Интеграл Френеля

Графики

S (x)

и

C (x)

. Максимум

C (x)

составляет около0,977 451 424 . Если бы подынтегральные выражения

S

и

C

были определены с помощью

π / 2 t 2

вместо

t 2

, тогда изображение будет масштабировано по вертикали и горизонтали (см. ниже).

В Интегралах Френеля $S (х)$ и $С (х)$ две трансцендентных функций , названными в честь Френеля , которые используются в оптике и тесно связанные с функцией ошибки ( $ERF$ ). Они возникают при описании явлений дифракции Френеля в ближней зоне и определяются через следующие интегральные представления:

S(x)=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt,\quad C(x)=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt.

Одновременное параметрическое участок из $S (х)$ и $С (х)$ является клотоида (также известной как спираль Корня или клотоида). В последнее время их используют при проектировании автомобильных дорог и других инженерных сооружений. ^[1]

Определение [ править ]

Интегралы Френеля с аргументами

π / 2 t 2

вместо

t 2

сходятся к12.

Интегралы Френеля допускают следующие разложения в степенной ряд , сходящиеся для всех $x$ :

{\begin{aligned}S(x)&=\int _{0}^{x}\sin \left(t^{2}\right)\,dt&&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+3}}{(2n+1)!(4n+3)}}.\\[6px]C(x)&=\int _{0}^{x}\cos \left(t^{2}\right)\,dt&&=\sum _{n=0}^{\infty }(-1)^{n}{\frac {x^{4n+1}}{(2n)!(4n+1)}}.\end{aligned}}

Некоторые широко используемые таблицы ^[2]^[3] используют $π / 2 t 2$ вместо $t 2$ для аргумента интегралов, определяющих $S (x)$ и $C (x)$ . Это изменяет их пределы на бесконечности с $1 / 2 \cdot \sqrt π / 2$ к 1/2и длина дуги для первого витка спирали от $\sqrt 2 π$ до 2 (при $t = 2$ ). Эти альтернативные функции обычно известны как нормализованные интегралы Френеля .

Спираль Эйлера [ править ]

Спираль Эйлера

(x, y) = (C (t), S (t))

. Спираль сходится к центру отверстий на изображении, когда

t

стремится к положительной или отрицательной бесконечности.

Эйлера спираль , также известная как Корень спираль или клотоида , является кривой порождается параметрический участком из $S (т)$ против $С (т)$ . Спираль Корню была создана Мари Альфредом Корню в качестве номограммы для дифракционных расчетов в науке и технике.

Таким образом, $исходя$ из определений интегралов Френеля, бесконечно малые $dx$ и $dy$ равны:

{\begin{aligned}dx&=C'(t)\,dt=\cos \left(t^{2}\right)\,dt,\\dy&=S'(t)\,dt=\sin \left(t^{2}\right)\,dt.\end{aligned}}

Таким образом, длину спирали, измеренную от начала координат, можно выразить как

L=\int _{0}^{t_{0}}{\sqrt {dx^{2}+dy^{2}}}=\int _{0}^{t_{0}}dt=t_{0}.

То есть параметр $t$ - это длина кривой, отсчитываемая от начала координат $(0, 0)$ , а спираль Эйлера имеет бесконечную длину. Вектор $(cos (t 2), sin (t 2))$ также выражает единичный касательный вектор вдоль спирали, что дает $θ = t 2$ . Поскольку $t$ - длина кривой, кривизна $κ$ может быть выражена как

\kappa ={\frac {1}{R}}={\frac {d\theta }{dt}}=2t.

Таким образом, скорость изменения кривизны относительно длины кривой равна

{\frac {d\kappa }{dt}}={\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=2.

Спираль Эйлера обладает тем свойством, что ее кривизна в любой точке пропорциональна расстоянию по спирали, измеренному от начала координат. Это свойство делает его полезным в качестве переходной кривой в автомобильной и железнодорожной технике: если транспортное средство движется по спирали с единичной скоростью, параметр $t$ в приведенных выше производных также представляет время. Следовательно, транспортное средство, движущееся по спирали с постоянной скоростью, будет иметь постоянную скорость углового ускорения .

