Солитон (оптика)

Эта статья может быть слишком технической, чтобы ее могло понять большинство читателей . Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы он был понятен неспециалистам , не удаляя технические детали. ( Январь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения )

В оптике термин солитон используется для обозначения любого оптического поля, которое не изменяется во время распространения из-за тонкого баланса между нелинейными и линейными эффектами в среде. ^[1] Есть два основных типа солитонов:

• пространственные солитоны : нелинейный эффект может уравновесить дифракцию . Электромагнитное поле может изменять показатель преломления среды при распространении, создавая таким образом структуру, подобную волокну с градиентным показателем преломления . ^[2] Если поле также является распространяющейся модой созданной им направляющей, то оно останется ограниченным и будет распространяться без изменения своей формы.
• временные солитоны : если электромагнитное поле уже пространственно ограничено, можно посылать импульсы, которые не изменят свою форму, поскольку нелинейные эффекты уравновешивают дисперсию . Эти солитоны были открыты первыми, и в оптике их часто называют просто «солитонами».

Пространственные солитоны [ править ]

Чтобы понять, как может существовать пространственный солитон, мы должны сделать некоторые выводы о простой выпуклой линзе . Как показано на рисунке справа, оптическое поле приближается к линзе, а затем фокусируется. Эффект линзы состоит в том, чтобы внести неоднородное изменение фазы, вызывающее фокусировку. Это изменение фазы является функцией пространства и может быть представлено с помощью , форма которого приблизительно представлена ​​на рисунке.${\ Displaystyle \ varphi (х)}$

Изменение фазы можно выразить как произведение фазовой постоянной и ширины пути, пройденного полем. Мы можем записать это как:

${\ displaystyle \ varphi (x) = k_ {0} nL (x)}$

где - ширина линзы, изменяющаяся в каждой точке с формой, которая одинакова, потому что и n - константы. Другими словами, чтобы получить эффект фокусировки, нам просто нужно ввести изменение фазы такой формы, но мы не обязаны изменять ширину. Если оставить ширину L фиксированной в каждой точке, но изменить значение показателя преломления, мы получим точно такой же эффект, но с совершенно другим подходом.${\ Displaystyle L (х)}$${\ Displaystyle \ varphi (х)}$${\ displaystyle k_ {0}}$ ${\ Displaystyle п (х)}$

Это применяется в волокнах с градиентным коэффициентом преломления : изменение показателя преломления приводит к эффекту фокусировки, который может уравновесить естественную дифракцию поля. Если два эффекта идеально уравновешивают друг друга, то внутри волокна распространяется ограниченное поле.

Пространственные солитоны основаны на том же принципе: эффект Керра вводит фазовую самомодуляцию, которая изменяет показатель преломления в зависимости от интенсивности:

${\ displaystyle \ varphi (x) = k_ {0} n (x) L = k_ {0} L [n + n_ {2} I (x)]}$

если имеет форму, подобную показанной на рисунке, значит, мы создали желаемое фазовое поведение, и поле покажет эффект самофокусировки. Другими словами, при распространении поле создает подобную волокну направляющую структуру. Если поле создает волокно и одновременно является модой такого волокна, это означает, что фокусирующие нелинейные и дифракционные линейные эффекты идеально сбалансированы, и поле будет распространяться бесконечно, не меняя своей формы (до тех пор, пока среда не изменяет свою форму). не изменится, и если мы можем пренебречь потерями, очевидно). Чтобы иметь эффект самофокусировки, мы должны иметь положительный эффект, иначе мы получим противоположный эффект и не заметим никакого нелинейного поведения.${\ Displaystyle I (х)}$${\ displaystyle n_ {2}}$

Оптический волновод, который солитон создает при распространении, является не только математической моделью, но он действительно существует и может использоваться для направления других волн на разных частотах ^{[ необходима цитата ]} . Таким образом можно позволить свету взаимодействовать со светом на разных частотах (это невозможно в линейных средах).

