Из Википедии, бесплатной энциклопедии
Перейти к навигации Перейти к поиску
Для использования в других целях, см Солитон (значения) .
Уединенная волна в лабораторном волновом канале

В математике и физике , солитон или уединенная волна представляет собой самоукрепление волнового пакета , который сохраняет свою форму в то время как она распространяется со скоростью постоянной. Солитоны возникают из-за отмены нелинейных и дисперсионных эффектов в среде. (Эффекты дисперсии - это свойство некоторых систем, в которых скорость волны зависит от ее частоты.) Солитоны - это решения широко распространенного класса слабонелинейных дисперсионных уравнений в частных производных, описывающих физические системы.

Явление солитона было впервые описано в 1834 году Джоном Скоттом Расселом (1808–1882), который наблюдал уединенную волну в канале Юнион в Шотландии. Он воспроизвел явление в волновом резервуаре и назвал его « Волна трансляции ».

Определение [ править ]

Трудно найти единственное согласованное определение солитона. Дразин и Джонсон (1989 , с. 15) приписывают солитонам три свойства:

  1. Они имеют постоянную форму;
  2. Они локализованы в пределах региона;
  3. Они могут взаимодействовать с другими солитонами и выходить из столкновения неизменными, за исключением фазового сдвига .

Существуют более формальные определения, но они требуют основательной математики. Более того, некоторые ученые используют термин « солитон» для обозначения явлений, которые не совсем обладают этими тремя свойствами (например, « световые пули » нелинейной оптики часто называют солитонами, несмотря на потерю энергии во время взаимодействия). [1]

Объяснение [ править ]

Гиперболической секущей (сечь) солитон огибающей для водных волн: Синяя линия представляет собой несущий сигнал , в то время как красная линия является огибающей солитона.

Дисперсия и нелинейность могут взаимодействовать, создавая постоянные и локализованные формы волн . Представьте импульс света, движущийся в стекле. Этот импульс можно представить как состоящий из света нескольких разных частот. Поскольку стекло демонстрирует дисперсию, эти разные частоты распространяются с разной скоростью, и поэтому форма импульса меняется со временем. Однако также имеет место нелинейный эффект Керра ; показатель преломления материала при заданной частоте зависит от амплитуды источника света или силы. Если импульс имеет правильную форму, эффект Керра в точности нейтрализует эффект дисперсии, и форма импульса не меняется со временем, поэтому он является солитоном. См. Солитон (оптика) для более подробного описания.

Многие точно решаемые модели имеют солитонные решения, включая уравнение Кортевега – де Фриза , нелинейное уравнение Шредингера , связанное нелинейное уравнение Шредингера и уравнение синус-Гордон . Солитонные решения обычно получаются с помощью обратного преобразования рассеяния и обязаны своей стабильностью интегрируемости уравнений поля. Математическая теория этих уравнений - широкая и очень активная область математических исследований.

Некоторые типы приливных волн - волновое явление, характерное для нескольких рек, включая реку Северн , - являются «волнообразными»: волновой фронт, за которым следует цепочка солитонов. Другие солитоны возникают как подводные внутренние волны , инициированные топографией морского дна , которые распространяются по океаническому пикноклину . Также существуют атмосферные солитоны, такие как облако ипомеи в заливе Карпентария , где солитоны давления, перемещающиеся в слое инверсии температуры, создают огромные линейные катящиеся облака . Недавняя и не получившая широкого распространения солитонная модель в нейробиологиипредлагает объяснять прохождение сигнала внутри нейронов как солитоны давления.

Топологический солитон , также называемый топологический дефект, является любое решение множества дифференциальных уравнений , которое устойчиво к распаду на «тривиального решения». Устойчивость солитона обусловлена ​​топологическими ограничениями, а не интегрируемостью уравнений поля. Связи возникают почти всегда из-за того, что дифференциальные уравнения должны подчиняться ряду граничных условий , а граница имеет нетривиальную гомотопическую группу , сохраняемую дифференциальными уравнениями. Таким образом, решения дифференциального уравнения можно разделить на гомотопические классы .

