Отношения Крамерса – Кронига представляют собой двунаправленные математические отношения, соединяющие действительную и мнимую части любой комплексной функции , аналитической в верхней полуплоскости . Эти соотношения часто используются для вычисления действительной части из мнимой части (или наоборот) функций отклика в физических системах , потому что для стабильных систем причинность подразумевает условие аналитичности, и, наоборот, аналитичность подразумевает причинность соответствующей стабильной физической системы. . [1] Отношения названы в честь Ральфа Кронига иГанс Крамерс . [2] [3] В математике эти отношения известны под названиями теорема Сохоцкого – Племеля и преобразование Гильберта .
Формулировка
Позволять быть сложной функцией комплексной переменной , где а также являются реальными . Предположим , что эта функция является аналитической в замкнутой верхней полуплоскости из и исчезает быстрее, чем в виде . Возможны и несколько более слабые условия. Соотношения Крамерса – Кронига даются формулами
а также
где обозначает главное значение Коши . Таким образом, действительная и мнимая части такой функции не являются независимыми, и полная функция может быть восстановлена с учетом только одной из ее частей.
Вывод
Доказательство начинается с применения теоремы Коши о вычетах для комплексного интегрирования. Для любой аналитической функции в закрытой верхней полуплоскости функция где реально будет также аналитично в верхней половине плоскости. Следовательно, теорема о вычетах утверждает, что
для любого замкнутого контура в пределах этой области. Выбираем контур для прорисовки действительной оси, горб над полюсом в точке, и большой полукруг в верхней полуплоскости. Затем мы разлагаем интеграл на его вклады по каждому из этих трех сегментов контура и передаем их до пределов. Длина полукруглого сегмента увеличивается пропорционально, но интеграл по нему в пределе обращается в нуль, поскольку исчезает быстрее, чем . У нас остались отрезки вдоль действительной оси и полукруг вокруг полюса. Обнуляем размер полукруга и получаем
Второй член в последнем выражении получен с помощью теории вычетов [4], а точнее теоремы Сохоцкого – Племеля . Переставив, мы приходим к компактной форме соотношений Крамерса – Кронига:
Сингл в знаменателе будет осуществлять связь между действительной и мнимой составляющими. Наконец, разделить и уравнение на их действительную и мнимую части, чтобы получить указанные выше формы.
Физическая интерпретация и альтернативная форма
Мы можем применить формализм Крамерса – Кронига к функциям отклика . В определенных линейных физических системах или в технических областях, таких как обработка сигналов , функция отклика описывает, как некоторое зависящее от времени свойство физической системы реагирует на импульс силы вовремя Например, может быть угол из маятника иприложенная сила двигателя, приводящего в движение маятник. Ответ должен быть равен нулю для поскольку система не может реагировать на силу до ее применения. Можно показать (например, используя теорему Титчмарша ), что из этого условия причинности следует, что преобразование Фурье из аналитична в верхней полуплоскости. [5] Кроме того, если мы подвергаем систему воздействию колебательной силы с частотой, намного превышающей ее наивысшую резонансную частоту, у системы почти не будет времени на реакцию до того, как сила изменит направление, и поэтому частотная характеристика будет сходиться к нулю при становится очень большим. Из этих физических соображений мы видим, что обычно удовлетворяет условиям, необходимым для применения соотношений Крамерса – Кронига.
Мнимая часть функции отклика описывает, как система рассеивает энергию , поскольку она находится в фазе с движущей силой . Соотношения Крамерса – Кронига подразумевают, что наблюдения за диссипативным откликом системы достаточно, чтобы определить его противофазный (реактивный) отклик, и наоборот.
Интегралы начинаются с к , подразумевая, что мы знаем отклик на отрицательных частотах. К счастью, в большинстве физических систем положительная частотная характеристика определяет отрицательную частотную характеристику, потому что является преобразованием Фурье действительного ответа . В дальнейшем мы будем делать это предположение.
Как следствие, . Это означаетявляется четной функцией частоты иявляется нечетным .
Используя эти свойства, мы можем свернуть диапазоны интегрирования до . Рассмотрим первое соотношение, которое дает действительную часть. Преобразуем интеграл в интеграл определенной четности, умножив числитель и знаменатель подынтегрального выражения на и отделяя:
С нечетно, второй интеграл обращается в нуль, и остается
Тот же вывод для мнимой части дает
Это соотношения Крамерса – Кронига в форме, которая полезна для физически реалистичных функций отклика.
Связанное доказательство из временной области
Ху [6] и Холл и Хек [7] дают родственное и, возможно, более интуитивное доказательство, которое избегает контурного интегрирования. Он основан на следующих фактах:
- Причинно-импульсная реакция может быть выражена как сумма четной функции и нечетной функции, где нечетная функция - это четная функция, умноженная на знаковую функцию .
- Четная и нечетная части сигнала во временной области соответствуют действительной и мнимой частям его интеграла Фурье, соответственно.
