В математике , Риман-Гильберт проблема , названная в честь Бернхарда Римана и Давида Гильберта , представляют собой класс проблем, возникающие при изучении дифференциальных уравнений в комплексной плоскости . Несколько теорем существования для проблем Римана – Гильберта были получены Марком Крейном , Израилем Гохбергом и другими (см. Книгу Кланси и Гохберга (1981)).
Проблема Римана
Предположим, что представляет собой замкнутый простой контур на комплексной плоскости, делящий плоскость на две части, обозначенные (внутри) и (снаружи), определяемый индексом контура относительно точки. Классическая проблема, рассмотренная в докторской диссертации Римана (см. Pandey (1996) ), заключалась в нахождении функции
аналитический внутри такие, что граничные значения M + вдоль удовлетворяют уравнению
для всех , где a , b и c - заданные действительные функции ( Бицадзе 2001 ) .
По теореме Римана об отображении достаточно рассмотреть случай, когдаявляется единичной окружностью ( Pandey 1996 , §2.2). В этом случае можно искать M + ( z ) вместе с его отражением Шварца :
На единичной окружности Σ имеем , и другие
Следовательно, проблема сводится к нахождению пары функций M + ( z ) и M - ( z ), аналитических соответственно внутри и снаружи единичного круга, так что на единичной окружности
и, более того, чтобы выполнялось условие на бесконечности:
Проблема Гильберта
Обобщение Гильберта заключалось в рассмотрении проблемы попытки найти M + и M - аналитические, соответственно, внутри и снаружи кривой Σ, такие, что на надо
где α, β и c - произвольные заданные комплекснозначные функции (уже не просто комплексно сопряженные).
Проблемы Римана – Гильберта
В задаче Римана, а также в обобщении Гильберта контур было просто. Полная задача Римана – Гильберта позволяет составить контур из объединения нескольких ориентированных гладких кривых без пересечений. Стороны + и - «контура» затем могут быть определены в соответствии с индексом точки по отношению к. Проблема Римана – Гильберта состоит в том, чтобы найти пару функций, M + и M -, аналитических, соответственно, на стороне + и -, с учетом уравнения
для всех z ∈ Σ.
Обобщение: проблемы факторизации
Дан ориентированный «контур» Σ (технически: ориентированное объединение гладких кривых без точек бесконечного самопересечения в комплексной плоскости). Факторизация Биркгофу проблема заключается в следующем.
Для данной матричной функции V, определенной на контуре Σ, найти голоморфную матричную функцию M, определенную на дополнении к Σ, такую, что выполняются два условия:
- Если M + и M - обозначают не касательные пределы M по мере приближения к Σ, то M + = M - V во всех точках непересечения в Σ.
- Поскольку z стремится к бесконечности вдоль любого направления вне Σ, M стремится к единичной матрице .
В простейшем случае V гладкое и интегрируемое. В более сложных случаях могут быть особенности. Пределы М + и М - могут быть классическими и непрерывными или они могут быть приняты в L 2 смысла.
Приложения к теории интегрируемости
Проблемы Римана – Гильберта имеют приложения к нескольким родственным классам проблем.
- А. Интегрируемые модели
- Обратное рассеяние или обратной спектральной задача , связанная с задачами Кошей для 1 + 1 одномерных дифференциальных уравнений на линии, или периодические задачи, или даже начально-краевой ( Фокас (2002) ), может быть сформулировано как Риман –Проблема Гильберта. Точно так же обратная проблема монодромии для уравнений Пенлеве может быть сформулирована как проблема Римана – Гильберта.
- Б. Ортогональные многочлены , случайные матрицы
- Учитывая вес на контуре, соответствующие ортогональные многочлены могут быть вычислены с помощью решения проблемы факторизации Римана – Гильберта ( Fokas, Its & Kitaev (1992) ). Кроме того, распределение собственных значений случайных матриц в нескольких классических ансамблях сводится к вычислениям с использованием ортогональных многочленов (см., Например, Deift (1999) ).
- C. Комбинаторная вероятность
- Самый известный пример - теорема Байка, Дейфта и Йоханссона (1999) о распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайной перестановки. Вместе с изучением B выше, это одно из первых строгих исследований так называемой «интегрируемой вероятности». Но связь между теорией интегрируемости и различными классическими ансамблями случайных матриц восходит к работам Дайсона (например, Дайсон (1976) ).
Численный анализ задач Римана – Гильберта может обеспечить эффективный способ численного решения интегрируемых уравнений в частных производных , см., Например ,. Трогдон и Олвер (2016).