Никакое непрерывное преобразование не отображает решение из одного гомотопического класса в другой. Решения действительно различны и сохраняют свою целостность даже перед лицом чрезвычайно мощных сил. Примеры топологических солитонов включают винтовые дислокации в кристаллической решетке , струну Дирака и магнитный монополь в электромагнетизме , модели Скирмиона и Весса – Зумино – Виттена в квантовой теории поля , магнитный скирмион в физике конденсированного состояния, космические струны и т. Д. доменные границы в космологии .

История [ править ]

В 1834 году Джон Скотт Рассел описывает волну переводов . [nb 1] Открытие описано здесь собственными словами Скотта Рассела: [nb 2]

Я наблюдал за движением лодки, которую пара лошадей быстро тащила по узкому каналу, когда лодка внезапно остановилась - совсем не масса воды в канале, которую она привела в движение; она скапливалась вокруг носа судна в состоянии сильного волнения, а затем внезапно оставила его позади и катилась вперед с большой скоростью, принимая форму большого уединенного возвышения, округлой, гладкой и четко очерченной груды воды, которая продолжалась его движение по каналу, по-видимому, без изменения формы или уменьшения скорости. Я последовал за ним верхом и обогнал его, все еще катящегося со скоростью около восьми или девяти миль в час, сохранив свою первоначальную фигуру - около тридцати футов в длину и от одного фута до полутора футов в высоту. Его высота постепенно уменьшалась,и после погони на одну или две мили я потерял его в петлях канала. Так в августе 1834 года я впервые встретился с тем необычным и красивым явлением, которое я назвал Волной Трансляции.[2]

Скотт Рассел потратил некоторое время на практические и теоретические исследования этих волн. Он построил волновые резервуары у себя дома и заметил некоторые ключевые свойства:

  • Волны стабильны и могут распространяться на очень большие расстояния (нормальные волны имеют тенденцию либо сглаживаться, либо становиться круче и опрокидываться).
  • Скорость зависит от размера волны, а ее ширина - от глубины воды.
  • В отличие от обычных волн они никогда не сливаются, поэтому небольшая волна догоняет большую, а не объединяются две.
  • Если волна слишком велика для глубины воды, она разделяется на две, одну большую и одну маленькую.

Экспериментальная работа Скотта Рассела, казалось, расходилась с теориями гидродинамики Исаака Ньютона и Даниэля Бернулли . Джорджу Бидделлу Эйри и Джорджу Габриэлю Стоуксу было трудно принять экспериментальные наблюдения Скотта Рассела, потому что они не могли быть объяснены существующими теориями волн на воде. Их современники потратили некоторое время на попытки расширить теорию, но только в 1870-х годах Джозеф Буссинеск [3] и лорд Рэлей опубликовали теоретическое рассмотрение и решения. [№ 3] В 1895 году Дидерик Кортевег и Густав де Фриспредоставили то, что сейчас известно как уравнение Кортевега – де Фриза , включая решения в виде уединенных волн и периодических кноидальных волн . [4] [№ 4]

Анимация обгона двух уединенных волн в соответствии с уравнением Бенджамина – Бона – Махони или уравнением BBM, модельным уравнением для (среди прочего) длинных поверхностных гравитационных волн . Эти высоты волн от одиночных волн 1,2 и 0,6, соответственно, и их скорости 1.4 и 1.2.
Верхний график представляет для системы отсчета , движущейся со средней скоростью одиночных волн.
На нижнем графике (с другим вертикальным масштабом и в неподвижной системе отсчета) показан колебательный хвост, образованный взаимодействием. [5] Таким образом, уединенные волновые решения уравнения BBM не являются солитонами.

В 1965 году Норман Забуски из Bell Labs и Мартин Крускал из Принстонского университета впервые продемонстрировали поведение солитона в среде, подчиняющейся уравнению Кортевега – де Фриза (уравнение КдФ), в вычислительном исследовании с использованием подхода конечных разностей . Они также показали, как такое поведение объясняет загадочные ранние работы Ферми, Паста, Улама и Цинго . [6]

В 1967 году Гарднер, Грин, Крускал и Миура открыли обратное преобразование рассеяния, позволяющее аналитически решить уравнение КдФ. [7] Работа Питера Лакса над парами Лакса и уравнением Лакса с тех пор распространила это на решение многих связанных систем, генерирующих солитоны.