- Умножение на сигнум-функцию во временной области соответствует преобразованию Гильберта (то есть свертке по ядру Гильберта) в частотной области.
Комбинируя формулы, полученные на основе этих фактов, получаем соотношения Крамерса – Кронига. Это доказательство несколько отличается от предыдущего в том смысле, что оно связывает действительную и мнимую части в частотной области любой функции, которая является причинной во временной области, предлагая подход, несколько отличный от условия аналитичности в верхней полуплоскости частотная область.
Также доступна статья с неофициальной иллюстрацией этого доказательства. [8]
Величина (усиление) - фазовая зависимость
Традиционная форма Крамерса – Кронига, приведенная выше, связывает действительную и мнимую части сложной функции отклика. Связанная с этим цель - найти связь между величиной и фазой сложной функции отклика.
В общем, к сожалению, фазу нельзя однозначно предсказать по величине. [9] Простым примером этого является чистая временная задержка времени T, которая имеет амплитуду 1 на любой частоте независимо от T, но имеет фазу, зависящую от T (в частности, фаза = 2π × T × частота).
Существует, однако, уникальные амплитудно-фазовые соотношения в частном случае минимальных фазовой системы, [9] иногда называют коэффициент усиления соотношения фаз Бода . Термины Байярд-Боде отношения и теорема Байярд-Боде , после работ Марселя Баярд (1936) и Хендрик Wade Боде (1945) также используются либо для отношений Kramers-Кронига в целом или амплитудно-фазовых соотношений , в частности, в частности , в области телекоммуникаций и теории управления . [10] [11]
Приложения в физике
Комплексный показатель преломления
Соотношения Крамерса – Кронига используются для связи действительной и мнимой частей комплексного показателя преломления. среды, где - коэффициент экстинкции . [12] Следовательно, по сути, это также относится к комплексной относительной диэлектрической проницаемости и электрической восприимчивости . [13]
Оптическая активность
Соотношения Крамерса – Кронига устанавливают связь между оптической вращательной дисперсией и круговым дихроизмом .
Магнитооптика
Соотношения Крамерса – Кронига позволяют получить точные решения нетривиальных задач рассеяния, которые находят приложения в магнитооптике. [14]
Электронная спектроскопия
В спектроскопии потерь энергии электронов анализ Крамерса-Кронига позволяет рассчитать энергетическую зависимость как действительной, так и мнимой частей оптической проницаемости света образца , а также других оптических свойств, таких как коэффициент поглощения и отражательная способность . [15]
Короче говоря, измеряя количество электронов с высокой энергией (например, 200 кэВ), которые теряют заданное количество энергии при прохождении через очень тонкий образец (приближение однократного рассеяния), можно вычислить мнимую часть диэлектрической проницаемости при этой энергии. Используя эти данные с анализом Крамерса – Кронига, можно также вычислить реальную часть диэлектрической проницаемости (как функцию энергии).
Это измерение производится с помощью электронов, а не света, и может быть выполнено с очень высоким пространственным разрешением. Таким образом, можно, например, искать полосы поглощения ультрафиолета (УФ) в лабораторном образце межзвездной пыли диаметром менее 100 нм, то есть слишком малом для УФ-спектроскопии. Хотя электронная спектроскопия имеет более низкое энергетическое разрешение, чем световая спектроскопия , данные о свойствах в видимом, ультрафиолетовом и мягком рентгеновском диапазонах спектра могут быть зарегистрированы в одном и том же эксперименте.
В фотоэмиссионной спектроскопии с угловым разрешением соотношения Крамерса – Кронига можно использовать для связи действительной и мнимой частей собственной энергии электронов . Это характерно для многочастичного взаимодействия, которое электрон испытывает в материале. Яркими примерами являются высокотемпературные сверхпроводники , где наблюдаются изломы, соответствующие реальной части собственной энергии, в дисперсии зон, а также наблюдаются изменения ширины MDC, соответствующие мнимой части собственной энергии. [16]
Адронное рассеяние
Соотношения Крамерса – Кронига также используются под названием «интегральные дисперсионные соотношения» применительно к адронному рассеянию. [17] В данном случае функцией является амплитуда рассеяния. Затем с помощью оптической теоремы мнимая часть амплитуды рассеяния соотносится с полным поперечным сечением , которое является физически измеримой величиной.
Геофизика
Для распространения сейсмических волн соотношение Крамера – Кронига помогает найти правильную форму для добротности в затухающей среде. [18]
Смотрите также
- Дисперсия (оптика)
- Функция линейного отклика
- Численно-аналитическое продолжение
Рекомендации
Цитаты
- ^ Джон С. Толл (1956). «Причинность и дисперсионная связь: логические основы». Физический обзор . 104 (6): 1760–1770. Bibcode : 1956PhRv..104.1760T . DOI : 10.1103 / PhysRev.104.1760 .
