Номограмма (от грека νόμος номоса , «право» и γραμμή грамм , «линия»), также называемое номограммой , выравнивание диаграмма , или abaque , представляет собой графическое устройство вычисления, двумерный диаграмму , чтобы позволить приближенное графическому вычислению математическая функция . Область номографии была изобретена в 1884 году французским инженером Филбером Морисом д'Оканьем (1862–1938) и широко использовалась в течение многих лет для предоставления инженерам быстрых графических расчетов сложных формул с практической точностью. В номограммах используется параллельная система координат.изобретен д'Оканем, а не в стандартных декартовых координатах .
Номограмма состоит из набора из n шкал, по одной для каждой переменной в уравнении. Зная значения n-1 переменных, можно найти значение неизвестной переменной или, зафиксировав значения некоторых переменных, можно изучить взаимосвязь между нефиксированными переменными. Результат получается путем наложения линейки на известные значения на шкалах и считывания неизвестного значения с того места, где оно пересекает шкалу для этой переменной. Виртуальная или нарисованная линия, созданная линейкой, называется индексной линией или изоплетой .
Номограммы процветали в самых разных контекстах примерно 75 лет, потому что они позволяли быстро и точно вычислять до эпохи карманных калькуляторов. Результаты номограммы можно получить очень быстро и надежно, просто проведя одну или несколько линий. Пользователь не должен знать, как решать алгебраические уравнения, искать данные в таблицах, использовать логарифмическую линейку или подставлять числа в уравнения для получения результатов. Пользователю даже не нужно знать основное уравнение, которое представляет номограмма. Кроме того, номограммы естественным образом включают в себя неявные или явные знания предметной области.в их дизайн. Например, чтобы создать более крупные номограммы для большей точности, номограф обычно включает только разумные диапазоны шкалы, которые представляют интерес для проблемы. Многие номограммы включают другие полезные обозначения, такие как справочные метки и цветные области. Все они служат полезными ориентирами для пользователя.
Как и логарифмическая линейка, номограмма представляет собой графическое аналоговое вычислительное устройство, и, как и линейка, ее точность ограничена точностью, с которой можно рисовать, воспроизводить, просматривать и выравнивать физические отметки. В то время как логарифмическая линейка предназначена для использования в качестве универсального устройства, номограмма предназначена для выполнения конкретных расчетов, а таблицы значений эффективно встроены в конструкцию весов . Номограммы обычно используются в приложениях, где уровень точности, который они предлагают, является достаточным и полезным. В качестве альтернативы, номограмму можно использовать для проверки ответа, полученного в результате другого, более точного, но, возможно, подверженного ошибкам расчета.
Другие типы графических калькуляторов, такие как диаграммы пересечения , трилинейные диаграммы и гексагональные диаграммы , иногда называют номограммами. Другие такие примеры включают диаграмму Смита , графический калькулятор, используемый в электронике и системном анализе , термодинамические диаграммы и тефиграммы , используемые для построения вертикальной структуры атмосферы и выполнения расчетов ее стабильности и влажности. Они не соответствуют строгому определению номограммы как графического калькулятора, решение которого находится с использованием одной или нескольких линейных изоплет.
Описание [ править ]
Номограмма для уравнения с тремя переменными обычно имеет три шкалы, хотя существуют номограммы, в которых две или даже все три шкалы являются общими. Здесь две шкалы представляют известные значения, а третья - шкала, по которой считывается результат. Простейшим таким уравнением является u 1 + u 2 + u 3 = 0 для трех переменных u 1 , u 2 и u 3 . Пример номограммы этого типа показан справа, с комментариями, содержащими термины, используемые для описания частей номограммы.
Более сложные уравнения иногда можно выразить как сумму функций трех переменных. Например, номограмма в верхней части этой статьи может быть построена как номограмма в параллельном масштабе, потому что ее можно выразить в виде такой суммы после логарифмирования обеих частей уравнения.
Шкала неизвестной переменной может находиться между двумя другими шкалами или вне их. Известные значения расчета отмечены на шкалах для этих переменных, и между этими отметками проведена линия. Результат считывается по неизвестной шкале в точке, где линия пересекает эту шкалу. Шкалы включают в себя «деления», чтобы указать точное расположение чисел, и они также могут включать помеченные справочные значения. Эти шкалы могут быть линейными , логарифмическими или иметь более сложную взаимосвязь.
Изоплета образца, показанная красным на номограмме в верхней части этой статьи, вычисляет значение T, когда S = 7,30 и R = 1,17. Изоплета пересекает шкалу для T чуть меньше 4,65; цифра большего размера, напечатанная на бумаге с высоким разрешением, даст Т = 4,64 для трехзначной точности. Обратите внимание, что любая переменная может быть вычислена из значений двух других, функция номограмм особенно полезна для уравнений, в которых переменная не может быть алгебраически изолирована от других переменных.