Использование для асимптотических решений
В частности, задачи факторизации Римана – Гильберта используются для извлечения асимптотических значений для трех вышеперечисленных задач (скажем, когда время стремится к бесконечности, или когда коэффициент дисперсии стремится к нулю, или когда степень полинома стремится к бесконечности, или когда размер перестановки уходит в бесконечность). Существует метод извлечения асимптотики решений задач Римана – Гильберта, аналогичный методу стационарной фазы и методу наискорейшего спуска, применимому к экспоненциальным интегралам.
По аналогии с классическими асимптотическими методами, "деформируют" проблемы Римана – Гильберта, которые не решаются явно, в проблемы, которые являются решаемыми. Так называемый «нелинейный» метод стационарной фазы разработан Deift & Zhou (1993) , развивая предыдущую идею Its (1982) и Manakov (1979). . Важнейшим элементом анализа Дейфта – Чжоу является асимптотический анализ сингулярных интегралов на контурах.
Существенным расширением нелинейного метода стационарной фазы стало введение Дейфтом, Венакидесом и Чжоу (1997) так называемого конечнозонного преобразования g-функции , которое сыграло решающую роль в большинстве приложений. Это было вдохновлено работой Лакса, Левермора и Венакидеса, которые свели анализ предела малой дисперсии уравнения КдФ к анализу задачи максимизации для логарифмического потенциала в некотором внешнем поле: вариационной задаче «электростатического» типа. G-функция - это логарифмическое преобразование максимальной «равновесной» меры. Анализ предела малой дисперсии уравнения КдФ фактически послужил основой для анализа большей части работ, касающихся «реальных» ортогональных многочленов (то есть с условием ортогональности, определенным на действительной прямой) и эрмитовых случайных матриц.
Возможно, наиболее изощренным расширением теории до сих пор является тот, который применялся к «несамосопряженному» случаю, то есть когда основной оператор Лакса (первый компонент пары Лакса ) не самосопряжен , по Камвиссису, Маклафлину и Миллер (2003) . В этом случае определяются и вычисляются фактические «изолинии наискорейшего спуска». Соответствующая вариационная задача - задача max-min: ищется контур, который минимизирует «равновесную» меру. Исследование вариационной задачи и доказательство существования регулярного решения при некоторых условиях на внешнее поле было выполнено в Kamvissis & Rakhmanov (2005) ; Возникающий контур представляет собой «S-образную кривую», как определено и изучено в 1980-х годах Гербертом Р. Шталем, Андреем А. Гончаром и Евгением А. Рахмановым.
Альтернативный асимптотический анализ проблем факторизации Римана – Гильберта представлен в McLaughlin & Miller (2006) , что особенно удобно, когда матрицы скачков не имеют аналитических расширений. Их метод основан на анализе задач d-стержня, а не на асимптотическом анализе сингулярных интегралов на контурах. Альтернативный способ работы с матрицами скачков без аналитических расширений был предложен Варзугиным (1996) .
Другое расширение теории появилось в работе Kamvissis & Teschl (2012), где пространством, лежащим в основе проблемы Римана – Гильберта, является компактная гиперэллиптическая риманова поверхность. Проблема правой факторизации больше не голоморфна, а скорее мероморфна в силу теоремы Римана – Роха . Теория деформации задачи Римана – Гильберта применяется к проблеме устойчивости бесконечной периодической цепочки Тоды к «короткодействующему» возмущению (например, возмущению конечного числа частиц).
Большинство проблем факторизации Римана – Гильберта, изучаемых в литературе, являются двумерными, т. Е. Неизвестные матрицы имеют размерность 2. Проблемы более высокой размерности изучались Арно Куйлаарсом и его сотрудниками, см., Например, Kuijlaars & López (2015) .
Пример: скалярная проблема факторизации Римана – Гильберта
Предположим, что V = 2 и Σ - контур от z = −1 до z = 1. Каково решение M ?
Чтобы решить эту проблему, возьмем логарифм уравнения.
Поскольку M стремится к 1, log M → 0 при z → ∞.
Стандартный факт о преобразовании Коши состоит в том, что где - пределы преобразования Коши сверху и снизу Σ; следовательно, мы получаем
Поскольку решение M проблемы факторизации Римана – Гильберта единственно (простое применение теоремы Лиувилля (комплексный анализ) ), теорема Сохоцкого – Племеля дает решение. Мы получили
т.е.
который имеет срезанную ветвь по контуру .
Проверять:
следовательно,
ПРЕДОСТЕРЕЖЕНИЕ: Если проблема не скалярная, логарифм невозможен. Вообще явные решения очень редки.
Рекомендации
- Baik, J .; Deift, P .; Йоханссон, К. (1999), «О распределении длины самой длинной возрастающей подпоследовательности случайных перестановок» , Журнал Американского математического общества , 12 (4): 1119–1178, DOI : 10.1090 / S0894-0347-99 -00307-0.
