Логарифмическая шкала

Логарифмической шкалы (или логарифмическом масштабе ) является способом отображения числовых данных в очень широком диапазоне значений в компактном виде, как правило , наибольшее число в данных , сотни или даже тысячи раз больше , чем наименьшими номерами. Такой масштаб является нелинейным : числа 10 и 20, а также 60 и 70 не находятся на одинаковом расстоянии друг от друга в логарифмической шкале. Напротив, числа 10 и 100, 60 и 600 расположены на одинаковом расстоянии. Таким образом, перемещение единицы расстояния по шкале означает, что число умножено на 10 (или другой фиксированный коэффициент). Часто кривые экспоненциального роста отображаются в логарифмической шкале, в противном случае они увеличивались бы слишком быстро, чтобы поместиться на небольшом графике.. Другой способ думать об этом - это то, что количество цифр данных растет с постоянной скоростью. Например, числа 10, 100, 1000 и 10000 равномерно распределены по логарифмической шкале, потому что их количество цифр увеличивается на 1 каждый раз: 2, 3, 4 и 5 цифр. Таким образом, добавление двух цифр умножает количество, измеренное на логарифмической шкале, в 100 раз.

Логарифмическая шкала от 0,1 до 100

График количества хостов в Интернете с течением времени в логарифмической шкале

Обычное использование [ править ]

Отметки на линейках расположены в логарифмической шкале для умножения или деления чисел путем добавления или вычитания длин на шкалах.

Две логарифмические шкалы логарифмической линейки

Ниже приведены примеры обычно используемых логарифмических шкал, где большее количество приводит к более высокому значению:

Шкала магнитуд Рихтера и шкала моментных магнитуд (MMS) для силы землетрясений и движения на Земле

Логарифмический масштаб позволяет легко сравнивать значения, охватывающие большой диапазон, например, на этой карте.
Уровень шума , с блоками децибел
Непер для величин амплитуды, поля и мощности
Уровень частоты с единицами измерения цент , второстепенная секунда , большая секунда и октава для относительной высоты звука нот в музыке.
Логит для шансов в статистике
Шкала опасности технических воздействий Палермо
Логарифмическая шкала времени
Подсчет f-ступеней для соотношений фотографической экспозиции
Правило «девяток» используется для рейтинга низких вероятностей
Энтропия в термодинамике
Информация в теории информации
Кривые гранулометрического состава почвы

Карта Солнечной системы и расстояния до Альфы Центавра в логарифмическом масштабе.

Ниже приведены примеры обычно используемых логарифмических шкал, где большее количество приводит к более низкому (или отрицательному) значению:

pH для кислотности
Шкала звездной величины яркости звезд
Шкала Крамбейна для размера частиц в геологии
Поглощение света прозрачными образцами

Некоторые из наших чувств действуют логарифмическим образом ( закон Вебера-Фехнера ), что делает логарифмические шкалы для этих входных величин особенно подходящими. В частности, наш слух воспринимает равные отношения частот как равные различия в высоте тона. Кроме того, исследования маленьких детей в изолированном племени показали, что логарифмические шкалы являются наиболее естественным отображением чисел в некоторых культурах. ^[1]

Графическое представление [ править ]

Различные масштабы: lin – lin, lin – log, log – lin , log – log . Графики: y = 10 ^x ( красный ), y = x ( зеленый ), y = log _e ( x ) ( синий ).

Верхний левый график является линейным по осям X и Y, а ось Y находится в диапазоне от 0 до 10. Для оси Y нижнего левого графика используется логарифмическая шкала с основанием 10, а по оси Y - от 0,1 до 1000.

На верхнем правом графике используется шкала log-10 только для оси X, а на нижнем правом графике используется шкала log-10 как для оси X, так и для оси Y.

Представление данных в логарифмической шкале может быть полезно, когда данные:

охватывает большой диапазон значений, поскольку использование логарифмов значений, а не фактических значений сокращает широкий диапазон до более управляемого размера;
может содержать экспоненциальные законы или степенные законы , поскольку они будут отображаться как прямые линии.

Линейка скольжения имеет логарифмическую шкалу, а номограммы часто используют логарифмическую шкалу. Среднее геометрическое двух чисел на полпути между числами. До появления компьютерной графики логарифмическая миллиметровка была широко используемым научным инструментом.

Журналы – журналы [ править ]

График в логарифмическом масштабе уравнения линии

Если и вертикальная, и горизонтальная оси графика масштабируются логарифмически, график называется графиком – логарифмом .

Полулогарифмические графики [ править ]

Если только ордината или абсцисса масштабируются логарифмически, график называется полулогарифмическим графиком.

Логарифмические единицы [ править ]

Логарифмическая единица представляет собой блок , который может быть использован , чтобы выразить величину ( физический или математический) в логарифмическом масштабе, то есть, как пропорционально значение логарифма функции применяется к соотношению количества и эталонное количеству того же типа. Выбор единицы обычно указывает тип количества и основание логарифма.

Примеры [ править ]

Примеры логарифмических единиц включают единицы емкости хранения данных ( бит , байт ), информации и информационной энтропии ( нат , шеннон , запрет ) и уровня сигнала ( децибел , бел, непер ). Логарифмические частотные величины используются в электронике ( декада , октава ) и для музыкальных интервалов высоты звука ( октава , полутон , цент и т. Д.). Другие единицы логарифмической шкалы включают шкалу звездных величин Рихтера. точка.

Кроме того, некоторые промышленные меры логарифмическая, такие как стандартные значения для резисторов , то американская проволока , то датчик Бирмингем используется для проволоки и иглы, и так далее.