Прямые шкалы полезны для относительно простых вычислений, но для более сложных вычислений может потребоваться использование простых или сложных изогнутых шкал. Номограммы для более чем трех переменных могут быть построены путем включения сетки шкал для двух переменных или путем объединения отдельных номограмм меньшего числа переменных в составную номограмму.
Приложения [ править ]
Номограммы использовались во множестве приложений. Образец включает
- Оригинальное приложение от d'Ocagne, автоматизация сложных расчетов выемки и насыпи при строительстве национальной железнодорожной системы Франции. Это было важным подтверждением концепции, потому что вычисления нетривиальны, а результаты переводятся в значительную экономию времени, усилий и денег.
- Конструкция каналов, труб и проводов для регулирования потока воды.
- Работа Лоуренса Хендерсона , в которой номограммы использовались для корреляции многих различных аспектов физиологии крови. Это было первое массовое использование номограмм в Соединенных Штатах, а также первые медицинские номограммы где-либо. Номограммы по-прежнему широко используются в медицинских областях.
- Баллистические расчеты до систем управления огнем, где расчет времени был критичным.
- Расчеты механического цеха для преобразования размеров чертежей и выполнения расчетов на основе размеров и свойств материала. Эти номограммы часто включают маркировку стандартных размеров и доступных изготовленных деталей.
- Статистика для сложных расчетов свойств распределений и исследования операций, включая разработку приемочных испытаний для контроля качества.
- Исследование операций для получения результатов в различных задачах оптимизации.
- Химия и химическая инженерия, чтобы инкапсулировать как общие физические отношения, так и эмпирические данные для конкретных соединений.
- Аэронавтика, в которой номограммы десятилетиями использовались в кабинах самолетов всех типов. В качестве вспомогательного средства навигации и управления полетом номограммы были быстрыми, компактными и простыми в использовании калькуляторами.
- Астрономические расчеты, как в орбитальных расчетах после запуска Спутника-1, выполненных П. Е. Эльясбергом. [1]
- Все виды инженерных работ: электрическое проектирование фильтров и линий передачи, механические расчеты напряжений и нагрузок, оптические расчеты и т. Д.
- Военные, где сложные вычисления необходимо производить в полевых условиях быстро и с надежностью, не зависящей от электрических устройств.
- Сейсмология , где были разработаны номограммы для оценки магнитуды землетрясения и представления результатов вероятностного анализа сейсмической опасности [2]
Примеры [ править ]
Параллельное сопротивление / тонкие линзы [ править ]
Номограмма ниже выполняет расчет
Эта номограмма интересна тем, что она выполняет полезный нелинейный расчет с использованием только прямолинейных шкал с одинаковыми градуировками. Хотя диагональная линия имеет масштаб, в разы больший, чем шкала осей, числа на ней точно соответствуют числам непосредственно под или слева от нее, и, таким образом, ее можно легко создать, нарисовав прямую линию по диагонали на листе миллиметровой бумаги .
A и B вводятся по горизонтальной и вертикальной шкалам, а результат считывается по диагональной шкале. Будучи пропорциональна среднему гармоническому из A и B , то эта формула имеет несколько приложений. Например, это формула параллельного сопротивления в электронике и уравнение тонкой линзы в оптике .
В этом примере красная линия демонстрирует, что параллельные резисторы на 56 и 42 Ом имеют общее сопротивление 24 Ом. Он также демонстрирует, что объект на расстоянии 56 см от линзы с фокусным расстоянием 24 см формирует реальное изображение на расстоянии 42 см.
Вычисление критерия хи-квадрат [ править ]
Приведенную ниже номограмму можно использовать для приблизительного вычисления некоторых значений, необходимых при выполнении знакомого статистического теста, критерия хи-квадрат Пирсона . Эта номограмма демонстрирует использование изогнутых шкал с неравномерно расположенными градуировками.
Соответствующее выражение
Шкала вверху используется для пяти различных диапазонов наблюдаемых значений: A, B, C, D и E. Наблюдаемое значение находится в одном из этих диапазонов, а метка, используемая на этой шкале, находится непосредственно над ним. Затем в зависимости от диапазона выбирается изогнутая шкала, используемая для ожидаемого значения. Например, для наблюдаемого значения 9 будет использоваться галочка над 9 в диапазоне A, а изогнутая шкала A будет использоваться для ожидаемого значения. Наблюдаемое значение 81 будет использовать отметку выше 81 в диапазоне E, а кривая шкала E будет использоваться для ожидаемого значения. Это позволяет объединить пять различных номограмм в единую диаграмму.
