[{8}]{28}}}}={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt[{4}]{7+4{\sqrt {7}}+5{\sqrt[{4}]{28}}+{\sqrt[{4}]{1372}}}}{\sqrt {7}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-8\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {{\sqrt[{8}]{128}}+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}{4}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-9\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\left(1+\left(1+{\sqrt {3}}\right){\sqrt[{3}]{2-{\sqrt {3}}}}\right)}{3}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-10\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {20+{\sqrt {450}}+{\sqrt {500}}+10{\sqrt[{4}]{20}}}}{10}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-12\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\sqrt {{\sqrt[{4}]{1}}+{\sqrt[{4}]{2}}+{\sqrt[{4}]{3}}+{\sqrt[{4}]{4}}+{\sqrt[{4}]{9}}+{\sqrt[{4}]{18}}+{\sqrt[{4}]{24}}}}{2{\sqrt[{8}]{108}}}}\\[8pt]\varphi \left(e^{-16\pi }\right)&={\frac {\sqrt[{4}]{\pi }}{\Gamma \left({\frac {3}{4}}\right)}}{\frac {\left(4+{\sqrt[{4}]{128}}+{\sqrt[{4}]{1024{\sqrt[{4}]{8}}+1024{\sqrt[{4}]{2}}}}\right)}{16}}\end{aligned}}}$

Идентификаторы некоторых серий [ править ]

Следующие две серии тождеств были доказаны Иштваном Мезо : ^[4]

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta _{4}^{2}(q)&=iq^{\frac {1}{4}}\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}-k}\vartheta _{1}\left({\frac {2k-1}{2i}}\ln q,q\right),\\[6pt]\vartheta _{4}^{2}(q)&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }q^{2k^{2}}\vartheta _{4}\left({\frac {k\ln q}{i}},q\right).\end{aligned}}}$

Эти соотношения верны для всех 0 < q <1 . Специализируя значения q , мы получаем следующие свободные суммы параметров

${\displaystyle {\begin{aligned}{\sqrt {\frac {\pi {\sqrt {e^{\pi }}}}{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=i\sum _{k=-\infty }^{\infty }e^{\pi \left(k-2k^{2}\right)}\vartheta _{1}\left({\frac {i\pi }{2}}(2k-1),e^{-\pi }\right),\\[6pt]{\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1}{\Gamma ^{2}\left({\frac {3}{4}}\right)}}&=\sum _{k=-\infty }^{\infty }{\frac {\vartheta _{4}\left(ik\pi ,e^{-\pi }\right)}{e^{2\pi k^{2}}}}\end{aligned}}}$

Нули тета-функций Якоби [ править ]

Все нули тета-функций Якоби являются простыми нулями и задаются следующим образом:

${\displaystyle {\begin{aligned}\vartheta (z,\tau )=\vartheta _{3}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}+{\frac {\tau }{2}}\\[3pt]\vartheta _{1}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau \\[3pt]\vartheta _{2}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {1}{2}}\\[3pt]\vartheta _{4}(z,\tau )&=0\quad &\Longleftrightarrow &&\quad z&=m+n\tau +{\frac {\tau }{2}}\end{aligned}}}$

где m , n - произвольные целые числа.

Связь с дзета-функцией Римана [ править ]

Соотношение

${\displaystyle \vartheta \left(0;-{\frac {1}{\tau }}\right)=(-i\tau )^{\frac {1}{2}}\vartheta (0;\tau )}$

был использован Риманом для доказательства функционального уравнения для дзета-функции Римана с помощью преобразования Меллина

${\displaystyle \Gamma \left({\frac {s}{2}}\right)\pi ^{-{\frac {s}{2}}}\zeta (s)={\frac {1}{2}}\int _{0}^{\infty }(\vartheta (0;it)-1)t^{\frac {s}{2}}{\frac {\mathrm {d} t}{t}}}$

которое можно показать инвариантным при замене s на 1 - s . Соответствующий интеграл для z ≠ 0 приведен в статье о дзета-функции Гурвица .

Связь с эллиптической функцией Вейерштрасса [ править ]

Якоби использовал тэта-функцию для построения (в форме, адаптированной к простому вычислению) его эллиптических функций как частных вышеупомянутых четырех тэта-функций, и он мог бы также использовать его для построения эллиптических функций Вейерштрасса , поскольку

${\displaystyle \wp (z;\tau )=-{\big (}\log \vartheta _{11}(z;\tau ){\big )}''+c}$

где вторая производная по г , а постоянная с определяется таким образом , что расширение Лоран из ℘ ( г ) при г = 0 имеет нулевой член постоянной.