Обратите внимание, что солитоны по определению не изменяют форму и скорость из-за столкновения с другими солитонами. [8] Таким образом, уединенные волны на водной поверхности являются почти -солитонами, но не совсем - после взаимодействия двух (сталкивающихся или догоняющих) уединенных волн они немного изменились по амплитуде, и остаточный колебательный остаток остался. [9]

Солитоны также изучаются в квантовой механике благодаря тому факту, что они могут обеспечить ей новое основание с помощью незаконченной программы де Бройля , известной как «Теория двойных решений» или «Нелинейная волновая механика». Эта теория, разработанная де Бройлем в 1927 году и возрожденная в 1950-х годах, является естественным продолжением его идей, разработанных между 1923 и 1926 годами, которые распространили дуализм волна-частица, введенный Альбертом Эйнштейном для световых квантов , на все частицы материи. . В 2019 году исследователи из Тель-Авивского университета измерили ускоряющийся солитон поверхностной гравитационной волны воды с помощью внешнего гидродинамического линейного потенциала. Им также удалось возбудить баллистические солитоны и измерить соответствующие им фазы.[10]

В волоконной оптике [ править ]

См. Также: Солитон (оптика)

Было проведено много экспериментов с использованием солитонов в волоконной оптике. Солитоны в волоконно-оптической системе описываются уравнениями Манакова . Присущая солитонам стабильность делает возможной передачу на большие расстояния без использования повторителей , а также потенциально может удвоить пропускную способность. [11]

ГодОткрытие
1973 г.Акира Хасегава из AT&T Bell Labs был первым, кто предположил, что солитоны могут существовать в оптических волокнах из-за баланса между фазовой самомодуляцией и аномальной дисперсией . [12] Также в 1973 году Робин Буллоу сделал первый математический отчет о существовании оптических солитонов. Он также предложил идею системы передачи на основе солитонов для повышения производительности оптических телекоммуникаций .
1987 г.Emplit et al. (1987)  - из университетов Брюсселя и Лиможа - сделали первое экспериментальное наблюдение распространения темного солитона в оптическом волокне.
1988 г.Линн Молленауэр и его команда передавали солитонные импульсы на расстояние более 4000 километров, используя явление, называемое эффектом комбинационного рассеяния , названное в честь сэра К.В. Рамана, который впервые описал его в 1920-х годах, чтобы обеспечить оптическое усиление в волокне.
1991 г.Исследовательская группа Bell Labs безошибочно передавала солитоны со скоростью 2,5 гигабит в секунду на расстояние более 14 000 километров, используя эрбиевые оптоволоконные усилители (сращенные сегменты оптического волокна, содержащие редкоземельный элемент эрбий). Лазеры накачки, подключенные к оптическим усилителям, активируют эрбий, который возбуждает световые импульсы.
1998 г.Тьерри Жорж и его команда в Центре исследований и разработок France Telecom , комбинируя оптические солитоны с разными длинами волн ( мультиплексирование с разделением по длине волны ), продемонстрировали составную передачу данных со скоростью 1 терабит в секунду (1000000000000 единиц информации в секунду), не путать с терабитами. Ethernet.

Однако вышеупомянутые впечатляющие эксперименты не привели к реальному развертыванию коммерческих солитонных систем ни в наземных, ни в подводных системах, в основном из-за джиттера Гордона – Хауса (GH) . Джиттер GH требует сложных и дорогостоящих компенсирующих решений, которые в конечном итоге делают передачу солитонов плотного мультиплексирования с разделением по длине волны (DWDM) в поле непривлекательной по сравнению с традиционной парадигмой невозврата к нулю / возврата к нулю. Кроме того, вероятное принятие в будущем более спектрально эффективных форматов с фазовой манипуляцией / QAM делает передачу солитонов еще менее жизнеспособной из-за эффекта Гордона – Молленауэра. Следовательно, солитон оптоволоконной передачи на большие расстояния оставался лабораторной диковинкой.