Отрезки спиралей Эйлера обычно включают в форму петель американских горок, чтобы сделать так называемые клотоидные петли .

Свойства [ править ]

$C (x)$ и $S (x)$ - нечетные функции от $x$ .
Асимптотика интегралов Френеля при $x \to \infty$ дается формулами:

{\begin{aligned}S(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {\operatorname {sgn} x}{2}}-\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{x{\sqrt {2\pi }}}}+{\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right),\\[6px]C(x)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\left({\frac {\operatorname {sgn} x}{2}}+\left[1+O\left(x^{-4}\right)\right]\left({\frac {\sin \left(x^{2}\right)}{x{\sqrt {2\pi }}}}-{\frac {\cos \left(x^{2}\right)}{x^{3}{\sqrt {8\pi }}}}\right)\right).\end{aligned}}

Комплексный интеграл Френеля

S (z)

Используя приведенные выше разложения в степенной ряд, интегралы Френеля могут быть расширены до области комплексных чисел , где они становятся аналитическими функциями комплексной переменной.
$C (z)$ и $S (z)$ - целые функции комплексной переменной $z$ .
Интегралы Френеля могут быть выражены с помощью функции ошибок следующим образом: ^[4]

Комплексный интеграл Френеля

C (z)

{\begin{aligned}S(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)-i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right],\\[6px]C(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1-i}{4}}\left[\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right)+i\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right)\right].\end{aligned}}

или же

{\begin{aligned}C(z)+iS(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1-i}{\sqrt {2}}}z\right),\\[6px]S(z)+iC(z)&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}}\cdot {\frac {1+i}{2}}\operatorname {erf} \left({\frac {1+i}{\sqrt {2}}}z\right).\end{aligned}}

Пределы, когда $x$ приближается к бесконечности [ править ]

Интегралы, определяющие $C (x)$ и $S (x),$ не могут быть вычислены в замкнутой форме в терминах элементарных функций , за исключением особых случаев. В пределах этих функций, $х$ обращается в бесконечность известны:

\int _{0}^{\infty }\cos \left(t^{2}\right)\,dt=\int _{0}^{\infty }\sin \left(t^{2}\right)\,dt={\frac {\sqrt {2\pi }}{4}}={\sqrt {\frac {\pi }{8}}}\approx 0.6267.

Секторный контур, используемый для вычисления пределов интегралов Френеля

Пределы $C (x)$ и $S (x),$ поскольку аргумент $x$ стремится к бесконечности, можно найти с помощью нескольких методов. В одном из них ^[5] используется контурный интеграл функции

e^{-t^{2}}

вокруг границы секторной области в комплексной плоскости, образованной положительной осью $x$ , биссектрисой первого квадранта $y = x$ с $x \geq 0$ и дугой окружности радиуса $R с$ центром в начале координат.

При стремлении $R$ к бесконечности интеграл по дуге окружности $γ 2$ стремится к $0$

\left|\int _{\gamma _{2}}e^{-t^{2}}\,dt\right|\leq \int _{\gamma _{2}}|e^{-t^{2}}|\,dt=R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\cos 2t}\,dt\leq R\int _{0}^{\frac {\pi }{4}}e^{-R^{2}\left(1-{\frac {4}{\pi }}t\right)}\,dt={\frac {\pi }{4R}}\left(1-e^{-R^{2}}\right),

где полярные координаты $Z = Re оно$ было использовано и неравенство Джордана было использовано для второго неравенства. Интеграл по действительной оси $γ 1$ стремится к полугауссовскому интегралу

\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}.