Доказательство [ править ]

Электрическое поле распространяется в среде с оптическим эффектом Керра , поэтому показатель преломления определяется как:

${\ displaystyle n (I) = n + n_ {2} I}$

Напомним, что связь между энергетической освещенностью и электрическим полем (в комплексном представлении)

${\ Displaystyle I = {\ гидроразрыва {| E | ^ {2}} {2 \ eta}}}$

где и - полное сопротивление свободного пространства , определяемое по формуле${\ displaystyle \ eta = \ eta _ {0} / n}$${\ displaystyle \ eta _ {0}}$

${\ displaystyle \ eta _ {0} = {\ sqrt {\ frac {\ mu _ {0}} {\ varepsilon _ {0}}}} \ приблизительно 377 \ Omega.}$

Поле распространяется в направлении с фазовой постоянной . Сейчас мы будем игнорировать любую зависимость от оси y , предполагая, что она бесконечна в этом направлении. Тогда поле можно выразить как:${\ displaystyle z}$ ${\ displaystyle k_ {0} n}$

${\displaystyle E(x,z,t)=A_{m}a(x,z)e^{i(k_{0}nz-\omega t)}}$

где - максимальная амплитуда поля и - безразмерная нормированная функция (так что ее максимальное значение равно 1), которая представляет форму электрического поля между осью x . В общем, это зависит от z, потому что поля меняют свою форму при распространении. Теперь нам нужно решить уравнение Гельмгольца :${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle a(x,z)}$

${\displaystyle \nabla ^{2}E+k_{0}^{2}n^{2}(I)E=0}$

где было ясно указано, что показатель преломления (следовательно, фазовая постоянная) зависит от интенсивности. Если мы заменим выражение электрического поля в уравнении, предполагая, что огибающая медленно изменяется при распространении, т. Е.${\displaystyle a(x,z)}$

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}a(x,z)}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|k_{0}{\frac {\partial a(x,z)}{\partial z}}\right|}$

уравнение становится:

${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i2k_{0}n{\frac {\partial a}{\partial z}}+k_{0}^{2}[n^{2}(I)-n^{2}]a=0.}$

Введем приближение, которое справедливо, потому что нелинейные эффекты всегда намного меньше линейных:

${\displaystyle [n^{2}(I)-n^{2}]=[n(I)-n][n(I)+n]=n_{2}I(2n+n_{2}I)\approx 2nn_{2}I}$

теперь выразим напряженность через электрическое поле:

${\displaystyle [n^{2}(I)-n^{2}]\approx 2nn_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=n^{2}n_{2}{\frac {|A_{m}|^{2}|a(x,z)|^{2}}{\eta _{0}}}}$

уравнение становится:

${\displaystyle {\frac {1}{2k_{0}n}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial x^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial z}}+{\frac {k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}a=0.}$

Предположим теперь, что нелинейный эффект вызовет самофокусировку. Чтобы сделать это очевидным, мы напишем в уравнении. Давайте теперь определим некоторые параметры и заменим их в уравнении:${\displaystyle n_{2}>0}$${\displaystyle n_{2}=|n_{2}|}$

• ${\displaystyle \xi ={\frac {x}{X_{0}}}}$, поэтому можно выразить зависимость от оси x безразмерным параметром; - длина, физический смысл которой станет яснее позже.${\displaystyle X_{0}}$
• ${\displaystyle L_{d}=X_{0}^{2}k_{0}n}$после того, как электрическое поле распространилось по z на эту длину, нельзя больше пренебрегать линейными эффектами дифракции.
• ${\displaystyle \zeta ={\frac {z}{L_{d}}}}$, для исследования зависимости от z с безразмерной переменной.
• ${\displaystyle L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}n|n_{2}|\cdot |A_{m}|^{2}}}}$после того, как электрическое поле распространилось по z на эту длину, нелинейными эффектами больше нельзя пренебрегать. Этот параметр зависит от напряженности электрического поля, что характерно для нелинейных параметров.
• ${\displaystyle N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}}$

Уравнение становится:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \xi ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0}$

это обычное уравнение, известное как нелинейное уравнение Шредингера . Из этой формы мы можем понять физический смысл параметра N :

• если , то нелинейной частью уравнения можно пренебречь. Это означает , что тогда поле будет подвержено линейному эффекту (дифракции) намного раньше, чем нелинейному эффекту, оно просто будет дифрагировать без какого-либо нелинейного поведения.${\displaystyle N\ll 1}$${\displaystyle L_{d}\ll L_{n\ell }}$
• если , то нелинейный эффект будет более очевидным, чем дифракция, и из-за фазовой самомодуляции поле будет стремиться к фокусировке.${\displaystyle N\gg 1}$
• если , то два эффекта уравновешивают друг друга, и мы должны решить уравнение.${\displaystyle N\approx 1}$

Ибо решение уравнения простое и это фундаментальный солитон:${\displaystyle N=1}$

${\displaystyle a(\xi ,\zeta )=\operatorname {sech} (\xi )e^{i\zeta /2}}$

где sech - гиперболический секанс . Он по-прежнему зависит от z , но только по фазе, поэтому форма поля не изменится во время распространения.