2000 г.Кандифф предсказал существование векторного солитона в двойном лучепреломляющем волокне с пассивной синхронизацией мод через полупроводниковое зеркало с насыщающимся поглотителем (SESAM). Состояние поляризации такого векторного солитона могло быть как вращающимся, так и заблокированным в зависимости от параметров резонатора. [13]
2008 г.DY Tang et al. наблюдал новую форму векторного солитона высшего порядка с точки зрения экспериментов и численного моделирования. Его группа исследовала различные типы векторных солитонов и состояние поляризации векторных солитонов. [14]

В биологии [ править ]

Солитоны могут встречаться в белках [15] и ДНК. [16] Солитоны связаны с низкочастотным коллективным движением белков и ДНК . [17]

Недавно разработанная нейробиологическая модель предполагает, что сигналы в форме волн плотности передаются внутри нейронов в форме солитонов. [18] [19] [20] Солитоны можно описать как передачу энергии почти без потерь в биомолекулярных цепочках или решетках как волновое распространение связанных конформационных и электронных возмущений. [21]

В магнитах [ править ]

В магнитах также существуют разные типы солитонов и другие нелинейные волны. [22] Эти магнитные солитоны являются точным решением классических нелинейных дифференциальных уравнений - магнитных уравнений, например уравнения Ландау – Лифшица , континуальной модели Гейзенберга , уравнения Ишимори , нелинейного уравнения Шредингера и других.

В ядерной физике [ править ]

Атомные ядра могут проявлять солитонное поведение. [23] Здесь предполагается, что вся ядерная волновая функция существует как солитон при определенных условиях температуры и энергии. Предполагается, что такие условия существуют в ядрах некоторых звезд, в которых ядра не реагируют, а проходят друг через друга без изменений, сохраняя свои солитонные волны в результате столкновения ядер.

Модель Скирма - это модель ядер, в которой каждое ядро ​​рассматривается как топологически стабильное солитонное решение теории поля с сохраняющимся барионным числом.

Бионы [ править ]

Связанное состояние двух солитонов известно как бион , [24] [25] [26] или в системах , где связанное состояние периодически вибрирует, A сапуна .

В теории поля под бионом обычно понимают решение модели Борна – Инфельда . Название, по-видимому, было придумано Дж. У. Гиббонсом, чтобы отличить это решение от обычного солитона, понимаемого как регулярное , с конечной энергией (и обычно устойчивое) решение дифференциального уравнения, описывающего некоторую физическую систему. [27] Слово обычныйозначает гладкое решение, не имеющее вообще никаких источников. Однако решение модели Борна – Инфельда по-прежнему несет в себе источник в виде дельта-функции Дирака в начале координат. Как следствие, в этой точке проявляется особенность (хотя электрическое поле везде регулярно). В некоторых физических контекстах (например, в теории струн) эта особенность может быть важной, что побудило введение специального названия для этого класса солитонов.

С другой стороны, когда добавляется гравитация (то есть при рассмотрении связи модели Борна – Инфельда с общей теорией относительности), соответствующее решение называется EBIon , где «E» означает Эйнштейн.

См. Также [ править ]

  • Компактон , солитон с компактной опорой
  • Волны-причуды могут быть явлением, связанным с солитоном Перегрина, включающим бризерные волны, которые демонстрируют концентрированную локализованную энергию с нелинейными свойствами. [28]
  • Нематиконы
  • Нетопологический солитон в квантовой теории поля
  • Нелинейное уравнение Шредингера.
  • Осциллоны
  • Формирование паттерна
  • Пикон , солитон с недифференцируемым пиком
  • Q-ball нетопологический солитон
  • Уравнение синус-Гордона
  • Солитон (топологический)
  • Распределение солитонов
  • Гипотеза солитона для шаровой молнии , Дэвид Финкельштейн
  • Солитонная модель распространения нервного импульса
  • Топологическое квантовое число
  • Векторный солитон

Примечания [ править ]