Единицы информации [ править ]

бит , байт
Хартли
нац
Шеннон

Единицы измерения уровня или разницы уровней [ править ]

бел , децибел
непер

Единицы частотного интервала [ править ]

десятилетие , decidecade , Савара
октава , тон , полутон , цент

Таблица примеров [ править ]

Единица измерения	Основание логарифма	Базовое количество	Интерпретация
кусочек	2	количество возможных сообщений	количество информации
байт	$28 = 256$	количество возможных сообщений	количество информации
децибел	$10 (1/10) \approx 1,259$	любое количество мощности (например, звуковая мощность )	уровень звуковой мощности (например)
децибел	$10 (1/20) \approx 1,122$	любая основная величина мощности (например, звуковое давление )	уровень звукового давления (например)
полутон	$2 (1/12) \approx 1,059$	Частота от звука	интервал подачи

Два определения децибела эквивалентны, потому что отношение величин мощности равно квадрату соответствующего отношения величин корневой мощности . ^{[ необходима цитата ]}

Мотивация [ править ]

Мотивация, лежащая в основе концепции логарифмических единиц, заключается в том, что определение величины в логарифмической шкале в терминах логарифма с определенным основанием равносильно совершению (совершенно произвольного) выбора единицы измерения для этой величины, соответствующей конкретной (и в равной степени произвольно) выбранное основание логарифма. Из-за идентичности

{\ displaystyle \ log _ {b} a = {\ frac {\ log _ {c} a} {\ log _ {c} b}},}

логарифмы любого заданного числа a с двумя разными основаниями (здесь b и c ) отличаются только постоянным множителем log _c b . Этот постоянный коэффициент можно рассматривать как коэффициент преобразования для преобразования числового представления чистой (неопределенной) логарифмической величины Log ( a ) из одной произвольной единицы измерения (единицы [log c ]) в другую ([log b ] единица), поскольку

\operatorname {Log} (a)=(\log _{b}a)[\log b]=(\log _{c}a)[\log c].

Например, стандартное определение энтропии Больцмана S = k ln W (где W - количество способов организации системы, а k - постоянная Больцмана ) также может быть записано более просто как S = Log ( W ), где " Log "здесь означает неопределенный логарифм, и мы полагаем k = [log e]; то есть мы отождествляем физическую единицу энтропии k с математической единицей [log e]. Эта личность работает, потому что

\ln W=\log _{e}W={\frac {\operatorname {Log} (W)}{\log e}}.

Таким образом, мы можем интерпретировать постоянную Больцмана как просто выражение (в терминах более стандартных физических единиц) абстрактной логарифмической единицы [log e], которая необходима для преобразования безразмерной чистой числовой величины ln W (которая использует произвольный выбор основание, а именно e) к более фундаментальной чистой логарифмической величине Log ( W ), которая не подразумевает никакого особого выбора основания и, следовательно, никакого особого выбора физической единицы для измерения энтропии.

См. Также [ править ]

Александр Грэхем Белл
Сюжет Боде
Джон Напье
Уровень (логарифмическая величина)
Логарифм
Логарифмическое среднее
Полукольцо журнала
Предпочтительный номер

Масштаб [ править ]

Порядок величины

Приложения [ править ]

Энтропия
Энтропия (теория информации)
pH
Шкала звездных величин Рихтера

Ссылки [ править ]

^ «Смысл правила слайда: культура коренных народов Амазонки демонстрирует универсальное отображение числа в пространстве» . ScienceDaily . 2008-05-30 . Проверено 31 мая 2008 .

Дальнейшее чтение [ править ]

Дехайн, Станислав; Изар, Вероник; Спелке, Элизабет ; Пика, Пьер (2008). «Логарифмический или линейный? Четкие интуитивные представления о числовой шкале в культурах коренных народов Запада и Амазонки» . Наука . 320 (5880): 1217–20. Bibcode : 2008Sci ... 320.1217D . DOI : 10.1126 / science.1156540 . PMC 2610411 . PMID 18511690 .
Туффенцаммер, Карл; Шумахер, П. (1953). "Normzahlen - die einstellige Logarithmentafel des Ingenieurs" [Предпочтительные числа - таблица однозначного логарифма инженера]. Werkstattechnik und Maschinenbau (на немецком языке). 43 (4): 156.
Туффенцаммер, Карл (1956). "Das Dezilog, eine Brücke zwischen Logarithmen, Dezibel, Neper und Normzahlen" [Децилог, мост между логарифмами, децибелами, непер и предпочтительными числами]. VDI-Zeitschrift (на немецком языке). 98 : 267–274.
Рис, Клеменс (1962). Normung nach Normzahlen [ Стандартизация по предпочтительным числам ] (на немецком языке) (1-е изд.). Берлин, Германия: Duncker & Humblot Verlag [ de ] . ISBN 978-3-42801242-8. (135 страниц)
Паулин, Евгений (01.09.2007). Logarithmen, Normzahlen, Dezibel, Neper, Phon - natürlich verwandt! [ Логарифмы, предпочтительные числа, децибел, непер, фон - естественно связаны! ] (PDF) (на немецком языке). Архивировано (PDF) из оригинала 18 декабря 2016 года . Проверено 18 декабря 2016 .

Внешние ссылки [ править ]

Викискладе есть медиафайлы, связанные с логарифмической шкалой .

"Руководство по GNU Emacs Calc: логарифмические единицы" . Gnu.org . Проверено 23 ноября 2016 .
Сайт неньютоновского исчисления

[1] «Смысл правила слайда: культура коренных народов Амазонки демонстрирует универсальное отображение числа в пространстве» . ScienceDaily . 2008-05-30 . Проверено 31 мая 2008 .