Отметим также, что поскольку подынтегральное выражение является целой функцией на комплексной плоскости, его интеграл по всему контуру равен нулю. В целом мы должны иметь

\int _{0}^{\infty }e^{-t^{2}}\,dt=\int _{\gamma _{3}}e^{-t^{2}}\,dt,

где $γ 3$ обозначает биссектрису первого квадранта, как на диаграмме. Чтобы оценить правую часть, параметризуйте биссектрису как

t=re^{i{\frac {\pi }{4}}}={\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)r

где $r$ изменяется от 0 до $+ \infty$ . Обратите внимание, что квадрат этого выражения равен $+ ir 2$ . Следовательно, подстановка дает правую часть как

\int _{0}^{\infty }e^{-ir^{2}}{\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dr.

Используя формулу Эйлера для взятия действительной и мнимой частей $e - ir 2,$ получаем это как

{\begin{aligned}&\int _{0}^{\infty }\left(\cos \left(r^{2}\right)-i\sin \left(r^{2}\right)\right){\frac {\sqrt {2}}{2}}(1+i)\,dr\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {2}}{2}}\int _{0}^{\infty }\left[\cos \left(r^{2}\right)+\sin \left(r^{2}\right)+i\left(\cos \left(r^{2}\right)-\sin \left(r^{2}\right)\right)\right]\,dr\\[6px]&\quad ={\frac {\sqrt {\pi }}{2}}+0i,\end{aligned}}

где мы написали $0 i,$ чтобы подчеркнуть, что исходное значение интеграла Гаусса полностью вещественно с нулевой мнимой частью. Сдача

I_{C}=\int _{0}^{\infty }\cos \left(r^{2}\right)\,dr,\quad I_{S}=\int _{0}^{\infty }\sin \left(r^{2}\right)\,dr

а затем приравнивание действительной и мнимой частей дает следующую систему двух уравнений с двумя неизвестными $I C$ и $I S$ :

{\begin{aligned}I_{C}+I_{S}&={\sqrt {\frac {\pi }{2}}},\\I_{C}-I_{S}&=0.\end{aligned}}

Решение этого для $I C$ и $I S$ дает желаемый результат.

Обобщение [ править ]

Интегральный

\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=\int \sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}x^{m+nl}}{l!}}\,dx=\sum _{l=0}^{\infty }{\frac {i^{l}}{(m+nl+1)}}{\frac {x^{m+nl+1}}{l!}}

является конфлюэнтной гипергеометрической функцией, а также неполной гамма-функцией ^[6]

{\begin{aligned}\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx&={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\\[6px]&={\frac {1}{n}}i^{\frac {m+1}{n}}\gamma \left({\frac {m+1}{n}},-ix^{n}\right),\end{aligned}}

который сводится к интегралам Френеля, если взять действительную или мнимую части:

\int x^{m}\sin(x^{n})\,dx={\frac {x^{m+n+1}}{m+n+1}}\,_{1}F_{2}\left({\begin{array}{c}{\frac {1}{2}}+{\frac {m+1}{2n}}\\{\frac {3}{2}}+{\frac {m+1}{2n}},{\frac {3}{2}}\end{array}}\mid -{\frac {x^{2n}}{4}}\right)

.

Главный член асимптотического разложения равен

_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}{\frac {m+1}{n}}\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid ix^{n}\right)\sim {\frac {m+1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}x^{-m-1},

и поэтому

\int _{0}^{\infty }x^{m}e^{ix^{n}}\,dx={\frac {1}{n}}\,\Gamma \left({\frac {m+1}{n}}\right)e^{i\pi {\frac {m+1}{2n}}}.

В частности, при $m = 0$ мнимая часть этого уравнения имеет вид

\int _{0}^{\infty }\sin \left(x^{a}\right)\,dx=\Gamma \left(1+{\frac {1}{a}}\right)\sin \left({\frac {\pi }{2a}}\right),

левая часть сходится при $a > 1,$ а правая часть является его аналитическим продолжением на всю плоскость меньше, где лежат полюса $Γ (a -1)$ .

Преобразование Куммера конфлюэнтной гипергеометрической функции имеет вид

\int x^{m}e^{ix^{n}}\,dx=V_{n,m}(x)e^{ix^{n}},

с

V_{n,m}:={\frac {x^{m+1}}{m+1}}\,_{1}F_{1}\left({\begin{array}{c}1\\1+{\frac {m+1}{n}}\end{array}}\mid -ix^{n}\right).