  1. ^ «Перевод» здесь означает, что существует реальный массовый транспорт, хотя это не та вода, которая переносится с одного конца канала на другой с помощью этой «Волны перевода». Скорее, жидкий пакет приобретает импульс во время прохождения уединенной волны и снова приходит в состояние покоя после прохождения волны. Но во время процесса частицы жидкости были существенно смещены вперед - из-за стоксова дрейфа в направлении распространения волны. Результат - чистый массовый транспорт. Обычно для обычных волн имеется небольшой перенос массы с одной стороны на другую.
  2. ^ Этот отрывок повторяется во многих статьях и книгах по теории солитонов.
  3. ^ Лорд Рэлей опубликовал статью в журнале Philosophical Magazine в 1876 году, чтобы поддержать экспериментальное наблюдение Джона Скотта Рассела с его математической теорией. В своей статье 1876 года лорд Рэлей упомянул имя Скотта Рассела, а также признал, что первое теоретическое исследование было проведено Джозефом Валентином Буссинеском в 1871 году. Джозеф Буссинеск упомянул имя Рассела в своей статье 1871 года. Таким образом, наблюдения Скотта Рассела над солитонами были приняты некоторыми выдающимися учеными как истинные при его жизни в 1808–1882 гг.
  4. ^ Кортевег и де Фриз вообще не упоминали имя Джона Скотта Рассела в своей статье 1895 года, но они процитировали статью Буссинеска 1871 года и статью лорда Рэлея 1876 года. Статья Кортевега и де Фриза 1895 года не была первой теоретической трактовкой этого предметом, но это была очень важная веха в истории развития теории солитонов.

Ссылки [ править ]