Ибо еще можно выразить решение в замкнутой форме, но оно имеет более сложную форму: ^[3]${\displaystyle N=2}$

${\displaystyle a(\xi ,\zeta )={\frac {4[\cosh(3\xi )+3e^{4i\zeta }\cosh(\xi )]e^{i\zeta /2}}{\cosh(4\xi )+4\cosh(2\xi )+3\cos(4\zeta )}}.}$

Он действительно меняет свою форму во время распространения, но является периодической функцией z с периодом .${\displaystyle \zeta =\pi /2}$

Для солитонных решений N должно быть целым числом и называется порядком или солитоном. Для точной замкнутой формы тоже существует решение; ^[4] он имеет еще более сложный вид, но имеет ту же периодичность. Фактически все солитоны с периодом . ^[5] Их форму можно легко выразить только сразу после генерации:${\displaystyle N=3}$${\displaystyle N\geq 2}$${\displaystyle \zeta =\pi /2}$

${\displaystyle a(\xi ,\zeta =0)=N\operatorname {sech} (\xi )}$

справа - график солитона второго порядка: вначале он имеет форму сечения, затем максимальная амплитуда увеличивается, а затем возвращается к форме сечения. Поскольку для генерации солитонов необходима высокая интенсивность, при еще большем увеличении интенсивности поля среда может быть повреждена.

Условие, которое необходимо решить, если мы хотим сгенерировать фундаментальный солитон, получается выражением N через все известные параметры и последующим положением :${\displaystyle N=1}$

${\displaystyle 1=N={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}={\frac {X_{0}^{2}k_{0}^{2}n^{2}|n_{2}||A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}}$

что с точки зрения максимального значения освещенности становится:

${\displaystyle I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {1}{X_{0}^{2}k_{0}^{2}n|n_{2}|}}.}$

В большинстве случаев две переменные, которые можно изменить, - это максимальная интенсивность и ширина импульса .${\displaystyle I_{\max }}$${\displaystyle X_{0}}$

Любопытно, что солитоны более высокого порядка могут достигать сложной формы, прежде чем возвращаться точно к своей исходной форме в конце периода солитона. На изображении различных солитонов спектр (слева) и временная область (справа) показаны на различных расстояниях распространения (вертикальная ось) в идеализированной нелинейной среде. Это показывает, как лазерный импульс может вести себя при движении в среде со свойствами, необходимыми для поддержки фундаментальных солитонов. На практике, чтобы достичь очень высокой пиковой интенсивности, необходимой для достижения нелинейных эффектов, лазерные импульсы можно вводить в оптические волокна, такие как фотонно-кристаллическое волокно с сильно ограниченными модами распространения. Эти волокна имеют более сложную дисперсию и другие характеристики, которые отклоняются от аналитических параметров солитона.

Генерация пространственных солитонов [ править ]

О первом эксперименте по пространственным оптическим солитонам сообщили в 1974 г. Ашкин и Бьоркхольм ^[6] в кювете, заполненной парами натрия. Затем эта область была пересмотрена в экспериментах в Лиможском университете ^[7] с жидким дисульфидом углерода и расширена в начале 90-х, когда впервые были обнаружены солитоны в фоторефрактивных кристаллах ^{[8] [9],} стекле, полупроводниках ^[10] и полимерах. В течение последних десятилетий сообщалось о многочисленных открытиях в различных материалах для солитонов разной размерности, формы, спирали, столкновения, слияния, расщепления, в однородных средах, периодических системах и волноводах. ^[11]Пространственные солитоны также называют самозахватывающимися оптическими пучками, и их формирование обычно сопровождается самозаписывающимся волноводом. В нематических жидких кристаллах , ^[12] пространственные солитоны также называют nematicons .

Солитоны с поперечной синхронизацией мод [ править ]

Локализованные возбуждения в лазерах могут возникать из-за синхронизации поперечных мод.

