В математике , то метод стационарной фазы является основным принципом асимптотического анализа , применяя к пределу.
Этот метод восходит к XIX веку и принадлежит Джорджу Габриэлю Стоуксу и лорду Кельвину . [1] Он тесно связан с методом Лапласа и методом наискорейшего спуска , но вклад Лапласа опережает другие.
Основы
Основная идея методов стационарной фазы заключается в устранении синусоид с быстро меняющейся фазой. Если у многих синусоид есть одна и та же фаза, и они складываются вместе, они складываются конструктивно. Если, однако, те же самые синусоиды имеют фазы, которые быстро меняются при изменении частоты, они будут складываться бессвязно, варьируя между конструктивным и деструктивным сложением в разное время.
Формула
Сдача обозначим множество критических точек функции (т.е. точки, где ), в предположении, что либо имеет компактный носитель, либо экспоненциально убывает, и что все критические точки невырождены (т. е. для ) имеем следующую асимптотическую формулу: :
Здесь обозначает гессианом из, а также обозначает сигнатуру гессиана, то есть количество положительных собственных значений минус количество отрицательных собственных значений.
Для , это сводится к:
В этом случае предположения о сводятся к невырождению всех критических точек.
Это просто версия формулы метода наискорейшего спуска с вращением по фитилю .
Пример
Рассмотрим функцию
- .
Фазовый член в этой функции, , стационарен, когда
или эквивалентно,
- .
Решения этого уравнения дают доминирующие частоты для некоторых а также . Если мы расширимкак сериал Тейлора о и пренебречь членами порядка выше, чем , у нас есть
где обозначает вторую производную от . Когда относительно большая, даже небольшая разница будет генерировать быстрые колебания внутри интеграла, что приведет к отмене. Следовательно, мы можем расширить пределы интегрирования за пределы разложения Тейлора. Если мы воспользуемся формулой,
- .
- .
Это интегрируется в
- .
Шаги редукции
Первое крупное общее утверждение принципа вовлеченного в том , что асимптотическое поведение I ( K ) зависит только от критических точек из е . Если по выбору g интеграл локализован в области пространства, где f не имеет критической точки, результирующий интеграл стремится к 0, поскольку частота колебаний берется до бесконечности. См., Например, лемму Римана – Лебега .
Второе утверждение , что , когда F представляет собой функцию Морзе , так что особые точки F являются невырожденными и изолированы, то вопрос может быть сведен к случаю п = 1. В самом деле, то, выбор г может быть сделано для разбиения интеграла на случаи с одной критической точкой P в каждом. В этот момент, поскольку определитель Гессе в точке P по предположению не равен 0, применима лемма Морса . Изменением координат f можно заменить на
- .
Значение J дается подписью в гессенской матрице из F в P . Что же касается г , существенный является то , что случай г является продуктом столбиковых функций от й я . Теперь без ограничения общности предполагая, что P является началом координат, возьмем функцию плавного выступа h со значением 1 на интервале [-1, 1] и быстро стремящимся к 0 вне его. Брать
- ,
то теорема Фубини сводит I ( k ) к произведению интегралов по вещественной прямой, например
где f ( x ) = ± x 2 . Случай со знаком минус является комплексно сопряженным случаю со знаком плюс, поэтому, по существу, требуется одна асимптотическая оценка.
Таким образом можно найти асимптотику осциллирующих интегралов для функций Морса. Вырожденный случай требует дополнительных методов (см., Например, функцию Эйри ).
Одномерный случай
Существенное утверждение таково:
- .
Фактически, с помощью контурного интегрирования можно показать, что главный член в правой части уравнения - это значение интеграла в левой части, расширенное в диапазоне(доказательство см. в интеграле Френеля ). Следовательно, речь идет об оценке интеграла, скажем, по. [2]
Это модель для всех одномерных интегралов с участием имеющая единственную невырожденную критическую точку, в которой имеет вторую производную . Фактически, в модельном случае вторая производная 2 равна 0. Для масштабирования с использованием, обратите внимание, что замена от где константа такая же, как масштабирование от . Отсюда следует, что для общих значений, фактор становится
- .
Для один использует формулу комплексного сопряжения, как упоминалось ранее.
Условия низшего порядка
Как видно из формулы, приближение стационарной фазы является приближением первого порядка асимптотики интеграла. Члены более низкого порядка можно понимать как сумму диаграмм Фейнмана с различными весовыми коэффициентами для хорошо настроенных.
Смотрите также
Заметки
- ^ Курант, Ричард ; Гильберт, Дэвид (1953), Методы математической физики , 1 (2-е исправленное издание), Нью-Йорк: Interscience Publishers, стр. 474, OCLC 505700
- ^ См., Например, Жан Дьедонне , Исчисление бесконечно малых , стр. 119 или Жан Дьедонне , Calcul Infinitésimal , p.135 .
Рекомендации
- Блейстейн Н., Хандельсман Р. (1975), Асимптотические разложения интегралов , Довер, Нью-Йорк.
- Виктор Гийемин и Шломо Штернберг (1990), Геометрическая асимптотика , (см. Главу 1).
- Хёрмандер, Л. (1976), Линейные дифференциальные операторы с частными производными, том 1 , Springer-Verlag, ISBN 978-3-540-00662-6.
- Аки, Кейити; И Ричардс, Пол Г. (2002). "Количественная сейсмология" (2-е изд.), Стр 255–256. Университетские научные книги, ISBN 0-935702-96-2
- Вонг Р. (2001), Асимптотические приближения интегралов , Классика прикладной математики, т. 34. Исправленное перепечатание оригинала 1989 г. Общество промышленной и прикладной математики (SIAM), Филадельфия, Пенсильвания. xviii + 543 страницы, ISBN 0-89871-497-4 .
- Дьедонне, Дж. (1980), Calcul Infinitésimal , Герман, Париж
Внешние ссылки
- "Стационарная фаза, метод" , Математическая энциклопедия , EMS Press , 2001 [1994]