Таким образом, синяя линия демонстрирует вычисление
- (9 - 5) 2 /5 = 3,2
а красная линия показывает вычисление
- (81 - 70) 2 /70 = 1.7
При выполнении теста часто применяется поправка Йетса на непрерывность , которая просто включает вычитание 0,5 из наблюдаемых значений. Номограмма для выполнения теста с поправкой Йейтса может быть построена просто путем сдвига каждой «наблюдаемой» шкалы на полблока влево, так что деления 1,0, 2,0, 3,0, ... помещаются там, где значения 0,5, 1,5, 2,5 , ... появляются на данной диаграмме.
Оценка пищевых рисков [ править ]
Хотя номограммы представляют собой математические отношения, не все они получены математическим путем. Следующий был разработан графически для достижения соответствующих конечных результатов, которые можно было бы легко определить по продукту их взаимоотношений в субъективных единицах, а не численно. Использование непараллельных осей позволило включить в модель нелинейные зависимости.
Цифры в квадратных квадратах обозначают оси, требующие ввода после соответствующей оценки.
Пара номограмм в верхней части изображения определяет вероятность возникновения и доступность, которые затем включаются в нижнюю многоступенчатую номограмму.
Строки 8 и 10 являются «связующими линиями» или «линиями поворота» и используются для перехода между этапами составной номограммы.
Последняя пара параллельных логарифмических шкал (12) не являются номограммами как таковые, а являются шкалами отсчета для перевода оценки риска (11, от отдаленного до чрезвычайно высокого) в частоту выборки для рассмотрения аспектов безопасности и других аспектов «защиты потребителей» соответственно. . На этом этапе требуется политическая «покупка», уравновешивающая стоимость и риск. В примере используется трехлетняя минимальная частота для каждого, хотя крайняя граница шкалы высокого риска отличается для двух аспектов, давая разную частоту для двух, но оба при условии общей минимальной выборки каждого пищевого продукта, по крайней мере, для всех аспектов. раз в три года.
Эта номограмма оценки риска была разработана Службой общественных аналитиков Великобритании при финансовой поддержке Агентства по пищевым стандартам Великобритании для использования в качестве инструмента для определения соответствующей частоты отбора проб и анализа пищевых продуктов для официальных целей контроля пищевых продуктов, предназначенных для использования для оценки всех потенциальных возможностей. проблемы со всеми продуктами питания, хотя еще не приняты.
Оценка размера выборки [ править ]
Эту номограмму можно использовать для оценки требований к размеру выборки для статистического анализа. Он использует четыре параметра: α (фиксированный), размер эффекта ( ρ или δ ), статистическая мощность и количество случаев N (две шкалы для α = 0,05 (либеральный) или 0,01 (консервативный)).
Предполагаемая величина эффекта в популяции может быть выражена либо как коэффициент корреляции ( ρ ), либо как нормализованная разница в средних ( δ ) для Т-теста . Нормализованная разница равна абсолютной величине разницы между двумя средними значениями совокупности ( μ - μ ₂), деленной на объединенное стандартное отклонение ( я ).
Требуемая статистическая мощность оценивается как 1 - β , где β равно вероятности совершения ошибки типа II. Тип II ошибки не удается отклонить статистическую нулевую гипотезу (т.е. р или δ равно нулю), когда на самом деле нулевая гипотеза ложна в популяции и должна быть отклонена. Коэн (1977) [3] рекомендует использовать степень, равную 0,80 или 80%, для β = 0,20.
Размер выборки или необходимое количество случаев указывается для двух стандартных уровней статистической значимости ( α = 0,01 или 0,05). Значение α - это вероятность ошибки типа I. Тип I ошибки отвергает статистическую нулевую гипотезу (то есть, утверждая , что либо ρ или δ равен нулю), когда на самом деле является истинным (значение является нулевым) в популяции и должны не быть отвергнута. Наиболее часто используемые значения α - 0,05 или 0,01.
Чтобы найти требования к размеру выборки для данного статистического анализа, оцените размер эффекта, ожидаемого в генеральной совокупности ( ρ или δ ) на левой оси, выберите желаемый уровень мощности на правой оси и проведите линию между двумя значения.
Если линия пересекается со средней осью α = 0,05 или α = 0,01, это указывает размер выборки, необходимый для достижения статистической значимости α менее 0,05 или 0,01, соответственно (для ранее заданных параметров).