Конфокальный лазерный резонатор с нелинейным усилением и срезами поглотителя в фурье-сопряженных плоскостях${\displaystyle 2F}$

В конфокальном лазерном резонаторе вырожденные поперечные моды с одной продольной модой на длине волны, смешанные в нелинейном диске усиления (расположенном на ) и диске насыщающегося поглотителя (расположенном на ) диаметра , способны создавать пространственные солитоны гиперболической формы: ^[13]${\displaystyle 2F}$${\displaystyle \lambda }$${\displaystyle G}$${\displaystyle z=0}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle z=2F}$${\displaystyle D}$${\displaystyle sech}$${\displaystyle E(x,z=0)\sim {\rm {sech}}\left(\!{\frac {\pi xD}{2\lambda F}}{\sqrt {\frac {1-\alpha G}{G}}}\,\right)}$

${\displaystyle E(x,z=2F)\sim {\rm {sech}}\left(\!{\frac {2\pi x}{D}}{\sqrt {\frac {G}{1-\alpha G}}}\,\right)}$

в сопряженных Фурье плоскостях и . ^[14]${\displaystyle z=0}$${\displaystyle z=2F}$

Временные солитоны [ править ]

Основная проблема, ограничивающая скорость передачи в оптических волокнах, - это дисперсия групповой скорости . Это связано с тем, что генерируемые импульсы имеют ненулевую полосу пропускания, а среда, в которой они распространяются, имеет показатель преломления, который зависит от частоты (или длины волны ). Этот эффект представлен параметром дисперсии групповой задержки D ; с его помощью можно точно рассчитать, насколько расширится импульс:

${\displaystyle \Delta \tau \approx DL\,\Delta \lambda }$

где L - длина волокна, а - ширина полосы пропускания по длине волны. Подход в современных системах связи состоит в том, чтобы уравновесить такую ​​дисперсию с другими волокнами, имеющими D с разными знаками в разных частях волокна: таким образом, импульсы продолжают расширяться и сжиматься при распространении. С помощью временных солитонов можно полностью снять такую ​​проблему.${\displaystyle \Delta \lambda }$

Рассмотрим картинку справа. Слева - стандартный гауссов импульс, это огибающая поля, колеблющегося с определенной частотой. Мы предполагаем, что частота остается совершенно постоянной во время импульса.

Теперь мы позволяем этому импульсу распространяться по волокну с , на него будет влиять дисперсия групповой скорости. Для этого знака D дисперсия является аномальной , так что более высокочастотные компоненты будут распространяться немного быстрее, чем более низкие частоты, таким образом достигая до конца волокна. Общий сигнал, который мы получаем, представляет собой более широкий чирпированный импульс, показанный в правом верхнем углу изображения.${\displaystyle D>0}$

Теперь предположим, что у нас есть среда, которая демонстрирует только нелинейный эффект Керра, но ее показатель преломления не зависит от частоты: такой среды не существует, но стоит рассмотреть ее, чтобы понять различные эффекты.

Фаза поля определяется как:

${\displaystyle \varphi (t)=\omega _{0}t-kz=\omega _{0}t-k_{0}z[n+n_{2}I(t)]}$

частота (согласно определению) определяется как:

${\displaystyle \omega (t)={\frac {\partial \varphi (t)}{\partial t}}=\omega _{0}-k_{0}zn_{2}{\frac {\partial I(t)}{\partial t}}}$

эта ситуация представлена ​​на рисунке слева. В начале импульса частота ниже, в конце выше. После прохождения через нашу идеальную среду мы получим чирпированный импульс без уширения, потому что мы пренебрегли дисперсией.

Возвращаясь к первому изображению, мы видим, что два эффекта вызывают изменение частоты в двух разных противоположных направлениях. Можно создать импульс, чтобы два эффекта уравновешивали друг друга. Принимая во внимание более высокие частоты, линейная дисперсия будет способствовать их более быстрому распространению, в то время как нелинейный эффект Керра замедлит их. Общий эффект будет заключаться в том, что импульс не изменяется при распространении: такие импульсы называются временными солитонами.

История временных солитонов [ править ]

В 1973 году Акира Хасегава и Фред Тапперт из AT&T Bell Labs первыми предположили, что солитоны могут существовать в оптических волокнах из-за баланса между фазовой самомодуляцией и аномальной дисперсией . ^{[15] [16]} Также в 1973 году Робин Буллоу сделал первый математический отчет о существовании оптических солитонов. Он также предложил идею системы передачи на основе солитонов для повышения производительности оптических телекоммуникаций .

