Теорема Сохоцкого-Племель (польск написание Sochocki ) является теоремой в комплексном анализе , который помогает в оценке некоторых интегралов. Его реальная версия ( см. Ниже ) часто используется в физике, хотя и редко упоминается по имени. Теорема названа в честь Джулиана Сохоцкого , который доказал ее в 1868 году, и Иосипа Племеля , который заново открыл ее в качестве основного компонента своего решения проблемы Римана – Гильберта в 1908 году.
Формулировка теоремы
Пусть C - гладкая замкнутая простая кривая на плоскости ианалитическая функция на C . Отметим, что интеграл типа Коши
не могут быть оценены для любого г на кривой C . Однако на внутренней и внешней стороне кривой интеграл дает аналитические функции, которые мы будем обозначатьвнутри C иза пределами. Формулы Сохоцкого – Племеля связывают предельные граничные значения этих двух аналитических функций в точке z на C и главное значение Коши интеграла:
Последующие обобщения ослабляют требования гладкости кривой C и функции φ .
Версия для реальной линии
Особенно важен вариант для интегралов по действительной прямой.
Пусть f - комплекснозначная функция, определенная и непрерывная на вещественной прямой, и пусть a и b - вещественные константы с. потом
где обозначает главное значение Коши . (Обратите внимание, что в этой версии не используется аналитичность.)
Особенно важное следствие этого получается, если взять f в качестве дельта-функции Дирака :
Доказательство реальной версии
Простое доказательство состоит в следующем.
Для первого члена отметим, что ε ⁄ π ( x 2 + ε 2 ) является возникающей дельта-функцией и, следовательно, приближается к дельта-функции Дирака в пределе. Следовательно, первый член равен ∓ i π f (0).
Для второго члена отметим, что множитель x 2 ⁄ ( x 2 + ε 2 ) приближается к 1 для | х| ≫ ε, стремится к 0 при | х| ≪ ε и точно симметричен относительно 0. Следовательно, в пределе он превращает интеграл в интегралКоши с главным значением.
Для простого доказательства сложной версии формулы и версии для полидоменов см .: Mohammed, Alip (февраль 2007 г.). "Проблема Римана, связанная с тором". Журнал математического анализа и приложений . 326 (1): 533–555. DOI : 10.1016 / j.jmaa.2006.03.011 .
Приложение по физике
В квантовой механике и квантовой теории поля часто приходится вычислять интегралы вида
где E - некоторая энергия, а t - время. Это выражение в том виде, в каком оно написано, не определено (поскольку интеграл по времени не сходится), поэтому его обычно модифицируют, добавляя отрицательный действительный коэффициент к t в экспоненте, а затем обнуляя его, т.
где на последнем шаге используется реальная версия теоремы.
Смотрите также
- Сингулярные интегральные операторы на замкнутых кривых (учет теоремы Сохоцкого – Племеля для единичной окружности и замкнутой жордановой кривой)
- Отношения Крамерса – Кронига
- Преобразование Гильберта
Рекомендации
- Вайнберг, Стивен (1995). Квантовая теория полей, Том 1: Основы . Cambridge Univ. Нажмите. ISBN 0-521-55001-7. Глава 3.1.
- Мерцбахер, Ойген (1998). Квантовая механика . ISBN Wiley, John & Sons, Inc. 0-471-88702-1. Приложение A, уравнение (A.19).
- Хенрици, Питер (1986). Прикладной и вычислительный комплексный анализ, т. 3 . Willey, John & Sons, Inc.
- Племель, Иосип (1964). Проблемы в смысле Римана и Клейна . Нью-Йорк: Издательство Interscience.
- Гахов Ф. Д. Краевые задачи. Перепечатка перевода 1966 года , Dover Publications, ISBN 0-486-66275-6
- Мусхелишвили, Н.И. (1949). Сингулярные интегральные уравнения, краевые задачи теории функций и их приложения к математической физике . Мельбурн: Департамент снабжения и развития лабораторий авиационных исследований.
- Бланшар, Брюнинг: математические методы в физике (Биркхаузер, 2003), пример 3.3.1 4
- Сохоцкий Ю.В. (1873). Об определенных интегралах и функциях, используемых в разложениях в ряды . Санкт-Петербург.