  1. ^ "Легкие пули" .
  2. ^ Скотт Рассел, Дж. (1844). «Отчет по волнам». Четырнадцатое собрание Британской ассоциации содействия развитию науки .
  3. ^ Буссинеск, Дж. «Теория всплескивания жидкости, используемой в пасьянсе или переводе, пропадающем в прямом канале». CR Acad. Sci. Париж 72, 1871 год.
  4. ^ Кортевег, DJ ; де Фрис, Г. (1895). «Об изменении формы длинных волн, продвигающихся в прямоугольном канале, и о новом типе длинных стационарных волн» . Философский журнал . 39 (240): 422–443. DOI : 10.1080 / 14786449508620739 .
  5. ^ Бона, JL ; Притчард, WG; Скотт, LR (1980). «Уединенно-волновое взаимодействие». Физика жидкостей . 23 (3): 438–441. Bibcode : 1980PhFl ... 23..438B . DOI : 10.1063 / 1.863011 .
  6. ^ Забуски и Крускала (1965)
  7. ^ Гарднер, Клиффорд S .; Грин, Джон М .; Крускал, Мартин Д .; Миура, Роберт М. (1967). «Метод решения уравнения Кортевега – де Фриза». Письма с физическим обзором . 19 (19): 1095–1097. Bibcode : 1967PhRvL..19.1095G . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.19.1095 .
  8. ^ Remoissenet, М. (1999). Волны, называемые солитонами: концепции и эксперименты . Springer. п. 11 . ISBN 9783540659198.
  9. ^ См., Например:
    • Максворти, Т. (1976). «Эксперименты по столкновению уединенных волн». Журнал гидромеханики . 76 (1): 177–186. Bibcode : 1976JFM .... 76..177M . DOI : 10.1017 / S0022112076003194 .
    • Фентон, JD; Ринекер, М.М. (1982). "Метод Фурье для решения нелинейных задач о водных волнах: приложение к взаимодействиям уединенных волн". Журнал гидромеханики . 118 : 411–443. Bibcode : 1982JFM ... 118..411F . DOI : 10.1017 / S0022112082001141 .
    • Крейг, В .; Guyenne, P .; Hammack, J .; Хендерсон, Д .; Сулем, К. (2006). «Взаимодействие уединенной воды с волнами». Физика жидкостей . 18 (57106): 057106–057106–25. Bibcode : 2006PhFl ... 18e7106C . DOI : 10.1063 / 1.2205916 .
  10. ^ Г. Розенман, А. Арье, Л. Шемер (2019). «Наблюдение за ускоряющимися уединенными волновыми пакетами». Phys. Rev. E . 101 (5): 050201. DOI : 10,1103 / PhysRevE.101.050201 . PMID 32575227 . 
  11. ^ «Фотоны продвигаются на два фронта» . EETimes.com. 24 октября, 2005. Архивировано из оригинального 28 июля 2012 года . Проверено 15 февраля 2011 .
  12. ↑ Фред Тапперт (29 января 1998 г.). «Воспоминания об исследовании оптических солитонов с Акирой Хасегавой» (PDF) .
  13. ^ Cundiff, ST; Коллингс, Британская Колумбия; Ахмедиев, Н.Н. Сото-Креспо, JM; Бергман, К .; Нокс, WH (1999). «Наблюдение векторных солитонов с синхронизацией поляризации в оптическом волокне». Письма с физическим обзором . 82 (20): 3988. Bibcode : 1999PhRvL..82.3988C . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.82.3988 . hdl : 10261/54313 .
  14. ^ Тан, ДЙ; Zhang, H .; Чжао, Л. М.; Ву, X. (2008). «Наблюдение векторных солитонов высокого порядка с синхронизацией поляризации в волоконном лазере». Письма с физическим обзором . 101 (15): 153904. arXiv : 0903.2392 . Bibcode : 2008PhRvL.101o3904T . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.101.153904 . PMID 18999601 . S2CID 35230072 .  
  15. ↑ Давыдов, Александр С. (1991). Солитоны в молекулярных системах . Математика и ее приложения (Советская серия). 61 (2-е изд.). Kluwer Academic Publishers. ISBN 978-0-7923-1029-7.
  16. ↑ Якушевич, Людмила В. (2004). Нелинейная физика ДНК (2-е перераб.). Wiley-VCH. ISBN 978-3-527-40417-9.
  17. ^ Sinkala, Z. (август 2006). «Солитонный / экситонный транспорт в белках». J. Theor. Биол . 241 (4): 919–27. CiteSeerX 10.1.1.44.52 . DOI : 10.1016 / j.jtbi.2006.01.028 . PMID 16516929 .  
  18. ^ Heimburg, Т. Джексон, AD (12 июля 2005). «О распространении солитонов в биомембранах и нервах» . Proc. Natl. Акад. Sci. США . 102 (2): 9790–5. Bibcode : 2005PNAS..102.9790H . DOI : 10.1073 / pnas.0503823102 . PMC 1175000 . PMID 15994235 .  CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  19. ^ Heimburg, Т. Джексон, AD (2007). «О потенциале действия как распространяющемся импульсе плотности и роли анестетиков». Биофиз. Rev. Lett . 2 : 57–78. arXiv : физика / 0610117 . Bibcode : 2006physics..10117H . DOI : 10.1142 / S179304800700043X . S2CID 1295386 . CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  20. Перейти ↑ Andersen, SSL, Jackson, AD, Heimburg, T. (2009). «К термодинамической теории распространения нервных импульсов». Прог. Neurobiol . 88 (2): 104–113. DOI : 10.1016 / j.pneurobio.2009.03.002 . PMID 19482227 . S2CID 2218193 .  CS1 maint: multiple names: authors list (link)[ мертвая ссылка ]
  21. ^ Хамерофф, Стюарт (1987). Окончательные вычисления: биомолекулярное сознание и нанотехнологии . Нидерланды: Elsevier Science Publishers BV p. 18. ISBN 0-444-70283-0.
  22. ^ Косевич, AM ; Ганн, В.В.; Жуков А.И.; Воронов, В.П. (1998). «Движение магнитного солитона в неоднородном магнитном поле» . Журнал экспериментальной и теоретической физики . 87 (2): 401–407. Bibcode : 1998JETP ... 87..401K . DOI : 10.1134 / 1.558674 . S2CID 121609608 . 
  23. ^ Ивата, Йоритака; Стивенсон, Пол (2019). «Условное восстановление симметрии относительно обращения времени во многих ядерных системах». Новый журнал физики . 21 (4): 043010. arXiv : 1809.10461 . Bibcode : 2019NJPh ... 21d3010I . DOI : 10,1088 / 1367-2630 / ab0e58 . S2CID 55223766 . 
  24. ^ Белова, Т.И.; Кудрявцев, А.Е. (1997). «Солитоны и их взаимодействия в классической теории поля». Успехи физ . 40 (4): 359–386. Bibcode : 1997PhyU ... 40..359B . DOI : 10,1070 / pu1997v040n04abeh000227 .
  25. ^ Гани, Вирджиния; Кудрявцев А.Е .; Лизунова, М.А. (2014). «Кинковые взаимодействия в (1 + 1) -мерной модели φ ^ 6». Physical Review D . 89 (12): 125009. arXiv : 1402.5903 . Bibcode : 2014PhRvD..89l5009G . DOI : 10.1103 / PhysRevD.89.125009 . S2CID 119333950 . 
  26. ^ Гани, Вирджиния; Ленский, В .; Лизунова, М.А. (2015). «Спектры возбуждения кинка в (1 + 1) -мерной модели φ ^ 8». Журнал физики высоких энергий . 2015 (8): 147. arXiv : 1506.02313 . DOI : 10.1007 / JHEP08 (2015) 147 . ISSN 1029-8479 . S2CID 54184500 .  
  27. ^ Гиббонс, GW (1998). «Частицы Борна – Инфельда и p -браны Дирихле ». Ядерная физика Б . 514 (3): 603–639. arXiv : hep-th / 9709027 . Bibcode : 1998NuPhB.514..603G . DOI : 10.1016 / S0550-3213 (97) 00795-5 . S2CID 119331128 . 
  28. ↑ Пауэлл, Девин (20 мая 2011 г.). «Захваченные волны разбойников» . Новости науки . Проверено 24 мая 2011 года .