Солитоны в волоконно-оптической системе описываются уравнениями Манакова .

В 1987 г. П. Эмплит, Дж. П. Хамайда, Ф. Рейно, К. Фрёли и А. Бартелеми из университетов Брюсселя и Лиможа сделали первое экспериментальное наблюдение распространения темного солитона в оптическом волокне.

В 1988 году Линн Молленауэр и его команда передали солитонные импульсы на расстояние более 4000 километров, используя явление, называемое эффектом комбинационного рассеяния , названное в честь индийского ученого сэра К.В. Рамана, который впервые описал его в 1920-х годах, чтобы обеспечить оптическое усиление в волокне.

В 1991 году исследовательская группа Bell Labs безошибочно передавала солитоны на скорости 2,5 гигабита на расстояние более 14 000 километров, используя эрбиевые оптоволоконные усилители (сращенные участки оптического волокна, содержащие редкоземельный элемент эрбий). Лазеры накачки, в сочетании с оптическими усилителями, активировать эрбия, который подает питание на световые импульсы ^{[ источник ? ]} .

В 1998 году Тьерри Жорж и его команда из научно-исследовательского центра France Télécom , комбинируя оптические солитоны с разными длинами волн ( мультиплексирование с разделением по длине волны ), продемонстрировали скорость передачи данных 1 терабит в секунду (1 000 000 000 000 единиц информации в секунду) ^{[ необходима цитата ]} .

В 2020 году компания Optics Communications сообщила японской команде из MEXT о коммутации оптических каналов с пропускной способностью до 90 Тбит / с (терабит в секунду), Optics Communications, том 466, 1 июля 2020 года, 125677.

Доказательство для временных солитонов [ править ]

Электрическое поле распространяется в среде, демонстрируя оптический эффект Керра, через направляющую структуру (такую ​​как оптическое волокно ), которая ограничивает мощность в плоскости xy . Если поле распространяется по направлению к z с фазовой постоянной , то его можно выразить в следующей форме:${\displaystyle \beta _{0}}$

${\displaystyle E(\mathbf {r} ,t)=A_{m}a(t,z)f(x,y)e^{i(\beta _{0}z-\omega _{0}t)}}$

где - максимальная амплитуда поля, - огибающая, формирующая импульс во временной области; в общем, это зависит от z, потому что импульс может изменять свою форму при распространении; представляет форму поля в плоскости xy , и она не меняется во время распространения, потому что мы предположили, что поле является направляемым. И a, и f являются нормализованными безразмерными функциями, максимальное значение которых равно 1, так что это действительно представляет собой амплитуду поля.${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle a(t,z)}$${\displaystyle f(x,y)}$${\displaystyle A_{m}}$

Поскольку в среде существует дисперсия, которой нельзя пренебречь, связь между электрическим полем и его поляризацией дается интегралом свертки . В любом случае, используя представление в области Фурье , мы можем заменить свертку простым продуктом, используя, таким образом, стандартные отношения, которые действительны в более простых средах. Мы преобразуем электрическое поле по Фурье, используя следующее определение:

${\displaystyle {\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=\int \limits _{-\infty }^{\infty }E(\mathbf {r} ,t)e^{-i(\omega -\omega _{0})t}\,dt}$

Используя это определение, производная во временной области соответствует произведению в области Фурье:

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}E\Longleftrightarrow i(\omega -\omega _{0}){\tilde {E}}}$

полное выражение поля в частотной области:

${\displaystyle {\tilde {E}}(\mathbf {r} ,\omega -\omega _{0})=A_{m}{\tilde {a}}(\omega ,z)f(x,y)e^{i\beta _{0}z}}$

Теперь мы можем решить уравнение Гельмгольца в частотной области:

${\displaystyle \nabla ^{2}{\tilde {E}}+n^{2}(\omega )k_{0}^{2}{\tilde {E}}=0}$

мы решаем выразить фазовую постоянную следующими обозначениями:

${\displaystyle {\begin{aligned}n(\omega )k_{0}=\beta (\omega )&=\overbrace {\beta _{0}} ^{\text{linear non-dispersive}}+\overbrace {\beta _{\ell }(\omega )} ^{\text{linear dispersive}}+\overbrace {\beta _{n\ell }} ^{\text{non-linear}}\\[8pt]&=\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}}$

где мы предполагаем , что (сумма линейной дисперсионной составляющей и нелинейной части) является малым возмущением, то есть . Фазовая постоянная может иметь любое сложное поведение, но мы можем представить ее в виде ряда Тейлора, сосредоточенного на :${\displaystyle \Delta \beta }$${\displaystyle |\beta _{0}|\gg |\Delta \beta (\omega )|}$${\displaystyle \omega _{0}}$

${\displaystyle \beta (\omega )\approx \beta _{0}+(\omega -\omega _{0})\beta _{1}+{\frac {(\omega -\omega _{0})^{2}}{2}}\beta _{2}+\beta _{n\ell }}$

где, как известно:

${\displaystyle \beta _{u}=\left.{\frac {d^{u}\beta (\omega )}{d\omega ^{u}}}\right|_{\omega =\omega _{0}}}$

мы подставляем выражение электрического поля в уравнение и производим некоторые вычисления. Если мы примем приближение медленно меняющейся огибающей :

${\displaystyle \left|{\frac {\partial ^{2}{\tilde {a}}}{\partial z^{2}}}\right|\ll \left|\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}\right|}$

мы получили:

${\displaystyle 2i\beta _{0}{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+[\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}]{\tilde {a}}=0}$

мы игнорируем поведение в плоскости xy , потому что оно уже известно и задано . Сделаем небольшое приближение, как и для пространственного солитона:${\displaystyle f(x,y)}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\beta ^{2}(\omega )-\beta _{0}^{2}&=[\beta (\omega )-\beta _{0}][\beta (\omega )+\beta _{0}]\\[6pt]&=[\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )-\beta _{0}][2\beta _{0}+\Delta \beta (\omega )]\approx 2\beta _{0}\,\Delta \beta (\omega )\end{aligned}}}$

заменяя это в уравнении, мы получаем просто:

${\displaystyle i{\frac {\partial {\tilde {a}}}{\partial z}}+\Delta \beta (\omega ){\tilde {a}}=0}$.

Теперь мы хотим вернуться во временную область. Выражая продукты производными, мы получаем двойственность:

${\displaystyle \Delta \beta (\omega )\Longleftrightarrow i\beta _{1}{\frac {\partial }{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}}+\beta _{n\ell }}$

мы можем записать нелинейную составляющую через энергетическую освещенность или амплитуду поля:

${\displaystyle \beta _{n\ell }=k_{0}n_{2}I=k_{0}n_{2}{\frac {|E|^{2}}{2\eta _{0}/n}}=k_{0}n_{2}n{\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}}}|a|^{2}}$

для двойственности с пространственным солитоном определим:

${\displaystyle L_{n\ell }={\frac {2\eta _{0}}{k_{0}nn_{2}|A_{m}|^{2}}}}$

и этот символ имеет то же значение, что и в предыдущем случае, даже если контекст отличается. Уравнение становится:

${\displaystyle i{\frac {\partial a}{\partial z}}+i\beta _{1}{\frac {\partial a}{\partial t}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial t^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0}$

Мы знаем, что импульс распространяется вдоль оси z с групповой скоростью, заданной как , поэтому нас это не интересует, потому что мы просто хотим знать, как импульс меняет свою форму во время распространения. Мы решаем изучить форму импульса, то есть огибающую функцию a (·), используя эталон, который движется с полем с той же скоростью. Таким образом делаем замену${\displaystyle v_{g}=1/\beta _{1}}$

${\displaystyle T=t-\beta _{1}z}$

и уравнение становится:

${\displaystyle i{\frac {\partial a}{\partial z}}-{\frac {\beta _{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial T^{2}}}+{\frac {1}{L_{n\ell }}}|a|^{2}a=0}$

Далее мы предполагаем, что среда, в которой распространяется поле, демонстрирует аномальную дисперсию , то есть или с точки зрения параметра дисперсии групповой задержки . Сделаем эту замену более очевидной в уравнении . Определим теперь следующие параметры (двойственность с предыдущим случаем очевидна):${\displaystyle \beta _{2}<0}$${\displaystyle D={\frac {-2\pi c}{\lambda ^{2}}}\beta _{2}>0}$${\displaystyle \beta _{2}=-|\beta _{2}|}$