Связь с функцией q -gamma [ править ]

Четвертая тета-функция - и, следовательно, другие - тесно связана с q- гамма-функцией Джексона через соотношение ^[5]

${\displaystyle \left(\Gamma _{q^{2}}(x)\Gamma _{q^{2}}(1-x)\right)^{-1}={\frac {q^{2x(1-x)}}{\left(q^{-2};q^{-2}\right)_{\infty }^{3}\left(q^{2}-1\right)}}\vartheta _{4}\left({\frac {1}{2i}}(1-2x)\log q,{\frac {1}{q}}\right).}$

Связь с функцией эта Дедекинда [ править ]

Пусть η ( τ ) будет в дедекиндово функции ETA , и аргумент функции тета как нома д = е ^{π iτ} . Потом,

${\displaystyle {\begin{aligned}\theta _{2}(0,q)=\vartheta _{10}(0;\tau )&={\frac {2\eta ^{2}(2\tau )}{\eta (\tau )}},\\[3pt]\theta _{3}(0,q)=\vartheta _{00}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{5}(\tau )}{\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)\eta ^{2}(2\tau )}}={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}(\tau +1)\right)}{\eta (\tau +1)}},\\[3pt]\theta _{4}(0,q)=\vartheta _{01}(0;\tau )&={\frac {\eta ^{2}\left({\frac {1}{2}}\tau \right)}{\eta (\tau )}},\end{aligned}}}$

и,

${\displaystyle \theta _{2}(0,q)\,\theta _{3}(0,q)\,\theta _{4}(0,q)=2\eta ^{3}(\tau ).}$

См. Также модульные функции Weber .

Эллиптический модуль [ править ]

Эллиптический модуль является

${\displaystyle k(\tau )={\frac {\vartheta _{10}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}}$

а дополнительный эллиптический модуль равен

${\displaystyle k'(\tau )={\frac {\vartheta _{01}(0,\tau )^{2}}{\vartheta _{00}(0,\tau )^{2}}}}$

Решение уравнения теплопроводности [ править ]

Тета-функция Якоби является фундаментальным решением одномерного уравнения теплопроводности с пространственно-периодическими граничными условиями. ^[6] Считая z = x действительным и τ = it с t действительным и положительным, мы можем написать

${\displaystyle \vartheta (x,it)=1+2\sum _{n=1}^{\infty }\exp \left(-\pi n^{2}t\right)\cos(2\pi nx)}$

который решает уравнение теплопроводности

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\vartheta (x,it)={\frac {1}{4\pi }}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\vartheta (x,it).}$

Это решение тета-функции является 1-периодическим по x , и при t → 0 оно приближается к периодической дельта-функции или гребенке Дирака в смысле распределений

${\displaystyle \lim _{t\to 0}\vartheta (x,it)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }\delta (x-n)}$.

Общие решения пространственно-периодической задачи начального значения для уравнения теплопроводности могут быть получены путем свертки начальных данных при t = 0 с тета-функцией.

Отношение к группе Гейзенберга [ править ]

Тета-функция Якоби инвариантна относительно действия дискретной подгруппы группы Гейзенберга . Эта инвариантность представлена ​​в статье о тета-представлении группы Гейзенберга.

Обобщения [ править ]

Если Р является квадратичной формой в п переменных, то функция тета , связанная с F является

${\displaystyle \theta _{F}(z)=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}e^{2\pi izF(m)}}$

с суммой, продолжающейся по решетке целых чисел Эта тета-функция является модульной формой веса${\displaystyle \mathbb {Z} ^{n}.}$п/2(на правильно определенной подгруппе) модульной группы . В разложении Фурье

${\displaystyle {\hat {\theta }}_{F}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }R_{F}(k)e^{2\pi ikz},}$

числа R _F ( k ) называются числами представления формы.

Тета-серия персонажа Дирихле [ править ]

Для примитивного символа Дирихле по модулю, а затем ${\displaystyle \chi }$${\displaystyle q}$${\displaystyle \nu ={\frac {1-\chi (-1)}{2}}}$

${\displaystyle \theta _{\chi }(z)={\frac {1}{2}}\sum _{n=-\infty }^{\infty }\chi (n)n^{\nu }e^{2i\pi n^{2}z}}$

это весовая модульная форма уровня и персонажа , что означает ${\displaystyle {\frac {1}{2}}+\nu }$${\displaystyle 4q^{2}}$${\displaystyle \chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }}$

${\displaystyle \theta _{\chi }\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)=\chi (d)\left({\frac {-1}{d}}\right)^{\nu }\left({\frac {\theta _{1}\left({\frac {az+b}{cz+d}}\right)}{\theta _{1}(z)}}\right)^{1+2\nu }\theta _{\chi }(z)}$

в любое время

${\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {Z} ^{4},ad-bc=1,c\equiv 0{\bmod {4}}q^{2}.}$^[7]

Тета-функция Рамануджана [ править ]

Тета-функция Римана [ править ]

Позволять

${\displaystyle \mathbb {H} _{n}=\left\{F\in M(n,\mathbb {C} )\,{\big |}\,F=F^{\mathsf {T}}\,,\,\operatorname {Im} F>0\right\}}$