- Бицадзе, А.В. (2001) [1994], "Краевые задачи теории аналитических функций" , Энциклопедия математики , EMS Press
- Clancey, K .; Гохберг И. Факторизация матричных функций и сингулярные интегральные операторы (1981) // Опер. Теория: достижения и применение, 3 , Базель-Бостон-Штутгарт: Birkhäuser Verlag.
- Дейфт, Перси А. (2000), Ортогональные многочлены и случайные матрицы , Американское математическое общество , ISBN 978-0-8218-2695-9.
- Deift, Перси; Venakides, S .; Чжоу, X. (1997), Новые результаты в KdV с малой дисперсией путем расширения метода наискорейшего спуска для задач Римана – Гильберта , International Mathematical Research Notices, стр. 286–299.
- Deift, Перси ; Чжоу, X. (1993), "Метод наискорейшего спуска для колебательных задач Римана – Гильберта; асимптотика для уравнения MKdV", Annals of Mathematics , Second Series, 137 (2): 295–368, arXiv : math / 9201261 , doi : 10.2307 / 2946540 , JSTOR 2946540.
- Дайсон, Фриман (1976), "Определители Фредгольма и обратные задачи рассеяния", Сообщения по математической физике , 47 (3): 171–183.
- Фокас, А.С. (2002), "Интегрируемые нелинейные эволюционные уравнения на полупрямой", Сообщения по математической физике , 230 (1): 1–39.
- Fokas, AS; Its, AR; Китаев, А.В. (1992), "Изомонодромный подход к матричным моделям в двумерной квантовой гравитации", Сообщения по математической физике , 147 (2): 395–430.
- Химшиашвили, Г. (2001) [1994], "Факторизация Биркгофа" , Энциклопедия математики , EMS Press.
- Итс, А.Р. (1982), "Асимптотика решений нелинейного уравнения Шредингера и изомонодромные деформации систем линейных дифференциальных уравнений", Советская математика - Доклады , 24 (3): 14–18.
- Its, AR (2003), "Проблема Римана – Гильберта и интегрируемые системы" (PDF) , Notices of the AMS , 50 (11): 1389–1400.
- Kamvissis, S .; McLaughlin, K .; Миллер П. (2003), Полуклассические солитонные ансамбли для фокусирующего нелинейного уравнения Шредингера , Annals of Mathematics, Princeton: Princeton University Press.
- Kamvissis, S .; Рахманов, Е.А. (2005), "Существование и регулярность проблемы максимизации энергии в двух измерениях", Журнал математической физики , 46 (8): 083505, arXiv : 0907.5571 , Bibcode : 2005JMP .... 46h3505K , doi : 10.1063 / 1,1985069.
- Kamvissis, S .; Тешл, Г. (2012), "Долговременная асимптотика периодической цепочки Тоды при короткодействующих возмущениях", J. Math. Phys. , 53 (7): 073706, arXiv : 0705.0346 , Bibcode : 2012JMP .... 53g3706K , doi : 10.1063 / 1.4731768.
- Куйлаарс, Арно; Лопес, Абей (2015), «Задача о векторном равновесии для модели нормальной матрицы и множественные ортогональные многочлены на звезде», Нелинейность , 28 (2): 347–406, arXiv : 1401.2419 , Bibcode : 2015Nonli..28 .. 347k , DOI : 10,1088 / 0951-7715 / 28 / 2/347.
- Лакс, Питер Д .; Levermore, компакт - диск (1983), "нулевая дисперсия Предел для уравнения КдФа I-III", Коммуникации на чистую и прикладную математике , 36 (3): 253-290, 571-593, 809-829, DOI : 10.1002 / СР .3160360302.
- Манаков С.В. Нелинейная дифракция фрауннгофера . Phys. ЖЭТФ , 38 : 693–696, Bibcode : 1974JETP ... 38..693M.
- McLaughlin, K .; Миллер, П. (2006), «Метод наискорейшего спуска с d-образным стержнем и асимптотическое поведение многочленов, ортогональных на единичной окружности, с фиксированными и экспоненциально изменяющимися неаналитическими весами», IMRP : 1–77.
- Панди, Дж. Н. (1996), Преобразование Гильберта распределений и приложений Шварца , Wiley-Interscience.
- Варзугин, Г.Г. (1996), "Асимптотика колебательных задач Римана-Гильберта", Журнал математической физики , 37 (11): 5869–5892, doi : 10.1063 / 1.531706.
- Трогдон, Томас; Олвер, Шихан (2016), Проблемы Римана – Гильберта, их численное решение и вычисление нелинейных специальных функций , SIAM.
Внешние ссылки
- Гахов, Ф.Д. (2001) [1994], "Проблема Римана – Гильберта" , Энциклопедия математики , EMS Press