${\displaystyle L_{d}={\frac {T_{0}^{2}}{|\beta _{2}|}};\qquad \tau ={\frac {T}{T_{0}}};\qquad \zeta ={\frac {z}{L_{d}}};\qquad N^{2}={\frac {L_{d}}{L_{n\ell }}}}$

заменяя их в уравнении, мы получаем:

${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \tau ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0}$

это в точности то же уравнение, которое мы получили в предыдущем случае. Солитон первого порядка определяется выражением:

${\displaystyle a(\tau ,\zeta )=\operatorname {sech} (\tau )e^{i\zeta /2}}$

в этом случае справедливы те же соображения, которые мы сделали. Условие N  = 1 становится условием амплитуды электрического поля:

${\displaystyle |A_{m}|^{2}={\frac {2\eta _{0}|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}n}}}$

или, с точки зрения освещенности:

${\displaystyle I_{\max }={\frac {|A_{m}|^{2}}{2\eta _{0}/n}}={\frac {|\beta _{2}|}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

или мы можем выразить это в терминах мощности, если мы введем эффективную площадь, определенную так, чтобы :${\displaystyle A_{\text{eff}}}$${\displaystyle P=IA_{\text{eff}}}$

${\displaystyle P={\frac {|\beta _{2}|A_{\text{eff}}}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

Устойчивость солитонов [ править ]

Мы описали, что такое оптические солитоны, и, используя математику, мы увидели, что если мы хотим их создать, мы должны создать поле определенной формы (просто sech для первого порядка) с определенной мощностью, связанной с длительностью. импульса. Но что, если мы немного ошибаемся, создавая такие импульсы? Добавляя к уравнениям небольшие возмущения и решая их численно, можно показать, что одномерные солитоны устойчивы. Их часто называют (1 + 1) D- солитонами , что означает, что они ограничены в одном измерении ( x или t , как мы видели) и распространяются в другом ( z ).

Если мы создадим такой солитон, используя немного неправильную мощность или форму, то он будет сам настраиваться, пока не достигнет стандартной формы сечения с правильной мощностью. К сожалению, это достигается за счет некоторой потери мощности, которая может вызвать проблемы, поскольку может генерировать другое несолитонное поле, распространяющееся вместе с желаемым полем. Одномерные солитоны очень устойчивы: например, если мы все равно сгенерируем солитон первого порядка; если N больше, мы сгенерируем солитон более высокого порядка, но его фокусировка при распространении может вызвать пики большой мощности, повреждающие среду.${\displaystyle 0.5<N<1.5}$

Единственный способ создать пространственный солитон (1 + 1) D - это ограничить поле по оси y с помощью диэлектрической пластины , а затем ограничить поле по x с помощью солитона.

С другой стороны, пространственные солитоны (2 + 1) D нестабильны, поэтому любое небольшое возмущение (например, из-за шума) может вызвать дифракцию солитона в виде поля в линейной среде или коллапс, тем самым повредив материал. Можно создать стабильные пространственные солитоны (2 + 1) D, используя насыщающие нелинейные среды, где соотношение Керра справедливо до тех пор, пока оно не достигнет максимального значения. Работа вблизи этого уровня насыщения позволяет создать устойчивый солитон в трехмерном пространстве.${\displaystyle n(I)=n+n_{2}I}$

Если мы рассматриваем распространение более коротких (временных) световых импульсов или на большее расстояние, нам необходимо учитывать поправки более высокого порядка, и поэтому огибающая несущей импульса регулируется нелинейным уравнением Шредингера более высокого порядка (HONSE), для которого существуют некоторые специализированные (аналитические) солитонные решения. ^[17]

Влияние потерь мощности [ править ]

Как мы видели, для создания солитона необходимо иметь правильную мощность при его генерации. Если в среде нет потерь, то мы знаем, что солитон будет продолжать распространяться вечно, не меняя формы (1-й порядок) или периодически изменяя свою форму (более высокие порядки). К сожалению, любая среда приводит к потерям, поэтому фактическое поведение мощности будет иметь следующий вид:

${\displaystyle P(z)=P_{0}e^{-\alpha z}}$

это серьезная проблема для временных солитонов, распространяющихся в волокнах на несколько километров. Рассмотрим, что происходит с временным солитоном, сразу же обобщение на пространственные. Мы доказали, что соотношение между мощностью и длиной импульса :${\displaystyle P_{0}}$${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle P={\frac {|\beta _{2}|A_{\text{eff}}}{T_{0}^{2}n_{2}k_{0}}}}$

если власть меняется, единственное, что может измениться во второй части отношений, - это . если мы добавим потери к мощности и решим отношения в терминах, мы получим:${\displaystyle T_{0}}$${\displaystyle T_{0}}$

${\displaystyle T(z)=T_{0}e^{(\alpha /2)z}}$

ширина импульса растет экспоненциально, чтобы уравновесить потери! это соотношение верно до тех пор, пока существует солитон, то есть до тех пор, пока это возмущение не будет малым, поэтому так должно быть, иначе мы не сможем использовать уравнения для солитонов и должны изучить стандартную линейную дисперсию. Если мы хотим создать систему передачи с использованием оптических волокон и солитонов, мы должны добавить оптические усилители , чтобы ограничить потери мощности.${\displaystyle \alpha z\ll 1}$

Генерация солитонного импульса [ править ]

Были проведены эксперименты по анализу влияния высокочастотного (20 МГц - 1 ГГц) внешнего магнитного поля, индуцированного нелинейным эффектом Керра, на одномодовое оптическое волокно значительной длины (50–100 м) для компенсации дисперсии групповой скорости (ДГС) и последующей эволюция солитонного импульса (пиковая энергия, узкий, секущий гиперболический импульс ). ^[18] Генерация солитонного импульса в волокне является очевидным выводом как фазовая самомодуляция из-за высокой энергии смещения импульса GVD, тогда как длина эволюции составляет 2000 км. (длина волны лазера выбрана более 1,3 микрометра). Кроме того, пиковый солитонный импульс имеет период 1–3 пс, так что он надежно размещается в оптической полосе пропускания. После генерации солитонного импульса он меньше всего рассеивается по оптоволокну длиной в тысячи километров, что ограничивает количество ретрансляционных станций.

Темные солитоны [ править ]

При анализе солитонов обоих типов мы принимали определенные условия относительно среды:

• в пространственных солитонах`` это означает, что фазовая самомодуляция вызывает самофокусировку${\displaystyle n_{2}>0}$
• во временных солитонах, или аномальная дисперсия${\displaystyle \beta _{2}<0}$${\displaystyle D>0}$

Можно ли получить солитоны, если эти условия не проверены? если принять или , то получим следующее дифференциальное уравнение (оно имеет одинаковый вид в обоих случаях, мы будем использовать только обозначение временного солитона):${\displaystyle n_{2}<0}$${\displaystyle \beta _{2}>0}$

${\displaystyle {\frac {-1}{2}}{\frac {\partial ^{2}a}{\partial \tau ^{2}}}+i{\frac {\partial a}{\partial \zeta }}+N^{2}|a|^{2}a=0.}$

Это уравнение имеет солитоноподобные решения. Для первого заказа ( N  = 1):

${\displaystyle a(\tau ,\zeta )=\tanh(\tau )e^{i\zeta }.\ }$

Сюжет показан на картинке справа. Для солитонов более высокого порядка ( ) мы можем использовать следующее выражение в замкнутой форме:${\displaystyle |a(\tau ,\zeta )|^{2}}$${\displaystyle N>1}$

${\displaystyle a(\tau ,\zeta =0)=N\tanh(\tau ).\ }$

Это солитон в том смысле, что он распространяется, не меняя своей формы, но он не создается нормальным импульсом; скорее, это недостаток энергии в непрерывном временном луче. Интенсивность постоянна, но в течение короткого времени, в течение которого она скачет до нуля и обратно, генерируя «темный импульс» ». Эти солитоны фактически могут быть сгенерированы путем введения коротких темных импульсов в гораздо более длинные стандартные импульсы. С темными солитонами труднее работать, чем со стандартными солитонами, но они показали, что они более устойчивы и устойчивы к потерям.

См. Также [ править ]

• Солитон
• Фазовая самомодуляция
• Оптический эффект Керра
• векторный солитон
• нематикон
• Ультракороткий импульс

Ссылки [ править ]

Библиография [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы по теме " Солитон" (оптика) .

• Распространение солитона в SMF-28 с помощью GPU