Дальнейшее чтение [ править ]

  • Забуски, штат Нью-Джерси; Крускал, доктор медицины (1965). «Взаимодействие« солитонов »в бесстолкновительной плазме и повторяемость начальных состояний» . Phys. Rev. Lett . 15 (6): 240–243. Bibcode : 1965PhRvL..15..240Z . DOI : 10.1103 / PhysRevLett.15.240 .
  • Hasegawa, A .; Тапперт, Ф. (1973). «Передача стационарных нелинейных оптических импульсов в диспергирующих диэлектрических волокнах. I. Аномальная дисперсия». Appl. Phys. Lett . 23 (3): 142–144. Bibcode : 1973ApPhL..23..142H . DOI : 10.1063 / 1.1654836 .
  • Emplit, P .; Хамайде, Япония; Reynaud, F .; Froehly, C .; Бартелеми, А. (1987). «Пикосекундные шаги и темные импульсы через нелинейные одномодовые волокна». Optics Comm . 62 (6): 374–379. Bibcode : 1987OptCo..62..374E . DOI : 10.1016 / 0030-4018 (87) 90003-4 .
  • Тао, Теренс (2009). «Почему решения стабильны?» (PDF) . Бык. Являюсь. Математика. Soc . 46 (1): 1–33. arXiv : 0802.2408 . DOI : 10,1090 / s0273-0979-08-01228-7 . Руководство по ремонту  2457070 . S2CID  546859 .
  • Дразин П.Г . ; Джонсон, RS (1989). Солитоны: введение (2-е изд.). Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-33655-0.
  • Дунайский, М. (2009). Солитоны, инстантоны и твисторы . Издательство Оксфордского университета. ISBN 978-0-19-857063-9.
  • Jaffe, A .; Taubes, CH (1980). Вихри и монополи . Бирхаузер. ISBN 978-0-8176-3025-6.
  • Manton, N .; Сатклифф, П. (2004). Топологические солитоны . Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-83836-8.
  • Mollenauer, Linn F .; Гордон, Джеймс П. (2006). Солитоны в оптических волокнах . Elsevier Academic Press. ISBN 978-0-12-504190-4.
  • Раджараман, Р. (1982). Солитоны и инстантоны . Северная Голландия. ISBN 978-0-444-86229-7.
  • Ян, Ю. (2001). Солитоны в теории поля и нелинейном анализе . Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-95242-0.

Внешние ссылки [ править ]

Связанный с Джоном Скоттом Расселом
  • Джон Скотт Рассел и уединенная волна
  • Биография Джона Скотта Рассела
  • Фотография солитона на Акведуке Скотта Рассела
Другой
  • Страница солитона Университета Хериота – Ватта
  • Солитоны Гельмгольца, Салфордский университет
  • Краткий дидактический обзор оптических солитонов
  • Снято столкновение двух солитонов на YouTube