- ^ Р. де Л. Крониг (1926). «К теории рассеяния рентгеновских лучей». J. Opt. Soc. Am . 12 (6): 547–557. DOI : 10.1364 / JOSA.12.000547 .
- ^ HA Kramers (1927). "La diffusion de la lumière par les atomes". Atti Cong. Междунар. Физичи, (Труды Конгресса столетия Вольты) Комо . 2 : 545–557.
- ^ Г. Арфкен (1985). Математические методы для физиков . Орландо: Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.
- ^ Джон Дэвид Джексон (1999). Классическая электродинамика . Вайли. С. 332–333 . ISBN 0-471-43132-X.
- ^ Ху, Бен Ю-Куанг (1989-09-01). «Крамерс – Крониг в двух строках». Американский журнал физики . 57 (9): 821. Bibcode : 1989AmJPh..57..821H . DOI : 10.1119 / 1.15901 . ISSN 0002-9505 .
- ^ Стивен Х. Холл; Говард Л. Хек. (2009). Улучшенная целостность сигнала для высокоскоростных цифровых проектов . Хобокен, Нью-Джерси: Уайли. С. 331–336. ISBN 978-0-470-19235-1.
- ^ Колин Уорвик. «Понимание отношения Крамерса – Кронига с помощью наглядного доказательства» (PDF) .
- ^ а б Джон Бечхофер (2011). «Крамерс – Крониг, Боде и смысл нуля». Американский журнал физики . 79 (10): 1053–1059. arXiv : 1107.0071 . Bibcode : 2011AmJPh..79.1053B . DOI : 10.1119 / 1.3614039 . S2CID 51819925 .
- ^ Эрве Сизун (30 марта 2006 г.). Распространение радиоволн для телекоммуникационных приложений . Bibcode : 2004rwpt.book ..... S . ISBN 9783540266686.
- ^ Мария М. Серон, Хулио Х. Браславский, Грэм С. Гудвин (1997). Основные ограничения фильтрации и контроля (PDF) . п. 21.CS1 maint: использует параметр авторов ( ссылка )
- ^ Фокс, Марк (2010). Оптические свойства твердых тел (2-е изд.). Издательство Оксфордского университета . п. 44-46. ISBN 978-0199573370.
- ^ Орфанидис, Софокл Дж. (2016). Электромагнитные волны и антенны . п. 27-29.
- ^ Чен Сун; Николай Анатольевич Синицын (2015). «Точные переходные вероятности для линейной развертки через резонанс Крамерса-Кронига». J. Phys. A: Математика. Теор . 48 (50): 505202. arXiv : 1508.01213 . Bibcode : 2015JPhA ... 48X5202S . DOI : 10.1088 / 1751-8113 / 48/50/505202 . S2CID 118437244 .
- ^ РФ Эгертон (1996). Спектроскопия потерь энергии электронов в электронном микроскопе (2-е изд.). Нью-Йорк: Пленум Пресс. ISBN 0-306-45223-5.
- ^ Андреа Дамаскелли (2003). «Фотоэмиссионные исследования купратных сверхпроводников с угловым разрешением». Ред. Мод. Phys . 75 (2): 473–541. arXiv : cond-mat / 0208504 . Bibcode : 2003RvMP ... 75..473D . DOI : 10.1103 / RevModPhys.75.473 . S2CID 118433150 .
- ^ Блок ММ; Р. Н. Кан (1985). «Высокоэнергетическое pp̅- и pp-упругое рассеяние вперед и полные сечения» . Ред. Мод. Phys . 57 (2): 563–598. Bibcode : 1985RvMP ... 57..563B . DOI : 10.1103 / RevModPhys.57.563 .
- ^ Футтерман, Уолтер И. (1962). «Волны дисперсного тела». Журнал геофизических исследований . 67 (13): 5279–5291. Bibcode : 1962JGR .... 67.5279F . DOI : 10.1029 / JZ067i013p05279 .
Источники
- Мансур Шейк-Бахае (2005). "Основы нелинейной оптики. Соотношения Крамерса – Кронига в нелинейной оптике". В Роберте Д. Гюнтере (ред.). Энциклопедия современной оптики . Амстердам: Academic Press. ISBN 0-12-227600-0.
- Валерио Лукарини; Яркко Й. Сааринен; Кай-Эрик Пейпонен; Эрик М. Вартиайнен (2005). Соотношения Крамерса-Кронига в исследованиях оптических материалов . Гейдельберг: Springer. Bibcode : 2005kkro.book ..... L . ISBN 3-540-23673-2.
- Фредерик В. Кинг (2009). «19–22». Преобразования Гильберта . 2 . Кембридж: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-51720-1.
- Дж. Д. Джексон (1975). «раздел 7.10». Классическая электродинамика (2-е изд.). Нью-Йорк: Вили. ISBN 0-471-43132-X.