Отношение дисперсии

В призме дисперсия заставляет разные цвета преломляться под разными углами, разделяя белый свет на радугу цветов.

В физических науках и электротехнике , дисперсионные соотношения описывают влияние дисперсии на свойствах волн в среде. Дисперсионное соотношение связывает длину или волновое число волны с ее частотой . Зная дисперсионное соотношение, можно вычислить фазовую скорость и групповую скорость волн в среде как функцию частоты. В дополнение к зависимым от геометрии и материалам дисперсионным соотношениям всеобъемлющие соотношения Крамерса – Кронига описывают частотную зависимость распространения волн изатухание .

Дисперсия может быть вызвана либо геометрическими граничными условиями ( волноводы , мелкая вода), либо взаимодействием волн с передающей средой. Элементарные частицы , рассматриваемые как волны материи , обладают нетривиальным законом дисперсии даже при отсутствии геометрических ограничений и других сред.

При наличии дисперсии скорость волны больше не определяется однозначно, что приводит к различию фазовой скорости и групповой скорости .

Дисперсия [ править ]

Дисперсия возникает, когда чистые плоские волны разной длины имеют разные скорости распространения, так что волновой пакет со смешанными длинами волн имеет тенденцию распространяться в пространстве. Скорость плоской волны, является функцией длины волны :${\displaystyle v}$${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle v=v(\lambda ).\,}$

Скорость волны, длина волны и частота f связаны тождеством

${\displaystyle v(\lambda )=\lambda \ f(\lambda ).\,}$

Функция выражает закон дисперсии данной среды. Дисперсионные соотношения чаще выражаются через угловую частоту и волновое число . Переписывая приведенное выше соотношение в этих переменных, получаем${\displaystyle f(\lambda )}$ ${\displaystyle \omega =2\pi f}$ ${\displaystyle k=2\pi /\lambda }$

${\displaystyle \omega (k)=v(k)\cdot k.\,}$

где теперь мы рассматриваем f как функцию от k . Использование ω ( k ) для описания дисперсионного соотношения стало стандартом, поскольку как фазовая скорость ω / k, так и групповая скорость dω / d k имеют удобные представления через эту функцию.

Рассматриваемые плоские волны можно описать следующим образом:

${\displaystyle A(x,t)=A_{0}e^{2\pi i{\frac {x-vt}{\lambda }}}=A_{0}e^{i(kx-\omega t)},}$

куда

А - амплитуда волны,

А ₀ = А (0,0),

x - позиция вдоль направления движения волны, а

t - время описания волны.

Плоские волны в вакууме [ править ]

Плоские волны в вакууме - это простейший случай распространения волн: без геометрических ограничений, без взаимодействия с передающей средой.

Электромагнитные волны в вакууме [ править ]

Для электромагнитных волн в вакууме угловая частота пропорциональна волновому числу:

${\displaystyle \omega =ck.\,}$

Это линейное дисперсионное соотношение. В этом случае фазовая скорость и групповая скорость совпадают:

${\displaystyle v={\frac {\omega }{k}}={\frac {d\omega }{dk}}=c;}$

они задаются c , скоростью света в вакууме, постоянной, не зависящей от частоты.

Дисперсионные соотношения Де Бройля [ править ]

Полная энергия, импульс и масса частиц связаны релятивистским дисперсионным соотношением : ^[1]

${\displaystyle E^{2}=(mc^{2})^{2}+(pc)^{2},}$

который в ультрарелятивистском пределе равен

${\displaystyle E=pc}$

а в нерелятивистском пределе

${\displaystyle E=mc^{2}+{\frac {p^{2}}{2m}},}$

где - инвариантная масса . В нерелятивистском пределе - постоянная величина, а это знакомая кинетическая энергия, выраженная через импульс .${\displaystyle m}$${\displaystyle mc^{2}}$${\displaystyle p^{2}/(2m)}$${\displaystyle p=mv}$

Переход от ультрарелятивистского к нерелятивистскому поведению проявляется как изменение наклона от p к p ^2, как показано на графике логарифмической дисперсии E по сравнению с p .

Элементарные частицы, атомные ядра, атомы и даже молекулы в некоторых случаях ведут себя как волны материи. Согласно соотношениям де Бройля их кинетическая энергия E может быть выражена как частота ω , а их импульс p как волновое число k , используя приведенную постоянную Планка ħ :

${\displaystyle E=\hbar \omega ,\quad p=\hbar k.}$

Соответственно, угловая частота и волновое число связаны дисперсионным соотношением, которое в нерелятивистском пределе имеет вид

${\displaystyle \omega ={\frac {\hbar k^{2}}{2m}}.}$

Анимация: фазовая и групповая скорость электронов

Эта анимация изображает фазу де Бройля и групповые скорости (в замедленном движении) трех свободных электронов, движущихся по полю шириной 0,4 ангстрема . Импульс на единицу массы (собственная скорость) среднего электрона - это скорость света, так что его групповая скорость равна 0,707 c . Верхний электрон имеет вдвое больший импульс, а нижний - половину. Обратите внимание, что с увеличением количества движения фазовая скорость уменьшается до c , а групповая скорость увеличивается до cдо тех пор, пока волновой пакет и его фазовые максимумы не начнут двигаться вместе со скоростью света, а длина волны не будет продолжать неограниченно уменьшаться. Ширина как поперечной, так и продольной когерентности (размеры пакетов) электронов такой высокой энергии в лаборатории может быть на порядки больше, чем показано здесь.