Численное приближение [ править ]

Для вычислений с произвольной точностью степенной ряд подходит для малого аргумента. При большом аргументе асимптотические разложения сходятся быстрее. ^[7] Также могут использоваться методы непрерывной дроби. ^[8]

Для вычисления с определенной целевой точностью были разработаны другие приближения. Коди ^[9] разработал набор эффективных приближений, основанных на рациональных функциях, которые дают относительные ошибки вплоть до2 × 10 ⁻¹⁹ . FORTRAN реализация приближения Коди , который включает в себя значение коэффициентов , необходимых для реализации на других языках была опубликована ван Снайдер. ^[10] Боерсма разработал приближение с погрешностью менее1,6 × 10 ⁻⁹ . ^[11]

Приложения [ править ]

Интегралы Френеля первоначально использовались при вычислении интенсивности электромагнитного поля в среде, где свет огибает непрозрачные объекты. ^{[12] В} последнее время они использовались при проектировании автомагистралей и железных дорог, в частности, их кривизны переходных зон, см. Переходную кривую пути . ^[1] Другими приложениями являются американские горки ^[12] или расчет переходов на велодромной дорожке, позволяющий быстро входить в повороты и постепенно выходить из них. ^{[ необходима цитата ]}

См. Также [ править ]

Интеграл Бёмера
Зона Френеля
Кривая перехода трека
Спираль Эйлера
Зональная пластина
Интеграл Дирихле

Примечания [ править ]

^ a b Стюарт 2008 , стр. 383.
^ Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7, уравнения 7.3.1 - 7.3.2». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
^ Temme, NM (2010), "Функция ошибок, Доусон и Френель Интегралы: Свойства" , в Олвер, Фрэнк WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
^ functions.wolfram.com, Интеграл Френеля S: Представления через эквивалентные функции и интеграл Френеля C: Представления через эквивалентные функции . Примечание: Wolfram использует соглашение Абрамовица & Stegun, которая отличается от тогов этой статье факторов $\sqrt π / 2$ .
^ Другой метод, основанный на параметрическом интегрировании , описан, например, в Zajta & Goel 1989 .
^ Mathar 2012 .
^ Temme, NM (2010), "Функция ошибок, Доусон и Френель Интегралы: Асимптотические разложения" , в Олвер, Фрэнк WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.
^ Press et al. 2007 .
^ Коди 1968 .
^ ван Снайдер 1993 .
^ Boersma 1960 .
^ а б Битти 2013 .

Ссылки [ править ]

Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7» . Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. п. 297. ISBN. 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .
Алаза, Мохаммад (2012). «Вычисление интегралов Френеля с помощью модифицированных правил трапеций». Numerische Mathematik . 128 (4): 635–661. arXiv : 1209.3451 . Bibcode : 2012arXiv1209.3451A . DOI : 10.1007 / s00211-014-0627-Z . S2CID 13934493 .
Битти, Томас (2013). «Как вычислить интегралы Френеля» (PDF) . FGCU Math - Лето 2013 . Проверено 27 июля 2013 года .
Боерсма, Дж. (1960). «Вычисление интегралов Френеля» . Математика. Комп . 14 (72): 380. DOI : 10.1090 / S0025-5718-1960-0121973-3 . Руководство по ремонту 0121973 .
Булирш, Роланд (1967). «Численный расчет синуса, косинуса и интегралов Френеля». Нумер. Математика . 9 (5): 380–385. DOI : 10.1007 / BF02162153 . S2CID 121794086 .
Коди, Уильям Дж. (1968). "Чебышевские приближения для интегралов Френеля" (PDF) . Математика. Комп . 22 (102): 450–453. DOI : 10.1090 / S0025-5718-68-99871-2 .
Хангелбрук, Р. Дж. (1967). «Численное приближение интегралов Френеля полиномами Чебышева». J. Eng. Математика . 1 (1): 37–50. Bibcode : 1967JEnMa ... 1 ... 37H . DOI : 10.1007 / BF01793638 . S2CID 122271446 .
Матар, RJ (2012). «Разложение в ряд обобщенных интегралов Френеля». Arxiv : 1211.3963 [ math.CA ].
Нейв, Р. (2002). "Спираль Корню" . (Использует $π / 2 t 2$ вместо $t 2.$ )
Нажмите, WH; Теукольский С.А.; Феттерлинг, штат Вашингтон; Фланнери, ВР (2007). «Раздел 6.8.1. Интегралы Френеля» . Числовые рецепты: искусство научных вычислений (3-е изд.). Нью-Йорк: Издательство Кембриджского университета. ISBN 978-0-521-88068-8.
Темме, Н.М. (2010), «Функции ошибок, интегралы Доусона и Френеля» , в Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
ван Снайдер, В. (1993). «Алгоритм 723: интегралы Френеля». ACM Trans. Математика. Софтв . 19 (4): 452–456. DOI : 10.1145 / 168173.168193 . S2CID 12346795 .
Стюарт, Джеймс (2008). Исчисление Early Transcendentals . Cengage Learning EMEA. ISBN 978-0-495-38273-7.
van Wijngaarden, A .; Шин, WL (1949). Таблица интегралов Френеля . Verhandl. Конинк. Нед. Акад. Wetenschapen. 19 .
Zajta, Aurel J .; Гоэль, Судхир К. (1989). «Методы параметрической интеграции». Математический журнал . 62 (5): 318–322. DOI : 10.1080 / 0025570X.1989.11977462 .

Внешние ссылки [ править ]

Cephes , бесплатный код C ++ / C с открытым исходным кодом для вычисления интегралов Френеля среди других специальных функций. Используется в SciPy и ALGLIB .
Пакет Faddeeva , бесплатный / открытый код C ++ / C для вычисления сложных функций ошибок (из которых могут быть получены интегралы Френеля), с оболочками для Matlab, Python и других языков.
"Интегралы Френеля" , Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
"Петли для американских горок" . Архивировано из оригинального 23 сентября 2008 года . Проверено 13 августа 2008 .
Вайсштейн, Эрик В. «Интегралы Френеля» . MathWorld .
Вайсштейн, Эрик В. "Спираль Корню" . MathWorld .

[Stewart-1] Стюарт 2008 , стр. 383.

[2] Абрамовиц, Милтон ; Стегун, Ирен Энн , ред. (1983) [июнь 1964]. «Глава 7, уравнения 7.3.1 - 7.3.2». Справочник по математическим функциям с формулами, графиками и математическими таблицами . Прикладная математика. 55 (Девятое переиздание с дополнительными исправлениями, десятое оригинальное издание с исправлениями (декабрь 1972 г.); первое изд.). Вашингтон, округ Колумбия; Нью-Йорк: Министерство торговли США, Национальное бюро стандартов; Dover Publications. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . Руководство по ремонту 0167642 . LCCN 65-12253 .

[3] Temme, NM (2010), "Функция ошибок, Доусон и Френель Интегралы: Свойства" , в Олвер, Фрэнк WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

[4] unctions.wolfram.com, Интеграл Френеля S: Представления через эквивалентные функции и интеграл Френеля C: Представления через эквивалентные функции . Примечание: Wolfram использует соглашение Абрамовица & Stegun, которая отличается от тогов этой статье факторов $\sqrt π / 2$ .

[5] Другой метод, основанный на параметрическом интегрировании , описан, например, в Zajta & Goel 1989 .

[6] Mathar 2012 .

[7] Temme, NM (2010), "Функция ошибок, Доусон и Френель Интегралы: Асимптотические разложения" , в Олвер, Фрэнк WJ ; Lozier, Daniel M .; Бойсверт, Рональд Ф .; Кларк, Чарльз В. (ред.), Справочник NIST по математическим функциям , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248.

[8] Press et al. 2007 .

[9] Коди 1968 .

[10] ван Снайдер 1993 .

[11] Boersma 1960 .

[Beatty-12] а б Битти 2013 .

[1]