Например, если кто-то оценивает корреляцию совокупности ( ρ ) как 0,30 и желает статистической мощности, равной 0,80, то для получения уровня значимости α менее 0,05 требуется размер выборки: N = 70 случаев, округленных в большую сторону (более примерно 68 случаев с использованием интерполяции).
Другие быстрые номограммы [ править ]
Используя линейку, можно легко прочитать пропущенный член закона синусов или корни квадратного и кубического уравнения. [4]
См. Также [ править ]
- Картограмма
- Система координат
- Тринадцатая проблема Гильберта
- Журнал-лог-график
- Полугодовой график
- Диаграмма Смита
Ссылки [ править ]
 | Эта статья включает в себя список общих ссылок , но он остается в значительной степени непроверенным, поскольку в нем отсутствует достаточное количество соответствующих встроенных ссылок . ( Ноябрь 2013 г. ) ( Узнайте, как и когда удалить этот шаблон сообщения ) |
- ^ Yu.A.Mozzhorin Memories архивация 2007-10-18 в Wayback Machine на сайте Российского государственного архива для научно-технической документации
- ^ Дуглас, Джон; Данчу, Лаурентиу (2019-11-08). «Номограмма для объяснения вероятностной сейсмической опасности» . Журнал сейсмологии : 671. Bibcode : 2019JSeis.tmp..671D . DOI : 10.1007 / s10950-019-09885-4 . ISSN 1573-157X .
- ^ Коэн, Дж. (1977). Статистический анализ мощности для поведенческих наук , 2-й. изд. Сан-Диего, Калифорния: Academic Press
- ^ Szalkai, Иштван; Балинт, Роланд (28 декабря 2017 г.). «Номограммы для квадратных и кубических уравнений (на венгерском языке)» (PDF) . Haladvány Kiadvány . 2017 г.
Дальнейшее чтение [ править ]
- Д.П. Адамс, Номография: теория и применение , (Archon Books) 1964.
- HJ Allcock, J. Reginald Jones и JGL Michel, The Nomogram. Теория и практическое построение вычислительных диаграмм , 5-е изд. (Лондон: Sir Isaac Pitman & Sons, Ltd.) 1963.
- С. Бродестский, Первый курс номографии , (Лондон, Дж. Белл и сыновья), 1920.
- Дэвис Д.С., Эмпирические уравнения и номография , (Нью-Йорк: McGraw-Hill Book Co.) 1943.
- M. d'Ocagne: Traité de Nomographie , (Готье-Виллар, Париж) 1899.
- M. d'Ocagne: (1900) Sur la résolution nomographique de l'équation du septième degré . Comptes rendus (Париж), 131, 522–524.
- Р. Д. Дуглас и Д. П. Адамс, Элементы номографии , (Нью-Йорк: МакГроу-Хилл) 1947.
- Р.П. Хельшер и др., Графические средства в инженерных вычислениях , (Нью-Йорк: Макгроу-Хилл) 1952
- Л. Иван Эпштейн, Номография , (Нью-Йорк: Interscience Publishers) 1958.
- Л. Х. Джонсон, Номография и эмпирические уравнения , (Нью-Йорк: Джон Вили и сыновья) 1952.
- М. Каттан и Дж. Мараско. (2010) Что такое настоящая номограмма? , Семинары по онкологии, 37 (1), 23–26.
- А.С. Левенс, Номография , 2-е изд. (Нью-Йорк: John Wiley & Sons, Inc.) 1959.
- Ф. Т. Мавис, Построение номографических карт , (Скрэнтон, Международный учебник) 1939.
- Э. Отто, Номография , (Нью-Йорк: Компания Macmillan) 1963.
- HA Evesham История и развитие номографии , (Бостон: Docent Press) 2010. ISBN 9781456479626
- TH Gronwall, R. Doerfler, A. Gluchoff и S. Guthery, Calculating Curves: The Mathematics, History, and Aesthetic Appeal of TH Gronwall's Nomographic Work , (Boston: Docent Press) 2012. ISBN 9780983700432
Внешние ссылки [ править ]
 | Викискладе есть медиафайлы по теме номограмм . |
 | Найдите номограмму в Викисловаре, бесплатном словаре. |
- Вайсштейн, Эрик В. «Номограмма» . MathWorld .
- Искусство номографии описывает создание номограмм с использованием геометрии, детерминант и преобразований.
- The Lost Art of Nomography - это статья в математическом журнале, посвященная области номографии.
- Номограммы для Wargames, но также представляют общий интерес.
- PyNomo - программное обеспечение с открытым исходным кодом для построения номограмм.
- Java-апплет для построения простых номограмм.
- Номограммы для визуализации взаимосвязей между тремя переменными - видео и слайды приглашенного выступления Джонатана Ружье для useR! 2011.