Частота по сравнению с волновым числом [ править ]

Как упоминалось выше, когда основное внимание в среде уделяется преломлению, а не поглощению, то есть реальной части показателя преломления, принято называть функциональную зависимость угловой частоты от волнового числа дисперсионным соотношением . Для частиц это означает знание энергии как функции количества движения.

Волны и оптика [ править ]

Название «дисперсионное соотношение» пришло из оптики . Можно сделать эффективную скорость света зависимой от длины волны, заставив свет проходить через материал, который имеет непостоянный показатель преломления , или используя свет в неоднородной среде, такой как волновод . В этом случае форма волны будет растягиваться во времени, так что узкий импульс станет расширенным импульсом, то есть будет рассредоточенным. В этих материалах известна как групповая скорость ^[2] и соответствует скорости, с которой распространяется пик импульса, значение, отличное от фазовой скорости . ^[3]${\displaystyle {\frac {\partial \omega }{\partial k}}}$

Волны на глубине [ править ]

Дисперсионное соотношение для глубоководных волн часто записывается как

${\displaystyle \omega ={\sqrt {gk}},}$

где g - ускорение свободного падения. В этом отношении под глубокой водой обычно понимают тот случай, когда глубина воды больше половины длины волны. ^[4] В этом случае фазовая скорость равна

${\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{k}}={\sqrt {\frac {g}{k}}},}$

а групповая скорость равна

${\displaystyle v_{g}={\frac {d\omega }{dk}}={\frac {1}{2}}v_{p}.}$

Волны на веревке [ править ]

Для идеальной струны дисперсионное соотношение можно записать как

${\displaystyle \omega =k{\sqrt {\frac {T}{\mu }}},}$

где T - сила натяжения в струне, а μ - масса струны на единицу длины. Что касается электромагнитных волн в вакууме, идеальные струны, таким образом, являются недисперсионной средой, то есть фазовая и групповая скорости равны и независимы (в первом порядке) от частоты колебаний.

Для неидеальной струны, где учитывается жесткость, дисперсионное соотношение записывается как

${\displaystyle \omega ^{2}={\frac {T}{\mu }}k^{2}+\alpha k^{4},}$

где - константа, зависящая от строки.${\displaystyle \alpha }$

Твердотельный [ править ]

При изучении твердых тел первостепенное значение имеет изучение закона дисперсии электронов. Периодичность кристаллов означает, что для данного импульса возможно множество уровней энергии , а некоторые энергии могут быть недоступны при любом импульсе. Совокупность всех возможных энергий и импульсов называется зонной структурой материала. Свойства зонной структуры определяют, является ли материал изолятором , полупроводником или проводником .

Фононы [ править ]

Фононы для звуковых волн в твердом теле - это то же самое, что фотоны для света: они являются квантами, которые их переносят. Закон дисперсии фононов также нетривиален и важен, поскольку он напрямую связан с акустическими и тепловыми свойствами материала. Для большинства систем фононы можно разделить на два основных типа: те, чьи полосы становятся равными нулю в центре зоны Бриллюэна , называются акустическими фононами , поскольку они соответствуют классическому звуку в пределе длинных волн. Остальные - оптические фононы , так как они могут возбуждаться электромагнитным излучением.

Электронная оптика [ править ]

С электронами высокой энергии (например, 200 кэВ, 32 фДж) в просвечивающем электронном микроскопе энергетическая зависимость линий зоны Лауэ высшего порядка (HOLZ) в картинах дифракции электронов сходящимся пучком (CBED) позволяет, по сути, напрямую изображение поперечных сечений трехмерной дисперсионной поверхности кристалла . ^[5] Этот динамический эффект нашел применение в точном измерении параметров решетки, энергии пучка и, в последнее время, в электронной промышленности: деформации решетки.

История [ править ]

Исаак Ньютон изучал преломление в призмах, но не смог распознать материальную зависимость дисперсионного соотношения, отвергнув работу другого исследователя, чьи измерения дисперсии призмы не совпадали с собственными измерениями Ньютона. ^[6]

Рассеяние волн на воде изучал Пьер-Симон Лаплас в 1776 году ^[7].

Универсальность соотношений Крамерса – Кронига (1926–27) стала очевидной в последующих работах о связи дисперсионного соотношения с причинностью в теории рассеяния всех типов волн и частиц. ^[8]

См. Также [ править ]

• Эллипсометрия
• Ультракороткий импульс

Ссылки [ править ]

Внешние ссылки [ править ]

• Плакат по моделированию CBED для визуализации поверхностей рассеяния, автор Андрей Чувилин и Юте Кайзер.
• Калькулятор угловой частоты