набор симметричных квадратных матриц , мнимая часть которых положительно определена . называется верхним полупространством Зигеля и является многомерным аналогом верхней полуплоскости . П - мерный аналог модулярной группы является симплектической группой для п = 1 , п - мерный аналог конгруэнцподгрупп играют${\displaystyle \mathbb {H} _{n}}$ ${\displaystyle \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} );}$${\displaystyle \operatorname {Sp} (2,\mathbb {Z} )=\operatorname {SL} (2,\mathbb {Z} ).}$

${\displaystyle \ker {\big \{}\operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} )\to \operatorname {Sp} (2n,\mathbb {Z} /k\mathbb {Z} ){\big \}}.}$

Тогда, учитывая, что тета-функция Римана определяется как${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n},}$

${\displaystyle \theta (z,\tau )=\sum _{m\in \mathbb {Z} ^{n}}\exp \left(2\pi i\left({\tfrac {1}{2}}m^{\mathsf {T}}\tau m+m^{\mathsf {T}}z\right)\right).}$

Здесь - n- мерный комплексный вектор, а верхний индекс T обозначает транспонирование . Тогда тета-функция Якоби является частным случаем с n = 1 и где - верхняя полуплоскость . Одно из основных приложений тета-функции Римана состоит в том, что она позволяет дать явные формулы для мероморфных функций на компактных римановых поверхностях, а также других вспомогательных объектов, которые занимают видное место в их теории функций, принимая в качестве матрицы периодов относительно канонический базис для своей первой группы гомологий .${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} }$${\displaystyle \mathbb {H} }$${\displaystyle \tau }$

Тэта Римана сходится абсолютно и равномерно на компактных подмножествах ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}\times \mathbb {H} _{n}.}$

Функциональное уравнение имеет вид

${\displaystyle \theta (z+a+\tau b,\tau )=\exp 2\pi i\left(-b^{\mathsf {T}}z-{\tfrac {1}{2}}b^{\mathsf {T}}\tau b\right)\theta (z,\tau )}$

которое справедливо для всех векторов и для всех и${\displaystyle a,b\in \mathbb {Z} ^{n},}$${\displaystyle z\in \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \tau \in \mathbb {H} _{n}.}$

Серия Пуанкаре [ править ]

Ряд Пуанкаре обобщает ряд тета для автоморфных форм относительно произвольных фуксовых групп .

Примечания [ править ]

Ссылки [ править ]

• Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен А. (1964). Справочник по математическим функциям . Нью-Йорк: Dover Publications. сек. 16.27ff. ISBN 978-0-486-61272-0.
• Ахиезер, Наум Ильич (1990) [1970]. Элементы теории эллиптических функций . Переводы математических монографий AMS. 79 . Провиденс, Род-Айленд: AMS. ISBN 978-0-8218-4532-5.
• Фаркаш, Хершель М .; Кра, Ирвин (1980). Римановы поверхности . Нью-Йорк: Springer-Verlag. гл. 6. ISBN 978-0-387-90465-8.. (для лечения теты Римана)
• Харди, GH ; Райт, EM (1959). Введение в теорию чисел (4-е изд.). Оксфорд: Clarendon Press.
• Мамфорд, Дэвид (1983). Тат Лекция по Тете I . Бостон: Биркхаузер. ISBN 978-3-7643-3109-2.
• Пьерпон, Джеймс (1959). Функции комплексной переменной . Нью-Йорк: Dover Publications.
• Раух, Гарри Э .; Фаркас, Хершель М. (1974). Тета-функции в приложениях к римановым поверхностям . Балтимор: Уильямс и Уилкинс. ISBN 978-0-683-07196-2.
• Рейнхардт, Уильям П .; Уокер, Питер Л. (2010), «Тета-функции» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR  2723248
• Whittaker, ET ; Уотсон, GN (1927). Курс современного анализа (4-е изд.). Кембридж: Издательство Кембриджского университета. гл. 21. (история θ- функций Якоби )

Дальнейшее чтение [ править ]

• Фаркас, Хершель М. (2008). «Тета-функции в комплексном анализе и теории чисел». В Аллади, Кришнасвами (ред.). Обзоры по теории чисел . Развитие математики. 17 . Springer-Verlag . С. 57–87. ISBN 978-0-387-78509-7. Zbl  1206.11055 .
• Шенеберг, Бруно (1974). «IX. Тета-серия». Эллиптические модульные функции . Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften. 203 . Springer-Verlag . С. 203–226. ISBN 978-3-540-06382-7.
• Акерман, М. Матем. Анна. (1979) 244: 75. «О производящих функциях некоторых рядов Эйзенштейна » Springer-Verlag

Гарри Раух с Хершелем М. Фаркасом: функции теты с приложениями к римановым поверхностям, Уильямс и Уилкинс, Балтимор, Мэриленд 1974, ISBN 0-683-07196-3 . 

Внешние ссылки [ править ]

• Моисеев Игорь. «Эллиптические функции для Matlab и Octave» .

Эта статья включает в себя материалы из интегральных представлений тета-функций Якоби на PlanetMath , который находится под лицензией Creative Commons Attribution / Share-Alike License .